【期末·解答题专练】2022-2023学年 人教版数学九年级-专题02《一元二次方程应用题》期末解答题必刷训练

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一元二次方程应用题
为了体现数学在实际生活中的应用，应用题是每次数学考试的必考题目，本学期的一元二次方程应用题就是必考类型之一。其中增长率问题、销售问题、面积问题是重点。提供足量的典型的一元二次方程应用题，供选用。
1．对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗，最大的风险就是被感染．为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米．四扇门，每扇门宽1米，且不需要建筑材料，求、的长各为多少米？

【答案】为6米，为16米
【分析】
设的长为米，为米，根据三个区的总面积为96平方米列出方程求解即可．
【详解】
解：设的长为米，为米，
由题意得，解得，
经检验，都是方程的解，
当时，，不符合题意，应舍去，
所以，．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意设出未知数列出方程求解．
2．学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为176平方米，求小道的宽．

【答案】1米
【分析】
设小道宽为x，则矩形的长减去两条小道宽后为（18-2x）米，宽减去一条小道的宽后这(12-x)米，由面积关系即可得方程，解方程即可．
【详解】
解：设小道宽为x，由题意得：

解得：，（不合题意，舍去）
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，利用平移知识求得平移后的矩形的长与宽是问题的关键．
3．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由．
【答案】（1）；（2）会；理由见解析
【分析】
（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可；
（2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生．
【详解】
解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，（舍），
∵为正整数，
∴第二轮传染后会有人患病的情况发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解．
4．某精品店购进甲乙两种小礼品，已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（1）求甲种礼品的进价；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元／件销售，每天可卖40件；若按5元／件销售，每天可卖60件．假设每天销售的件数y（件）与售价x（元／件）之间满足一次函数关系，当甲礼品的售价定为多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
【答案】（1）4元；（2）5元或7元
【分析】
（1）设甲种礼品的进价为m元，则乙种礼品的进价为（m－1）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设y与x的关系式为：y＝kx＋b，利用待定系数法求出完整解析式，然后根据题意建立一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）设甲种礼品的进价为m元，则乙种礼品的进价为（m－1）元，
则由题意：2m＋m－1＝11，
解得：m＝4，
答：甲种礼品的进价为4元．
（2）设y与x的关系式为：y＝kx＋b，
把x＝6，y＝40；x＝5，y＝60代入上式，
得：，解得，
∴y与x的关系式为：y＝－20x＋160．
由题意得：（x－4）(－20x＋160)＝60，
整理得：x2－12x＋35＝0，
解得：x＝5或x＝7，
答：当甲礼品的售价定为5元或7元时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元．
【点睛】
本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，理解题意，熟练利用待定系数法求出一次函数表达式，准确建立一元二次方程并求解是解题关键．
5．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

【答案】（1）（4a2﹣320a+6000）平方米；（2）5米
【分析】
（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出算式即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可.
【详解】
解：（1）由图可知，花圃的面积为平方米 ；
（2）由已知可列式：，
∴，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），
∴通道的宽为5米；
【点睛】
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．
6．为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书馆借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．
（1）求该社区图书馆借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；
（2）若2020年至2021年图书借阅总量的增长率等于2018年至2020年的平均增长率，预计2021年该社区居民借阅图书人数达到1296人，预计2021年阅览室人均借阅量是多少？
【答案】（1）该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；（2）预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【分析】
（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，根据该社区阅览室在2018年及2020年图书借阅总量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据增长率算出2021年的图书借阅总量，除以1296即为人均借阅量．
【详解】
解：（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，
依题意，得：7500（1+x）2=10800，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%；
（2）由题意得，2021年该社区借阅总量是10800×120%=12960，
12960÷1296=10，
答：预计2021年阅览室人均借阅量是10本．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
7．小帆服装店购进一批衬衫，原计划每件标价200元，由于疫情影响，该店决定对这批衬衫全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每件售件为162元，求每次降价的百分率．
【答案】每次降价的百分率为10%
【分析】
设每次降价的百分率为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
200（1－x）2=162，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：每次降价的百分率为10%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
8．如图，要设计一幅长为60cm，宽为40cm的矩形图案，其中有两横两竖的矩形彩条，横竖彩条宽度比为1：2，若彩条所占面积是图案面积的一半，求一条横彩条的宽度．

【答案】5cm
【分析】
设横彩条的宽度为，竖彩条的宽度则为，根据题意建立一元二次方程并求解即可．
【详解】
解：设横彩条的宽度为，竖彩条的宽度则为，
由题意，，
即：，
因式分解得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴一条横彩条的宽度为5cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立一元二次方程和求解，并注意检验合适的结果是解题关键．
9．新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12~17岁未成年人也可接种新冠疫苗、文中社区医院为定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种，其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则文丰社区医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支?
（2）随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保 证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线?
【答案】（1）每天接种智飞400支，科兴300支；（2）增加3条生产线
【分析】
（1）设每天接种智飞x支，科兴y支，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解即可；
（2）设应该增加x条生产线，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】
解：（1）设每天接种智飞x支，科兴y支，根据题意得

