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【期末仿真检测】苏科版数学 九年级上学期-期末测试卷02（提高卷）（苏州专用）
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2022-2023学年九年级上学期期末测试卷02
数学
班级___________ 姓名___________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
【考试范围：苏教九年级上册全部】
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若关于x的方程有一个根是1，则a等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【解析】把代入得：，
解得：．故选：B．
2．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关
【答案】B
【解析】解：根据题意得△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．有一组数据：1，2，3，3，4．这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3；故选：C．
4．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【解析】解：原数据的平均数为，
则原数据的方差为×[（180-188）2+（184-188）2+（188-188）2+（190-188）2+（192-188）2+（194-188）2]= ，
新数据的平均数为，
则新数据的方差为×[（180-187）2+（184-187）2+（188-187）2+（190-187）2+（188-187）2+（192-187）2]= ，
所以平均数变小，方差变小，故选：A．
5．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么指针同时落在偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：列表得，
1
2
4
5
6
1
1，1
1，2
1，4
1，5
1，6
2
2，1，
2，2，
2，4
2，5
2，6
3
3，1
3，2
3，4
3，5
3，6
4
4，1
4，2
4，4
4，5
4，6
5
5，1
5，2
5，4
5，5
5，6
共有5×5=25种可能，指针同时落在偶数的结果有（2，2）、（2，4）、（2，6）、（4，2）、（4，4）、（4，6）共6种，
所以指针同时落在偶数的概率是．故选：B．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解析】解：A、同圆中，直径是最长的弦，说法正确，不符合题意；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，不符合题意；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；D、长度相等的弧是等弧，说法错误，符合题意；故选：D．
7．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，故不正确的有①②③，故选：Ｃ．
8．将一个底面半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：将一个半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
圆锥侧面积公式为：，
扇形面积为，
解得：，
侧面展开图的圆心角是144度．故选：．
9．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，∵∠AOB=，AO=BO
∴△AOB是等边三角形
作CO⊥AB
∴CO=R
∠AOC=∠AOB=30°
∴AC=AB=AO
∵AO2=AC2+CO2
∴AO2=（AO）2+R2
∴AO=，
故选A．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【解析】解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确；
③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误；
④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确；综上，正确的是 ②④．故答案为D．
二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上)
11．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码运动鞋的销量，在平均数、中位数、众数这三个统计量中，该鞋厂最关注的是________．
【答案】众数
【解析】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的尺码即这组数据的众数．
故答案：众数．
12．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，则电话在响第五声之前被接的概率为___________．
【答案】0.8
【解析】打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，
电话在响第五声之前被接的概率为．故答案为：0.8．
13．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x＋6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝____．
【答案】3或2或3
【解析】解：解方程x2﹣5x+6＝0得x＝3或x＝2，
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝2×3﹣22＝2．
故答案为：3或2．
14．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝___．
【答案】2
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣3x＋k＝0的两个根，
∴，，
又∵x1＝2x2，
∴，解得：，，
∴．故答案为：2．
15．设m、n是一元二次方程x2 +3x –7=0的两个根，则m2 +5m +2n=________．
【答案】1
【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：1．
16．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段BP的长为______．
【答案】3
【解析】如图所示：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴，
∵，，
∴，则，
故．
故答案为：3．
17．如图，是⊙O的直径，点在上，并且于若，则的长为_____________________
【答案】
【解析】连接，如图，
是⊙O的直径，，，
在中，
故答案为：
18．如图，矩形ABCD中，AB＝，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到矩形AB′C′D′，此时点B′恰好落在CD上时，点C的运动路径为弧CC′，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠B′AE=∠B′AD=∠C′AC=，AB′=AB=，AC′=AC，
∴△B′AD是等腰直角三角形，
∴四边形B′EAD是正方形，且AD=DB′=1，
∴B′E=AD=AE=DB′=1，
AC′=AC=，
∴B′C=BE=，
∴图中阴影部分的面积=S扇形C′AC-S△AB'C′-S△AB′C
故答案为：．
三、解答题：(本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.)
