【期末考前必练】2022-2023学年苏科版数学八年级上册期末考点必刷题：专练06 填空题-压轴（15题）

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专练06 填空题-压轴（15题）
1．（2021·重庆梁平·八年级期末）如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．

【答案】
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，

∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP= BN，BN=AO，
∴BP= AO= ×7=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．
2．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）

【答案】①②③④⑤
解：①∵，
，
，
，故①正确；
②是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的垂直平分线，
，故②正确；

③，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，故③正确；
④，
，
∵；
；故④正确；
⑤，
，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
3．（2021·黑龙江巴彦·八年级期末）如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．

【答案】
解：连接，过点作，交于，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
即，
，
可以假设，，设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2021·浙江江干·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若，，则_________，_________．

【答案】60° 10
解：如图，在BE上取点F，连接CF，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB−∠ACF＝∠FCE−∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
∵点A与点D关于PC对称，
∴PC垂直平分AD，
则EA＝ED，CA＝CD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD−∠EAD＝∠CDA−∠EDA，
即∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝CD，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
又∵∠FCE＝60°，
∴△CFE是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，即=60°．
∵△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
又∵AE＝ED，
∴BF＝AE＝ED，
∵△CFE是等边三角形，
∴CE＝EF，
∵BF＋EF＋ED＝BD，
∴2AE＋CE＝BD，
∵，，
∴BD=10．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，轴对称变换，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够结合图形的变换作出合适的辅助线，构造全等三角形．
5．（2021·重庆渝中·八年级期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为_____．（填写结论的编号）

【答案】①②③
解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：


∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE
∴PM=PD
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF
∴PM=PN
∴PD=PN
∵PC=PC
∴
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）
=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN
∵外角定理
∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；
③由①可得，，且
∴∠APC=∠MPN
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°
∴∠MPN=180°-∠ABC
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
③由①可得，，且
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算，熟练各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．
6．（2021·四川宜宾·八年级期末）已知：如图，在、中，，，，、相交于点，、分别是、的中点．有下列结论：①；②；③连结、，则为等腰直角三角形；④连结，则平分．其中，正确的结论是：__________．（只填序号）

【答案】①②③④
∵
∴∠BAC＋∠CAD=∠DAE＋∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中


∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE
故①正确
∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BOC
∴∠BAC=∠BOC=90°
∴BD⊥CE
故②正确
∵点P是BD的中点，点Q是CE的中点
∴BP=BD,CQ=CE
∴BP=CQ
在△ABP和△ACQ中


∴△ABP≌△ACQ(SAS)
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ
∵∠BAP+∠PAC=90°
∴∠CAQ＋∠PAC＝90°
∴∠PAQ＝90°
∴△APQ是等腰直角三角形
故③正确
如图所示


过点A作AM⊥BO于点M，过点A作AN⊥CE于点N
∴∠AMB=∠ANC=90°
∴在△ABM和△CAN中


∴△ABM≌△CAN(AAS)
∴AM＝AN
∵AM⊥OB,AN⊥OE
∴OA平分∠BOE
故④正确
∴正确的结论是：①②③④
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定定理，以及线段中点，垂直的定义知识．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，以及等腰直角三角形的判定方法，角平分线的判定定理，垂直的定义等知识的综合运用．
7．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形；⑤．其中正确的有______．（填写番号）

【答案】①②③④
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°−45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
∵，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC，故①正确．
∵平分，且，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
又∵BE=BE，
∴∆ABE≅∆CBE（ASA），
∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，
∵△BDF≌△CDA，
∴AD=FD，
∴=FD+CF=CD=BD，即：，
故③正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDC＝90°，BD＝DC，H是BC的中点，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM，
又∵BD＞BH，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故答案是：①②③④．

【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2021·广东南海·八年级期末）如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是 __．

【答案】①②④
解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E，
∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；
∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠E＝45°，故①正确；
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；
在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示：

在△ACE和△FCD中，

∴△ACE≌△FCD（SAS），
∴AC＝FC，
当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，
则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2021·湖北江岸·八年级期末）如图，在中，，，平分交于点．为直线上一动点.以、为邻边构造平行四边形，连接，若．则的最小值为____．

【答案】
解：过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，如图，

∵，
∴∠ACM=30°
∵AC=4
∴AM=2
由勾股定理得，CM=
∵
∴∠MCB=45°
∴
∵平分
∴
设MN=x，则AN=2+x
在中，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
又在中，
∴
解得，
∴DN=2
设O为平行四边形DPQB的中心，
∴O在PB上，
过点Q作QT⊥PB于点T，
∵QO=DO，∠TOQ=∠DON，∠QTO=∠DNO
∴
∴QT=DN=2
根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT=
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，求出DN=2是解答此题的关键．
10．（2021·四川成华·八年级期末）如图，点A（﹣2，0），直线l：y＝与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，则点A3的坐标是_____．