解得
答 每天接种智飞400支，科兴300支
（2）设应该增加x条生产线，根据题意得
(1+x)(42-2x)=144
解得x1=3，x2=17(舍去)
答：应该增加3条生产线
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程（组）是解题的关键．
10．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼准备以每平方米7000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5670元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择；①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
【答案】（1）10%；（2）方案①优惠
【分析】
（1）根据关系式：原价=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；
（2）①费用为：总房价平米数，
②费用为：总房价-两年的物业费；
代入数值求出结果，比较大小即可．
【详解】
解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：
解此方程得：（不符合题意，舍去）
∴x＝10%，
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案一：100×5670×98%＝555660（元）
方案二：100×5670﹣1.5×100×12×2＝563400（元），
555660563400，
∴方案一优惠．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握变化率公式是解决本题的关键．
11．由于中国的制度优势，中国的国内新冠疫情得到了较好的控制，某企业的出口量也在逐月增加，已知第一个月的出口量是万件，到第三个月末累计出口量达到万件，若每个月的平均增长率相同，
（1）求出口量的月平均增长率；
（2）因条件限制，该企业每月的生产能力不超过万件，在月平均增长率不变的条件下，该企业是否有能力完成第四个月的出口任务，并说明理由．
【答案】（1）50%；（2）没有，理由见解析
【分析】
（1）先分别表示出第二个月和第三个月的出口量，再根据第一个月的出口量加第二和第三个月的出口量等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的出口量，再与400比较大小即可．
【详解】
解：（1）设出口量的月平均增长率为x，根据题意得
128+128（1+x）+128（1+x）2=608，
解得  x1=0.5，x2=-3.5（舍去负值），
答：出口量的月平均增长率为50%；
（2）128（1+50%）3=432＞400，
∴该企业没有能力完成第四个月的出口任务．
【点睛】
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
12．某商场代销一种产品，当每件商品售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件，综合考虑各种因素，每售出一件产品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，每天的销售量应不低于40件，求售价定为多少元时，该商店可获得月利润3000元？
【答案】140
【分析】
设售价定为x元时，根据题意列一元二次方程解答．
【详解】
解：设售价定为x元时，该商店可获得月利润3000元，由题意得
，
解得，
当x=180时，销售量为件，
∵每天的销售量应不低于40件，
∴x=180不合题意，舍去，
∴x=140，
答：售价定140元时，该商店可获得月利润3000元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键，解题中注意检验结果的正确性．
13．2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？
【答案】25%
【分析】
由题意设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，并根据2年增长率的一般计算公式列方程求解即可.
【详解】
解：设2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意列方程可得：，解得：或（舍去），
所以年平均增长率为：％，
答：2021年至2023年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
14．儿童商场购进一批服装，进价为30元/件，销售时标价为60元/件，每天可销售20件．商场现决定对这批服装开展降价促销活动，经测算，每件降价1元，每天可多销售4件．在促销期间，若要每天获得1200元利润，则每件应降价多少元？若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价多少元？
【答案】15元
【分析】
设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程，故可求解．
【详解】
解：设每件应降价x元，根据题意得
（60-30-x）（20+4x）=1200
整理得： x2-25x+150=0
解方程得：
x1=10，x2=15
所以，若要每天获得1200元利润，则每件应降价10元或15元．
若考虑商家减少库存，在每天获利1200元时，商品应降价15元．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
15．某村计划建造如图所示的正方形蔬菜温室，在温室内，要求沿下侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当正方形蔬菜温室边长为多少时，蔬菜种植区域的面积是224m2？

【答案】18m
【分析】
用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．
【详解】
解：设正方形蔬菜温室边长为xm，则蔬菜种植区域的两边长分别为（x－2）m、(x－4) m,
 据题意得：（x－2）(x－4)＝224  
解之得x1＝18，x2＝－12（舍去）
答：当正方形蔬菜温室边长为18m时，蔬菜种植区域的面积是224m2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．某商场6月份的利润是2400元，经过两个月的增长，8月份的利润达到4800元，已知8月份的增长率是7月份的1.5倍，求7月份的增长率．
【答案】.
【分析】
设7月份的增长率为x，根据题意可得：2400（1+x）(1+1.5x)=4800.
【详解】
解：设7月份的增长率为x，
根据题意可得：2400（1+x）(1+1.5x)=4800
x1=13，x2=-2（不合题意，舍去）
答：7月份的增长率为.
【点睛】
分析题意，列出一元二次方程.
17．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆，求2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率？
【答案】25%
【分析】
根据设增长率是x，则增长2次以后的车辆数是64（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可
【详解】
解：∵某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆，
假设2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得：
64（1+x）2=100，
解得：x 1=0.25=25%，x 2=-2.25（不合题意舍去），
答：2007年底到2009年底家庭轿车的拥有量的年平均增长率是25%．
18．“杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量公斤的目标．如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率．
【答案】20%
【分析】
设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段水稻亩产量第一阶段水稻亩产量增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设亩产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．网络购物无疑已被越来越多的人所接受，对人们生活的影响不断加深．李先生是淘宝店主之一，进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件．如果每件提价1元出售，其销售量将减少20件．如果李先生的网店销售这批服装要获利12000元，并且投入尽量少，那么这种服装售价应为多少元？
【答案】这种服装售价应为70元．
【分析】
设运动服提价为每件x元，首先用代数式表示出每件的盈利，以及可销售的件数，根据每件的盈利×销售的件数=获利12000元，即可列方程求解．
【详解】
解：设这批运动服提价为每件x元，
根据题意得：[x+（60-50）]（800-20x）=12000，
解这个方程得  x1=10，x2=20，
当x1=10时，该商店应进这种服装600件，投入60050=30000(元)；
当x2=20时，该商店应进这种服装400件，投入40050=20000(元)；
要投入尽量少，则这批服装提价为每件20元，该商店应进这种服装400件．
答：这种服装售价应为70元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解答中要注意销量与每件服装的利润之间的关系．
20．某种商品的标价为元/件，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为元/件，两次降价共售出此种商品件，为使两次降价销售的总利润不少于元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【答案】（1）10%；（2）第一次降价后至少要售出该种商品件．
【分析】
（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为，
根据题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去），
答：该种商品每次降价的百分率为．
(2)设第一次降价后售出该种商品件，
根据题意得：
解得：，
答：第一次降价后至少要售出该种商品件．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
21．天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．设每件童装应降价元．据此规律，请回答：
（1）商场日销量增加几件，每件商品盈利几元（用含的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？
【答案】（1）2x元，元；（2）应降价元
【分析】
（1）根据如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，可得出日销量增加的件数，结合未降价前每件盈利元，可得出降价后的盈利；
（2）先得出降价后的销量及每件的盈利，然后可列出方程，解出即可．
【详解】
解：（1）因为每件童装应降价元，且每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，
故商场若降价元，日销量增加：件；每件商品盈利元；
（2）由（1）可得日销量为，每件盈利元；
由题意得：，
解得：，，
所以为了减少库存，应该降价元．
答：要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程．
22．某超市将进价为160元的商品按每件200元出售，每天可销售100件．为了尽可能的让利于顾客，超市决定采取适当的降价措施．经市场调査，发现这种商品每降价2元，其销售量就增加10件．设后来该商品每件降价x元．
（1）超市经营该商品，原来一天可获利润 　 　元；
（2）若超市经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）4000；（2）16
【分析】
（1）直接利用销量×每件商品利润＝总利润列式计算即可得出答案；
（2）直接利用销量×每件商品利润＝4320列出方程，进而解方程即可得出答案．
【详解】
解：（1）原来一天可获利润：100×（200﹣160）＝4000（元）；
故答案为：4000；
（2）根据题意可得：
（200﹣160﹣x）（100+×10）＝4320，
解得：x1＝4，x2＝16，
∵为了尽可能的让利于顾客，
∴x＝4不合题意，故舍去，
∴x＝16，
答：每件商品应降价16元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系进而正确列出方程是解题关键．
23．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．