19.（5分）19．计算：
【答案】
【解析】解：
20.（5分）解方程：x2+2x＝x+2．
【答案】
【解析】解：x2+2x＝x+2
移项得：
或
解得：
21.（6分）先化简，再求值：，其中是满足不等式组的整数解之一．
【答案】当时，原式；当时，原式
【解析】解：
解不等式组，解不等式①得：，解不等式②得：，
故，
∵为整数，
∴可为0，1，2．
∵且，
∴或2．
∴当时，原式；当时，原式．
22.（6分）某校举办了国学知识竞赛，满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：，，，，，，，，，．
乙组：，，，，，，，，，．
组别
平均数
中位数
方差
甲组
乙组
（1）以上成绩统计分析表中________，________；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是________组的学生；
（3）如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．
【答案】（1）60，68；（2）甲；（3）选乙组同学代表学校参加复赛，理由见解析
【解析】（1）甲组的中位数（分），
乙组的平均数是：（分），
故答案为：60，68；
（2）根据中位数判断，甲组中位数60分，乙组中位数70分，所以小明是在甲组；
（3）乙组的方差是： ，
∵乙组的方差小于甲组，
∴选乙组同学代表学校参加复赛．
23.（8分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者，某数学兴趣小组对消费行为进行调查．按购物数量x（件）分为以下4类：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根据调查结果制作了如下两图统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%，根据图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自“天猫商城”，3件电子产品购自“京东商城”，由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货，已知“天猫商城”购买的4件服装中仅1件支持退货，“京东商城”购买的电子产品中仅2件支持退货．请用列表或树状图的方法，求小张选出的2件商品均能退货的概率．
【答案】（1）60人；（2）见解析；（3）．
【解析】解：（1）理性购物的总人数为12÷30%=40（人），
则B类理性购物人数为40×40%=16，
∴B类购物人数为16÷80%=20（人），
本次调查的总人数为15+20+15+10=60（人），
故答案为：60；
（2）补全条形统计图为：
（3）用1、2、3、4表示购自“天猫商城”的4件服装，且4为支持退货的服装；3件电子产品用5、6、7表示，且6、7为支持退货的电子产品，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种，
∴小张选出的2件商品均能退货的概率=．
24.（8分）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，于C．交⊙O于D．
（1）求证：AE平分；
（2）若，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接OE，
∴，
∴，
∵PQ切⊙O于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AE平分．
（2）解：过点O作于M，
∴，
又∵，
∴四边形OECM为矩形，
∴，
在中，
，
即⊙O的半径为
25.（8分）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析
【解析】解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与y轴，x轴分别交于点A、B，动点P在线段AB上移动（点P不与点A、点B重合），以点P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求证：∠AOP＝∠BPQ；
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点O到直线PQ的距离是 ，请直接写出线段AP的长．
【答案】（1）A（0，2），B（2，0）；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（1，1）或；（4） 或
【解析】解：（1）直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于B、A两点，
令x=0，则y=0+2=2，
∴A（0，2），
令y=0，则0=-x+2，解得：x=2，
∴B（2，0）；
（2）证明：过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A (0，2), B (2，0)，
∴ OA=OB=2，
∴ ∠OAB= ∠OBA= 45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE=45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ=90°，
∵∠OPE+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠BPQ；
（3）△OPQ可以是等腰三角形，理由如下：
如图，过点P作PE⊥OA于点E，
若OP=OQ，则∠OPQ=∠OQP=45°，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∵点P不与点A、点B重合，
∴此种情况不成立；
若PQ=OQ，则∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+2，解得：x=1，
∴点P坐标为（1，1）；
若PO=PQ，过P点PM⊥OA交OB于点M，
由（2）知：∠AOP=∠BPQ，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
∴PB=OA=2，
∵∠OBA=45°，
∴△PMB以是等腰直角三角形，PB=2，
∵ ，
∴ ，
∴点 ，
综上所述，点P的坐标为（1，1）或；
（4）如图，过点O作ON⊥PQ，交PQ于点N，过点P作PF⊥OA于点F，则 ，AM=MP，
∵∠OPQ=45°，
∴△PON是等腰直角三角形，
∴ON=PN，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在中， ，
即 ，
解得： ，
∴ 或．
27.（10分）（问题情境）
如图1，在△ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
（问题解决）
小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是 （填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在Rt△GBC中运用勾股定理，求出AD的长．
（方法提炼）通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为 ．
【答案】（1）正方形；（2）12；（3）；（4）
【解析】解：（1）四边形AEGF是正方形，理由如下：