【答案】
解：∵直线l：y＝与x轴交于点B，
∴B（-1，0），
∴OB=1，
∵A（-2，0），
∴OA=2，
∴AB=1，
∵△ABA1是等边三角形，
∴，
把，代入y＝，求得，
∴，
∴A1B1=2，
∴，即，
把代入，求得，
，
∴A2B2=4，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是正确运用等边三角形的性质和一次函数图象上的点坐标的特征表示点的坐标．
11．（2021·重庆南开中学八年级期末）2020年1月15日上午八点，重庆马拉松赛在南滨路鸣枪起跑．为庆祝重马十周年，小明和小红约定一起参加迷你马拉松跑（全长5000 米）．比赛开始前，两人约定，完成总路程的时，速度快的人要在原地停留等待对方．比赛正式开始后，两人均匀速向前．已知小明率先完成全程的，并立刻停下，待小红追上时再次以原速匀速出发．一段时间后，小明体力不支，降速为原来的后匀速前进，最后同时与小红到达终点． 在此过程中，小红速度保持不变．如图是小明和小红之间的距离（米）与两人出发的时间（分钟）之间的函数图象．则小明开始降速时，小明距离终点还有______米．

【答案】1600．
小红速度保持不变．跑完全程用分钟，
小红速度为：米/分，
小明跑完1000米时所用时间为：，
小明的速度为米/分，
小红完成1000米时间为：分，
设小明由跑x分钟后速度降为原来的，速度为米/分，
根据题意，
解得，
小明距离终点=米．
故答案为：1600．
【点睛】
本题考查行程问题的一次函数图像问题，掌握速度，时间与路程之间的关系，抓住x轴的总时间与路程求出小红的速度，用路程-求出所用时间来解决小明速度，抓住减速前后行驶的路程和不变构造方程是解题关键．
12．（2021·广西灌阳·八年级期末）如图，直线L：y＝x，点A坐标为（0，1），过点A作y轴的垂线交直线L于点B1以OB1为边作等边三角形OA1B1，再过点A1作y轴的垂线交直线L于点B2，以OB2为边作等边三角形OA2B2，……，按此做法进行下去，点A2019的坐标为_____．

【答案】（0，22018）．
解：直线y＝x，点A坐标为（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线L于点B1，可知B1点的坐标为（，1），
以OB1为边作等边三角形OA2B1，再过点A2作y轴的垂线交直线L于点B2，OA2＝OB1＝2OA1＝2，点A2的坐标为（0，2），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），
故点A3的坐标为（0，4），B3的坐标为（4，4），
点A4的坐标为（0，8），B4的坐标为（8，8），
此类推便可求出点An的坐标为（0，2n﹣1）．
所以点A2019的坐标为（0，22018）．
故答案为（0，22018）．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．
13．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

【答案】
解: 把x=0代入 y = − x + 4 得出y=4,
∴B(0,4);
∴OB=4;  
∵C是OB的中点，
∴OC=2,
∵四边形OEDC是菱形,
∴DE=OC=2;DE∥OC,
把y=0代入 y = − x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,
设D(x,) ,
∴E(x,- x+2),
延长DE交OA于点F，

∴EF=-x+2,OF=x,
在Rt△OEF中利用勾股定理得：,
解得 ：x1=0(舍），x2=；
∴EF=1,
∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案为.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.
14．（2021·河南梁园·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴．垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为_______.

【答案】
如图，过点P 作EF∥x轴，交y轴与点E，交AB于点F，则
易证△CEP≌△PFD（ASA），
∴EP=DF，
∵P（1，1），
∴BF=DF=1，BD=2，
∵BD=2AD，
∴BA=3
∵点A在直线上，∴点A的坐标为（3，3），
∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（0，3），
设直线CD的解析式为，
则解得：
∴直线CD的解析式为，
联立可得
∴点Q的坐标为.

15．（2021·重庆巴南·八年级期末）如图，沿直线翻折后能与重合，沿直线翻折后能与重合，与相交于点，若，，，则__________．

【答案】
解：连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，

∵△ABC沿直线AB翻折后能与△ABD重合，
∴BC=BD，∠CBA=∠DBA，AC=AD=，
根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，
设DG=x，AG=y，
在Rt△ADG中，①,
在Rt△BDG中，②,
②-①得：，
则(负值已舍)，
∴DG= AG=1，∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠DAC=90°，
同理，△ABC沿直线AC翻折后能与△AFC重合，
∴CH⊥BF，BH=HF，
设BH=m，AH=n，
在Rt△ABH中，③,
在Rt△CBH中，④,
由③④得：，
∴BH=AH=，∠AFB=∠ABF=45°，
∴∠BAF=90°，
∵∠EAC=∠FHC=90°，
∴四边形为梯形，
∵，
∴，
即，
∴AE=，
∴DE=AD-AE=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．