（1）已知，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽为多少米?
（2）已知a：b=2：1，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米?
【答案】（1）每条道路的宽为2米；（2）原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
【分析】
（1）根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由a：b=2：1可得出a=2b，根据四块草坪的面积和为312平方米，即可得出关于b的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）四块矩形场地可合成长为（26-x）米，宽为（15-x）米的矩形．
依题意，得：（26-x）（15-x）=312，
整理，得：x2-41x+78=0，
解得：x1=2，x2=39（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽x为2米．
（2）四块矩形场地可合成长为（2b-2）米，宽为（b-2）米的矩形．
依题意，得：（2b-2）（b-2）=312，
整理，得：b2-3b-154=0，
解得：b1=14，b2=-11（不合题意，舍去），
∴a=2b=28．
答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．太原钟楼街素有“小王府井”的美誉，改革开放初期就有“不逛钟楼柳巷，枉来太原一趟”的说法，今年中秋，万众期待的太原钟楼街火爆开街，吸引了全国各地的游客慕名前来，据统计，9月19日，钟楼街日均客流量为20万人，9月21日，钟楼街日均客流量达到了28.8万人，
（1）求从19日到21日日均客流量的平均增长率？
（2）钟楼街中某商家决定在中秋期间对月饼礼盒进行促销活动，该月饼礼盒的进价是150元/盒，以200元/盒销售时，平均每天可销售20盒．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10盒，不考虑其他的消耗，如果每天盈利1750元，为了尽可能让利于顾客，单价应降低多少元？
【答案】（1）；（2）25元
【分析】
（1）设增长率为，根据题意可列方程，解得方程，舍去负解，可得结果；
（2）设单价应降低元，根据题意可列方程，解得方程，舍去负解，可得结果．
【详解】
解：（1）设增长率为，
依题可列方程，
解得，（舍）
答：求从19日到21日日均客流量的平均增长率为20%．
（2）设单价应降低元，依题可列方程如下所示：
，
整理得
即，
解得（舍去），
答：为了尽可能让利于顾客，单价应降低25元，每天盈利1750元．
【点睛】
本题考查一元二次方程应用问题的增长率问题与销售问题，设得未知数，找到题中等量关系，正确列出方程是解题的关键．
25．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售100件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到144件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件，当商品降价多少元时，商场可获利1800元？
【答案】（1）四、五月份销售量平均增长率为20%；（2）商品降价3元时，商场获利1800元
【分析】
（1）由题意可得，三月份的销售量为：100件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：100（1＋x）；5月份的销售量为：100（1＋x）（1＋x），又知5月份的销售量为：144件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝1800求出即可．
【详解】
解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则100（1＋x）2＝144，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝−2.2（舍去），
所以四、五月份销售量平均增长率为20%；
（2）设商品降价m元，则（40−m−25）（144＋2m）＝1800，
解得m1＝3，m2＝−60（舍去）
所以商品降价3元时，商场获利1800元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
26．山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）20%；（2）
【分析】
（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2019年五一长假期间，接待游客达2万人次，在2021年五一长假期间，接待游客将达2.88万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）可设年平均增长率为x，依题意，得：
，
解得：（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：

解得：
由题意可得：
∴
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解答的关键．
27．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
（1）根据题意知：CE＝　 　，CD＝　 　；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？
（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．

【答案】（1）3tcm，(8-4t)cm；（2）1；（3）DE的长不可以为4cm，理由见解析
【分析】
（1）由路程=速度×时间，即可分别得到CE与AD，从而可得到CD；
（2）由题意可得△CDE的面积等于三角形ABC的面积的，由此关系可得关于t的方程，解方程即可；
（3）假设DE=4cm，则可得关于t的一元二次方程，根据方程的解的情况即可判断．
【详解】
（1）根据路程=速度×时间，得CE=3tcm，AD=4tcm，则CD=AC－AD=（8-4t）cm
故答案为： 3tcm，(8-4t)cm；
（2）∵△CDE的面积等于四边形ABED的面积的
∴△CDE的面积等于三角形ABC的面积的
∴
即
化简得：
解得
即当t为1时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的；
（3）不可以，理由如下：
若DE=4cm，则由勾股定理得：
整理得：