由折叠得：，．
，，
又∵，
．
又，
，．
四边形是矩形，
∵，，
∴，，
．
矩形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）设，则．
，，
，，
，，
在中，，
．
化简得，，
解得：，（舍去）
∴；
（3）如图①，将沿着AB翻折得到，将沿着AD翻折得到，连接EF，
∴BE＝BC＝6，DF＝CD＝8，且AE＝AF＝AC，，，
又∵，
．
∴，
∵，，，
∴，
∵当BE、BD、DF三条线段共线时，EF最大，
∴EF的最大值为6＋8＋10＝24，
∴AC的最大值为；
（4）如图②，将沿着DM翻折得到，将沿着CM翻折得到，连接EF，
由翻折可得：DE＝AD＝2，EM＝AM＝3，MF＝BM＝4，CF＝BC＝，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵EM＝3，MF＝4，
∴，
∵CD≤DE＋EF＋FC＝，当点D、E、F、C在同一直线上时取得最大值，
∴CD的最大值为，
故答案为：．
28.（10分）问题提出
如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，
求证：CD＝BA+AD．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．
∵M是的中点
∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 ．
拓展研究
如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由．
【答案】问题提出：见解析；推广运用：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，理由见解析
【解析】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC，
∵M是的中点，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAB=180°-∠MCB，∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC，
∴∠EAM=∠BAM，
在△EAM和△BAM中，
，
∴△EAM≌△BAM（SAS），
∴ME=MB=MC，
又∵MD⊥AC，
∴ED=CD，
∴DC=AD+AE=BA+AD；
推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= ，
则△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+2BE=1+，
故答案为：1+；
拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，
证明：延长MD交圆O于点E，如图④，连接EA，EF，ED，EB交AC于N，
∵M是的中点，
∴∠BEM=∠CEM，
在△EDN和△EDC中，
,
∴△EDN≌△EDC ,
∴CD=ND，∠ECD=∠END，
∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB，
∴∠ANB=∠ABE，
∴AN=AB，
∴AD=AN+ND=BA+CD．
2022-2023学年九年级上学期期末测试卷02
数学
班级___________ 姓名___________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
【考试范围：苏教九年级上册全部】
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若关于x的方程有一个根是1，则a等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【解析】把代入得：，
解得：．故选：B．
2．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关
【答案】B
【解析】解：根据题意得△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．有一组数据：1，2，3，3，4．这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3；故选：C．
4．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【解析】解：原数据的平均数为，
则原数据的方差为×[（180-188）2+（184-188）2+（188-188）2+（190-188）2+（192-188）2+（194-188）2]= ，
新数据的平均数为，
则新数据的方差为×[（180-187）2+（184-187）2+（188-187）2+（190-187）2+（188-187）2+（192-187）2]= ，
所以平均数变小，方差变小，故选：A．
5．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么指针同时落在偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：列表得，
1
2
4
5
6
1
1，1
1，2
1，4
1，5
1，6
2
2，1，
2，2，
2，4
2，5
2，6
3
3，1
3，2
3，4
3，5
3，6
4
4，1
4，2
4，4
4，5
4，6
5
5，1
5，2
5，4
5，5
5，6
共有5×5=25种可能，指针同时落在偶数的结果有（2，2）、（2，4）、（2，6）、（4，2）、（4，4）、（4，6）共6种，
所以指针同时落在偶数的概率是．故选：B．
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解析】解：A、同圆中，直径是最长的弦，说法正确，不符合题意；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，不符合题意；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；D、长度相等的弧是等弧，说法错误，符合题意；故选：D．
7．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，故不正确的有①②③，故选：Ｃ．
8．将一个底面半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：将一个半径为，母线长为的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
圆锥侧面积公式为：，
扇形面积为，
解得：，
侧面展开图的圆心角是144度．故选：．
9．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，∵∠AOB=，AO=BO
∴△AOB是等边三角形
作CO⊥AB
∴CO=R
∠AOC=∠AOB=30°
∴AC=AB=AO
∵AO2=AC2+CO2
∴AO2=（AO）2+R2
∴AO=，
故选A．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
【答案】D
【解析】解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确；