此方程无实数根，故DE的长不可以是4cm．
【点睛】
本题是动点问题，考查了图形面积，解一元二次方程，勾股定理等知识，找出等量关系并正确列出方程是关键．
28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当点Q到达点B时，点P也停止运动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为35平方厘米；
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

【答案】（1）5秒或7秒；（2）存在，秒
【分析】
（1）设运动时间为t，分别表示出，然后利用建立方程求解即可；
（2）首先求出，然后根据题意建立方程，求解一元二次方程并检验是否符合题意即可．
【详解】
（1）设运动时间为t，
∵点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，AC＝12cm，BC＝16cm，
，
∵∠C＝90°，
，
解得秒或秒，
∴如果P、Q同时出发，5秒或7秒后，可使△PCQ的面积为35平方厘米；
（2）∵∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，
，
∵△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一，

解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
∴存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一，运动的时间为秒．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，数形结合是关键．
29．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
【答案】（1）1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）3秒后，PQ的长度为；
【分析】
（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
【详解】
解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
△PBQ面积为：，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于4cm2”“PQ的长度等于2cm”，得到等量关系，列出方程是解决问题的关键．
30．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
【答案】T恤的销售单价应提高2元，
【分析】
设T恤的销售单价提高元，根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，列出方程求解即可；
【详解】
解：设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出方程．
31．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．

（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积为8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过　 　秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【答案】（1）2秒或4秒，（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；理由见解析，（3）5﹣或5或5+．
【分析】
（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x）•2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y）•2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5 ﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5 ﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
故答案为： 5﹣或5或5+．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
32．如图是一个长18cm，宽15cm 的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条面积是图案面积的三分之一，求彩条的宽度．

【答案】3厘米
【分析】
设彩条的宽度为x cm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的三分之一列出方程即可．
【详解】
解：设彩条的宽度为x cm，
根据题意列方程得，，
解得：（舍去），
答：彩条的宽度为3cm．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，长方形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系．
33．巫溪某村民承包土地发展李子种植，2020年开始大量投产增收，其中早熟李种植面积亩数是晚熟李种植面积亩数的倍，早熟李、晚熟李分别收益元和元，而早熟李平均每亩收益比晚熟李少元．
（1）2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有多少亩？
（2）在扶贫专家小组的精准帮助下，优化管理，淘汰了部分低产李子林改种其他经济作物增加收益，2021年，早熟李、晚熟李的种植面积比2020年分别降低了和，然而平均每亩早熟李和晚熟李的收益在2020年基础上分别增加了和，2021年两种李子的总收益与2020年两种李子总收益相等，求的值．
【答案】（1）早熟李种亩，晚熟李种亩；（2）50．
【分析】
（1）设晚熟李、早熟李两个品种种植面积分别是亩和 亩；根据题意列出方程组即可得到结论．
（2）根据题意列方程式可得到结论．
【详解】
解：（1）设年晚熟李种植面积有亩，则早熟李种植面积为亩，
根据题意，得
，
解方程，得 ，
经检验，是分式方程式得解，
，
即年早熟李、晚熟李种植面积分别有亩、亩．
（2）由（1）可得: 年早熟李、晚熟李种植面积分别有亩、亩，
年早熟李平均每亩收益为元，晚熟李平均每亩收益为元，
由题意可得： 年早熟李、晚熟李种植面积分别有 亩、亩，
年早熟李平均每亩收益为 元，晚熟李平均每亩收益为 元，
由 年两种李子的总收益与 年两种李子总收益相等，得，

令，则，
，
，
，
，
或 ，（舍），．
答：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意是解答的关键．
34．某品牌童装进价每件120元、售价160元，平均每天可售出50件，为了迎接“国庆”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件．
（1）商场原来平均每天盈利 元；
（2）要想平均每天销售这种童装盈利3000元，那么每件童装应降价多少元？
（3）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装销售价应定为多少元？
【答案】（1）2000；（2）20元；（3）145元
【分析】
（1）根据利润等于售价减进行加乘以销售量，即可求得每天盈利；
（2）设每件童装应降价x元，根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出5件，分别表示出降价后的利润与销量，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）根据（2）的关系式，配方即可确定出利润最多时x的值，进而求得售价．
【详解】
（1）依题意，
（元），
故答案为：
（2）设每件童装应降价x元，根据题意得：（160-120﹣x）（50+5x）=3000，
整理得：x2﹣30x+200=0，
即（x﹣20）（x﹣10）=0，
解得：x=20或x=10（不合题意，舍去），
答：每件童装应降价20元；
（3）根据题意得：利润为（40﹣x）（50+5x）=﹣5x2+150x+2000=﹣5（x﹣15）2+3125，当x=15时，利润最大，
160-15=145，即定价为145元．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，以及一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程方程是解答本题的关键．
35．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？
【答案】每千克核桃应降价4元或6元．
【分析】
设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
【详解】
解：设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得 （60−x−40）（100＋×20）＝2240．
化简，得 x2−10x＋24＝0 解得x1＝4，x2＝6．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
36．2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；（2）2019年该贫困户能脱贫
【分析】
（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2018年家庭年人均纯收入=该贫困户2016年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户2019年家庭年人均纯收入=该贫困户2018年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2019年家庭年人均纯收入，再将其与4000比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得方程
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）∵3600×（1+20%）=4320（元）．
∵4320﹥4000 ．
∴2019年该贫困户能脱贫．
答：2019年该贫困户能脱贫．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．甲、乙两家商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍．甲店、乙店这两个月销售额的月平均增长率各是多少？（如果你遇到困难，可以利用表格）

一月份销售额
三月份销售额
甲


乙


【答案】分别是，
【分析】
设乙店销售额月平均增长率为x，根据等量关系“三月份销售额甲店比乙店多10万元列出方程即可求解．
【详解】
解：设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x，
则甲店三月份的销售额为万元，
乙店三月份的销售额为万元；
，
解得：（舍去），
∴，
答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是、．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．
38．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．

【答案】（1）1秒；（2）不能，理由见解析
【分析】
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．
【详解】
解：7÷2=（s）．
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm．
（1）依题意得：×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5-t）=7，
整理得：t2-5t+7=0．
∵Δ=（-5）2-4×1×7=-3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
39．已知小明家今年6月份的用电量是110度，暑假过后发现7、8月份的总用电量达到550度．经过分析知道，7月份用电量在6月份用电量的基础上的月增长率是8月份用电量在7月份用电量的基础上的月增长率的2倍．
（1）求8月份用电量在7月份用电量的基础上的月增长率；
（2）求小明家今年7月份的用电量．
【答案】（1）50%；（2）小明家今年7月份的用电量是220度．
【分析】
（1）设8月份用电量在7月份用电量的基础上的月增长率是x，则7月份用电量在6月份用电量的基础上的月增长率是2x，根据今年6月份的用电量是110千瓦时，7、8月的用电量达到550千瓦时列出方程解答即可；
（2）利用（1）答案求得数值即可．
【详解】
解：（1）设8月份用电量在7月份用电量的基础上的月增长率是x，由题意得
110（1+2x）+110（1+2x）（1+x）=550，
解得：x1=0.5=50%，x2=-3（舍去）．
答：8月份用电量在7月份用电量的基础上的月增长率是50%；
（2）7月份的用电量是：110（1+2x）=220（度）．
答：小明家今年7月份的用电量是220度．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清如何用增长率表示出7、8月份的用电量，要注意把不合题意的解舍去．
40．已知：如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．

（1）求几秒后，的面积等于？
（2）求几秒后，的长度等于？
（3）求几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？
【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4，
【分析】
（1）设运动时间为秒，则，，根据三角形面积公式列出方程即可；
（2）设运动时间为秒，则，，根据勾股定理列出方程即可；
（3）设运动时间为秒，则，，根据勾股定理列出的式子，根据配方法即可求得最小值；
【详解】
（1）设运动时间为秒，则，，根据题意得：

解得
答：2秒或6秒后，的面积等于
（2）设运动时间为秒，则，，
在中，


解得
答：1秒或7秒后，的长度等于
（3）设运动时间为秒，则，，
在中，





当时，取得最小值为．
即4秒后，取得最小值，最小值为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 　 　；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 　 　．

【答案】（1）；（2）或 ；（3）2．
【分析】
（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才能构成四边形．根据路程=速度×时间，分别用t的代数式表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑；
（3）由（2）得到线段PQ2的关系式，然后利用二次根式的性质，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有（t+62t）×2=2×6×，
解得t=；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t=或 ；
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t232t+59=0，
此时Δ＜0，此方程无解．
综上所述，当t=或 时，点P与点Q之间的距离．
故答案为：或 ；

（3）由（2）可知，
①当0＜t≤3时，；
则时，PQ有最小值2；
②当3＜t≤4时，
则时，PQ有最小值；
∵；
∴PQ长度的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用．
42．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
【答案】每轮传染中平均每个人传染了15个人．
【分析】
设每轮传染中平均每个人传染了x个人，第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮每人又传染了x人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮病毒携带者相加共有256，列方程求解即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
根据题意，得：（x+1）2=256，
直接开平方得x+1=±16，
解得x 1=15，x 2=-17，
经检验都是原方程的根，但x 2=-17＜0不符合实际（舍去），
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
【点睛】
本题考查一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮相加=256列方程是解题关键．
43．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年我国某快递公司快递业务收入为400亿元，2020年增长至576亿元．假设该快递公司快递业务收入每年增长率都相同．
（1）求该快递公司2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率；
（2）请你预测2022年该快递公司快递业务的收入．
【答案】（1）20%；（2）829.44亿元
【分析】
（1）根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
（2）利用2020年的收入×（1+增长率）2即可．
【详解】
解：（1）设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：400（1+x）2=576，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意舍去），
答：我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为20%；
（2）576（1+20%）2=829.44，
∴2022年该快递公司快递业务的收入为829.44亿元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
44．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

【答案】
【分析】
把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可．
【详解】
解：设水渠的宽度为xm，由题意得：
(92-2x)(60-x)=885×6
解得x1=105(不含题意，舍去)，x2=1
∴x=1
答：水渠的宽度为1m．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．
45．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，设每千克小型西瓜降价x元，解答下列问题：
（1）降价x元后，每千克小西瓜的利润是_____元，每天可售出____千克（用含x的式子表示）；
（2）若该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【答案】（1），；（2）降低0.2元或0.3元
【分析】
（1）根据等量关系：利润=售价﹣进价和这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克可得出代数式；
（2）根据等量关系为：每千克的利润×每天售出数量−固定成本＝200列方程，然后解方程即可解答．
【详解】
解：（1）降价x元后，每千克小西瓜的利润是元；
每天可售出千克．
故答案为：；
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
46．某班级前年暑假将勤工俭学挣得的班费中的2000元按一年定期存入银行，去年暑假到期后取出了1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行，今年暑假毕业时全部捐给了母校．假设该银行年利率无变化，且今年暑假到期后取得本息和1155元，那么该银行一年定期存款的年利率是多少？
【答案】．
【分析】
根据“本金年利率）本息和”作为相等关系列方程求解即可．
【详解】
解：设一年定期存款的年利率为，依题意列方程，得
，
整理，得