③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误；
④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确；综上，正确的是 ②④．故答案为D．
二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上)
11．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码运动鞋的销量，在平均数、中位数、众数这三个统计量中，该鞋厂最关注的是________．
【答案】众数
【解析】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的尺码即这组数据的众数．
故答案：众数．
12．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，则电话在响第五声之前被接的概率为___________．
【答案】0.8
【解析】打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，
电话在响第五声之前被接的概率为．故答案为：0.8．
13．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x＋6＝0的两个根，其中x1＞x2，则x1*x2＝____．
【答案】3或2或3
【解析】解：解方程x2﹣5x+6＝0得x＝3或x＝2，
当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝2×3﹣22＝2．
故答案为：3或2．
14．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝___．
【答案】2
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣3x＋k＝0的两个根，
∴，，
又∵x1＝2x2，
∴，解得：，，
∴．故答案为：2．
15．设m、n是一元二次方程x2 +3x –7=0的两个根，则m2 +5m +2n=________．
【答案】1
【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：1．
16．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段BP的长为______．
【答案】3
【解析】如图所示：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴，
∵，，
∴，则，
故．
故答案为：3．
17．如图，是⊙O的直径，点在上，并且于若，则的长为_____________________
【答案】
【解析】连接，如图，
是⊙O的直径，，，
在中，
故答案为：
18．如图，矩形ABCD中，AB＝，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到矩形AB′C′D′，此时点B′恰好落在CD上时，点C的运动路径为弧CC′，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】解：如图连接AC，AC′，过B′作B′E⊥AB于E，
∵将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠B′AE=∠B′AD=∠C′AC=，AB′=AB=，AC′=AC，
∴△B′AD是等腰直角三角形，
∴四边形B′EAD是正方形，且AD=DB′=1，
∴B′E=AD=AE=DB′=1，
AC′=AC=，
∴B′C=BE=，
∴图中阴影部分的面积=S扇形C′AC-S△AB'C′-S△AB′C
故答案为：．
三、解答题：(本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.)
19.（5分）19．计算：
【答案】
【解析】解：
20.（5分）解方程：x2+2x＝x+2．
【答案】
【解析】解：x2+2x＝x+2
移项得：
或
解得：
21.（6分）先化简，再求值：，其中是满足不等式组的整数解之一．
【答案】当时，原式；当时，原式
【解析】解：
解不等式组，解不等式①得：，解不等式②得：，
故，
∵为整数，
∴可为0，1，2．
∵且，
∴或2．
∴当时，原式；当时，原式．
22.（6分）某校举办了国学知识竞赛，满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：，，，，，，，，，．
乙组：，，，，，，，，，．
组别
平均数
中位数
方差
甲组
乙组
（1）以上成绩统计分析表中________，________；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是________组的学生；
（3）如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由．
【答案】（1）60，68；（2）甲；（3）选乙组同学代表学校参加复赛，理由见解析
【解析】（1）甲组的中位数（分），
乙组的平均数是：（分），
故答案为：60，68；
（2）根据中位数判断，甲组中位数60分，乙组中位数70分，所以小明是在甲组；
（3）乙组的方差是： ，
∵乙组的方差小于甲组，
∴选乙组同学代表学校参加复赛．
23.（8分）“双十一”购物日中不乏冲动消费者，某数学兴趣小组对消费行为进行调查．按购物数量x（件）分为以下4类：A（x≤3），B（x＝4），C（x＝5），D（x≥6），根据调查结果制作了如下两图统计图（不完整），已知购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%，根据图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自“天猫商城”，3件电子产品购自“京东商城”，由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货，已知“天猫商城”购买的4件服装中仅1件支持退货，“京东商城”购买的电子产品中仅2件支持退货．请用列表或树状图的方法，求小张选出的2件商品均能退货的概率．
【答案】（1）60人；（2）见解析；（3）．
【解析】解：（1）理性购物的总人数为12÷30%=40（人），
则B类理性购物人数为40×40%=16，
∴B类购物人数为16÷80%=20（人），
本次调查的总人数为15+20+15+10=60（人），
故答案为：60；
（2）补全条形统计图为：
（3）用1、2、3、4表示购自“天猫商城”的4件服装，且4为支持退货的服装；3件电子产品用5、6、7表示，且6、7为支持退货的电子产品，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种，
∴小张选出的2件商品均能退货的概率=．
24.（8分）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，于C．交⊙O于D．
（1）求证：AE平分；
（2）若，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接OE，
∴，
∴，
∵PQ切⊙O于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AE平分．
（2）解：过点O作于M，
∴，
又∵，
∴四边形OECM为矩形，
∴，
在中，
，