解得，（舍去）
答：一年定期存款的年利率为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系金年利率）本息和，准确的列出方程是解决问题的关键．
47．如图，EF是一面长18m的墙，用总长为30m的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块小矩形，且在AB中间开一道2米宽的门．
（1）若要围成的矩形ABCD面积为60m2，求AB的长．
（2）能围成面积为72m2的矩形ABCD吗？请说明理由．

【答案】（1）12m；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由题意设AD的长度为x，进而表示出AB的长度，从而建立一元二次方程求解即可；
（2）在（1）的基础上，建立一元二次方程，判断是否有解即可．
【详解】
解：（1）设，则由题意，，
∵墙面的长为18m，
∴，
∴，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴AB的长为12m；
（2）由（1）可得方程：，
整理得：，
∵，
∴该一元二次方程无解，
∴不能围成面积为72m2的矩形ABCD．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立一元二次方程并求解是解题关键．
48．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用墙，其余三面用篱笆围起来，篱笆总长为24m．当围成的花圃面积为40时，求BC的长．

【答案】4米
【分析】
设平行于墙的BC边长为xm，由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB，接着根据题意列出方程，解方程即可求出BC的长．
【详解】
解：设平行于墙的BC边长为xm．
根据题意得，AB=m，
则，
解得：x1=20，x2=4，
因为20＞15，
所以x1=20舍去，
答：BC的长为4米．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
49．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
【答案】甲走了24.5步，乙走了10.5步
【分析】
根据题意作出如下图所示，设经x秒二人在B处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲乙两人走的步数．
【详解】
设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，

甲共行走：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
，
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的应用，其中涉及到勾股定理的运用，解题关键在于根据题意作出相应的图形．
50．在一幅长、宽的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？
【答案】
【分析】
设金边的宽度为xcm，则整个挂画的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．
【详解】
设金边的宽度为xcm，则整个挂画的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm．
由题意得：（90+2x）（40+2x）×72%＝90×40
解得：＝﹣70（舍去），＝5．
答：金边的宽应该是5cm．
【点睛】
本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的72%来建立方程是关键．
51．对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，要求花园所占面积等于总面积的一半，你能帮她求出图中的x吗？

【答案】
【分析】
根据花园所占面积等于总面积的一半，构建方程求解即可．
【详解】
解：根据题意，得，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），
∴＝．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
52．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
【答案】门的高为9尺6寸，宽为2尺8寸
【分析】
设门高x尺，则宽为尺，根据勾股定理列方程解答．
【详解】
解：设门高x尺，则宽为尺，
根据题意，得．
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，正确理解题意利用勾股定理列出方程是解题的关键．
53．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【答案】丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【分析】
设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可求出x的值，则2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），由题意得出400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），设m%＝t，整理得：3t2＋2t−56＝0，解得：t＝4，或t＝−（舍去），即可得出答案．
【详解】
解：设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800，
解得：x＝400；
2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600（万块），
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），
则：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−100%）2＋8000＝28000×（1＋10%），
设m%＝t，
400（1＋t）2＋2×400（1＋t−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），
整理得：3t2＋2t−56＝0，
解得：t＝4，或t＝−（舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．
54．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．

【答案】
【分析】
设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得，化为一般式即可．
【详解】
解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，
根据题意，得，
即．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．
55．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市计划今年年底全市全面实现垃圾分类，第一季度进行宣传准备工作，第二季度有60个社区实现垃圾分类，已知该市一共有285个社区，求第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率是多少？
【答案】第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率是
【分析】
设平均增长率为，根据第二季度有60个社区实现垃圾分类，已知该市一共有285个社区，某市计划今年年底全市全面实现垃圾分类列出方程，求解即可．
【详解】
解：设平均增长率为，
依题意得：，
解得：（舍），，
故第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率是．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．
56．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？
【答案】这群猴子的总数为16只或48只
【分析】
设有x个猴子，由题意列方程可得问题的解．
【详解】
解：设有x个猴子，由题意列方程得：
，
整理得：x2﹣64x+768＝0，
分解因式得：（x﹣16）（x﹣48）＝0，
解得：x1＝16，x2＝48，
答：这群猴子的总数为16只或48只．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设出相应的未知数列出方程以及熟练运用因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．
57．张大爷一家承接的手工产品成本每件元，销售单价为元时，每月销量为件，销售单价每降低元，每月销量增加件．政府根据每月销量补贴每件元补助金．
（1）当销售单价定为元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得元的手工产品收入？
【答案】（1）元；（2）元
【分析】
（1）根据销售单价每降低元，每月销量增加件，可知定价为15元时销售量为，然后根据每件元补助金即可得到答案；
（2）设销售单价为元，根据：收入=（售价-成本）×销量，即可得到方程，求解即可．
【详解】
解：（1）定价为15元时，降价5元，
由题意可得：（元），
答：政府本月补助张大爷一家元．
（2）设销售单价为元，由题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去），
答：当某月销售单价为元时，张大爷一家能获得元的手工产品收入．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用问题，根据题意列出方程是解题的关键，要注意答案的取舍问题．
58．某养殖专业户要建一个如图所示的矩形养鸡场．养鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，墙的对面留有一个米宽的门．
（1）若墙长为米，要围成的养鸡场面积是平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的养鸡场面积能达到平方米吗？说明理由．

【答案】（1）长为米，宽为米；（2）不能达到，理由见解析
【分析】
（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式Δ＝﹣104＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到180平方米．
【详解】
解：（1）设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：养鸡场的长为米，宽为米．
（2）围成的养鸡场面积不能达到平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
围成的养鸡场面积不能达到平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
59．某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵．求这个百分数．
【答案】100%
【分析】
设每年比前一年增长的百分数为x，则第二年的数量是200（1+x），第三年的栽种果树数量是200（1+x）2．根据题意建立方程，求出其解就可以了．
【详解】
解：设每年比前一年增长的百分数为x，则第二年的数量是200（1+x），第三年的栽种果树数量是200（1+x）2．根据题意得：
200+200（1+x）+200（1+x）2=1400，
解得：x1=1，x2=-4（舍去）．
故这个百分数为100%．
【点睛】
本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用．在解答时检验根是否符合题意是关键．
60．某经销商以20元/的价格购进一批商品进行销售，销售单价是x元/（其中），根据以往的销售经验及对市场行情的调研，发现该商品日销售量等于固定批发量和分散零售量两部分之和，其中固定批发量是，分散零售量与成正比：下表是调查中某一日的销售数据登记表，请解决下面的问题
销售单价
日销售量
每件利润
日总利润
24元
240千克
元
元
（1）上述表中_______；________．
（2）求日销售量y与x的函数关系式；
（3）国庆节当天销售该商品的日总利润达到1440元，则这一天的销售单价是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）这一天的销售单价为每千克28元.
【分析】
（1）由销售价减去进价即可得每千克的利润，每千克的利润乘以销售的数量可得总利润；
（2）结合题意设出函数解析式为：把时，代入解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）利用每千克利润乘以销售的数量等于总利润列方程，再解方程即可得到答案.
【详解】
解：（1）由销售价为每千克24元，而进价为每千克20元，
可得：每千克的利润为4元，日总利润为元，
所以：
（2）由题意设：
当时，

解得：

（3）设这一天的销售单价为每千克元，
则
整理得：

解得：
，
所以不符合题意，取
即这一天的销售单价为每千克28元.
【点睛】
本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一元二次方程的应用，利用每千克利润乘以销售的数量等于总利润列方程是解题的关键.
61．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该商店采取降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件，若该商品降价x元，销售利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天销售利润为1800元？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1） 根据利润等于单件商品利润乘以销售量，由销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式；
（2）根据（1）中的关系式，令，解方程即可求得答案．
【详解】
（1）依题意，
每件盈利不少于25元

解得
y与x的函数关系式为；
（2）依题意，

即

解得


答：当每件商品降价10元时，该商品每天销售利润为1800元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
62．某汽车店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的市场调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出1辆．该店要想平均每周的销售利润为90万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车应降价多少万元？
【答案】24万元．
【分析】
销售利润一辆汽车的利润销售汽车数量，一辆汽车的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每辆的盈利销售的件数万元，即可列方程求解．
【详解】
解：设每辆汽车的降价为万元，根据题意得：
，
解得，，
当时，总成本为（万元）；
当时，总成本为（万元），
为使成本尽可能的低，则，即（万元），
答：每辆汽车的定价应为24万元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系：每辆的盈利销售的件数万元是解决问题的关键．
63．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解．
【答案】周瑜逝世时的年龄是36岁
【分析】
设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，根据“十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
【详解】
解：设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，则个位数字为x+3，
根据题意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2，
化为一般形式得：x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
当x＝2时，（x+3）2＝25，
当x＝3时，（x+3）2＝36，
又∵周瑜的年龄在30-40岁之间，
∴周瑜逝世时的年龄是36岁．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
64．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）3或5；（2）能，48
【分析】
（1）设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米，根据矩形的面积公式得到关于x的方程，然后求解方程即可；
（2）利用配方法将（1）中的一元二次方程变形即可得到答案．
【详解】
（1）设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米，
根据题意得：（24-3x）x=45，
解得x1=3，x2=5，
当x=3时，长方形花圃的长为24-3x=15；
当x=5时，长方形花圃的长为24-3x=9，
均符合题意；
∴AB的长为3m或5m；
（2）花圃的面积为：（24-3x）x=-3x2+24x=-3（x2-8x+16-16）=-3（x-4）2+48，
∴当AB长为4m，BC为12m时，有最大面积，为48平方米．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程与配方法的应用，解此题的关键在于设出未知数，根据题意列出一元二次方程．
65．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
【答案】2元或8元
【分析】
根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设该商品每件降价x元，根据题意得

整理得，

解得
经检验，符合题意，
答：每件商品应降价2元或8元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，是重要考点，熟练掌握销售问题的数量关系是解题关键．
66．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件，已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？
【答案】售价应定为250元．
【分析】
根据月利润=每件利润×月销售量，可求出售价为300元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x-200）元，月销售量为100+=（700-2x）件，根据月利润=每件利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x-200）元，月销售量为100+=（700-2x）件，
依题意，得：（x-200）（700-2x）=（300-200）×100，
整理，得：x2-550x+75000=0，
解得：x1=250，x2=300（舍去）．
答：售价应定为250元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
67．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）每台空气加湿器应降价20元；（2）不能，见解析
【分析】
（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定x的值；
（2）设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-775＜0可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元．
【详解】
解：（1）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50-x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
整理得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元；
（2）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50-y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50-y）（30+2y）=2500，
整理得：y2-35y+500=0．
∵Δ=（-35）2-4×1×500=1225-2000=-775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
68．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？
【答案】每件衬衫应降价20元．
【分析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】
解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得（ 40-x）（20+2x）=1200 ，
整理，得x2-30x+200=0 ，
解得x1=10，x2=20．
经检验都是原方程的解，
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=20．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是读清题意，抓住等量关系列方程进行解答．
69．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【答案】（1）30件．（2）10元．
【分析】
（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【详解】
解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
70．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【答案】（1）10%；（2）5
【分析】
（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【详解】
解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥199，
解得a≥，
∵a为整数，
∴a的最小值是5，
答：第一次降价至少售出5件后，方可进行第二次降价．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式．
71．第四届数字中国建设峰会于2021年4月25日在福州开幕，在其中一场数字产品的交易碰头会上，与会的每两家公司之间都签订了一份互助协议，所有公司共签订了210份协议，求共有多少家公司参加这场交易碰头会？
【答案】共有21家公司参加这场交易碰头会
【分析】
每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份，根据“所有公司共签订了210份协议”列出方程求解即可．
【详解】
解：设有x家公司参加，根据题意得，
x（x﹣1）＝210
整理得：x2﹣x﹣420＝0
解得：x1＝21，x2＝﹣20（舍去）
答：共有21家公司参加这场交易碰头会．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，解答时注意舍去不符合题意的解．
72．华为手机历来都是中国人特别喜欢的国产品牌手机，重庆时代天街的华为官方旗舰店年初推出了华为nova 8和华为Mate40 Pro两款爆款手机，两款手机的售价分别是3000元和6600元，在今年上半年共售出1200台，总销售额为6120000元．
（1）该官方旗舰店今年上半年销售华为Mate40 Pro多少台；
（2）由于华为Mate40 Pro深受消费者的喜爱，下半年该官方旗舰店决定将华为Mate40 Pro的售价在上半年的基础上降低了100元，华为nova 8的价格在上半年的基础上增加了a%，预估华为Mate40 Pro的销量比上半年增加a%，华为nova 8的销量比上半年减少2a%，预计销售总额比上半年少70000元，求a的值．
【答案】（1）该官方旗舰店今年上半年销售华为Mate40 Pro 700台；（2）a的值为15．
【分析】
（1）设该商场今年上半年销售华为Mate40 Pro x台，则销售华为nova 8 （1200-x）台，根据华为Mate40 Pro 的销售额+华为nova 8的销售额等于总销售额列出方程求解即可；
（2）根据华为Mate40 Pro 的销售额+华为nova 8的销售额等于总销售额列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）设该商场今年上半年销售华为Mate40 Pro x台，则销售华为nova 8 （1200-x）台，
依题意得：

解得：．
答：该官方旗舰店今年上半年销售华为Mate40 Pro 700台；
（2）依题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：a的值为15．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．找准等量关系式，正确列出方程是解题关键．
73．某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件．若该商店计划该商品每天获利1125元，则该商品每件应上涨价多少元？
【答案】该商品每件应上涨价5元．
【分析】
设该商品每件应上涨价x元，因此每天销量减少5x件，所以销量为100－5x，每件商品利润为（x+10），所以根据公式总利润=每件利润×销量列出方程，解出x即可．
【详解】
解：设该商品每件应上涨价x元，
根据题意：（30+x-20）×（100－5x）=1125，
x2－10x+25=0，
解得：x1=x2=5，
经检验，x1=x2=5符合题意，是原方程的解，
答：该商品每件应上涨价5元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用--商品销售利润问题，此类问题为常考题型，最主要能根据题意列出销量的代数式．
74．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；
（3）当t为何值时，△PCQ的面积是31cm2？

【答案】（1）当t=2时，△QAP是等腰直角三角形；（2）36；（3）当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2．
【分析】
（1）根据题意得到AP=2t，DQ=t，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可；
（2）根据四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积计算；
（3）用t表示出△PCQ的面积，根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意得，AP=2t，DQ=t，
则PB=12-2t，AQ=6-t，
△QAP是等腰直角三角形，
则AQ=AP，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：当t=2时，△QAP是等腰直角三角形；
（2）四边形QAPC的面积=四边形ABCD的面积-△CDQ的面积-△PBC的面积
=12×6-×12×t-×6×（12-2t）
=36；
（3）△PCQ的面积=四边形QAPC的面积-△QAP的面积
=36-×2t×（6-t）
=36-6t+t2，
当△PCQ的面积是31cm2时，36-6t+t2=31，
解得，t1=1，t2=5，
则当t=1或5时，△PCQ的面积是31cm2．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的解法，根据题意正确表示出线段AP、DQ的长度、灵活运用相关的性质定理列出关系式是解题的关键．
75．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
【答案】销售单价定为80元．
【分析】
设出单价应定为x元，由于销售利润=每件利润×数量，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：设销售单价定为x元，根据题意得：
（x-40）[500-（x-50）10]=8000，
解得：x1=60，x2=80，
当售价为60时，月成本[500-（60-50）10]×40=16000＞10000，所以舍去，
当售价为80时，月成本[500-（80-50）10]×40=8000＜10000，
答：销售单价定为80元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据销售利润=每件利润×数量这个等式列出方程是解决本题的关键．
76．现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展．据凋查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【答案】（1）该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）该公司现有的16名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加7名业务员
【分析】
（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年6月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的16名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论，再确定人数即可．
【详解】
解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：10×（1+x）2=12.1，
解得：x1=10%，x2=-210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）=13.31（万件），
16×0.6=9.6（万件）．
∵9.6