即⊙O的半径为
25.（8分）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析
【解析】解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
26.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与y轴，x轴分别交于点A、B，动点P在线段AB上移动（点P不与点A、点B重合），以点P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求证：∠AOP＝∠BPQ；
（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点O到直线PQ的距离是 ，请直接写出线段AP的长．
【答案】（1）A（0，2），B（2，0）；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为（1，1）或；（4） 或
【解析】解：（1）直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于B、A两点，
令x=0，则y=0+2=2，
∴A（0，2），
令y=0，则0=-x+2，解得：x=2，
∴B（2，0）；
（2）证明：过P点作PE⊥OA交OA于点E，
∵A (0，2), B (2，0)，
∴ OA=OB=2，
∴ ∠OAB= ∠OBA= 45°，
∵PE⊥OA，
∴∠APE=45°，
∵∠OPQ＝45°，
∴∠OPE+∠BPQ=90°，
∵∠OPE+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠BPQ；
（3）△OPQ可以是等腰三角形，理由如下：
如图，过点P作PE⊥OA于点E，
若OP=OQ，则∠OPQ=∠OQP=45°，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∵点P不与点A、点B重合，
∴此种情况不成立；
若PQ=OQ，则∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+2，解得：x=1，
∴点P坐标为（1，1）；
若PO=PQ，过P点PM⊥OA交OB于点M，
由（2）知：∠AOP=∠BPQ，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
∴PB=OA=2，
∵∠OBA=45°，
∴△PMB以是等腰直角三角形，PB=2，
∵ ，
∴ ，
∴点 ，
综上所述，点P的坐标为（1，1）或；
（4）如图，过点O作ON⊥PQ，交PQ于点N，过点P作PF⊥OA于点F，则 ，AM=MP，
∵∠OPQ=45°，
∴△PON是等腰直角三角形，
∴ON=PN，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在中， ，
即 ，
解得： ，
∴ 或．
27.（10分）（问题情境）
如图1，在△ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
（问题解决）
小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是 （填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在Rt△GBC中运用勾股定理，求出AD的长．
（方法提炼）通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为 ．
【答案】（1）正方形；（2）12；（3）；（4）
【解析】解：（1）四边形AEGF是正方形，理由如下：
由折叠得：，．
，，
又∵，
．
又，
，．
四边形是矩形，
∵，，
∴，，
．
矩形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）设，则．
，，
，，
，，
在中，，
．
化简得，，
解得：，（舍去）
∴；
（3）如图①，将沿着AB翻折得到，将沿着AD翻折得到，连接EF，
∴BE＝BC＝6，DF＝CD＝8，且AE＝AF＝AC，，，
又∵，
．
∴，
∵，，，
∴，
∵当BE、BD、DF三条线段共线时，EF最大，
∴EF的最大值为6＋8＋10＝24，
∴AC的最大值为；
（4）如图②，将沿着DM翻折得到，将沿着CM翻折得到，连接EF，
由翻折可得：DE＝AD＝2，EM＝AM＝3，MF＝BM＝4，CF＝BC＝，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵EM＝3，MF＝4，
∴，
∵CD≤DE＋EF＋FC＝，当点D、E、F、C在同一直线上时取得最大值，
∴CD的最大值为，
故答案为：．
28.（10分）问题提出
如图1，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点，MD⊥AC，垂足为D，
求证：CD＝BA+AD．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图2，延长CA至E，使AE＝AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．
∵M是的中点
∴∴∠MCB＝∠MAC（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图3，等边△ABC内接于⊙O，AB＝1，D是上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是 ．
拓展研究
如图4，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD＝BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系，并说明理由．
【答案】问题提出：见解析；推广运用：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，理由见解析
【解析】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC，
∵M是的中点，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAB=180°-∠MCB，∠EAM=180°-∠CAM=180°-∠MBC，
∴∠EAM=∠BAM，
在△EAM和△BAM中，
，
∴△EAM≌△BAM（SAS），
∴ME=MB=MC，
又∵MD⊥AC，
∴ED=CD，
∴DC=AD+AE=BA+AD；
推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= ，
则△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+2BE=1+，
故答案为：1+；
拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，
证明：延长MD交圆O于点E，如图④，连接EA，EF，ED，EB交AC于N，
∵M是的中点，
∴∠BEM=∠CEM，
在△EDN和△EDC中，
,
∴△EDN≌△EDC ,
∴CD=ND，∠ECD=∠END，
∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB，
∴∠ANB=∠ABE，
∴AN=AB，
∴AD=AN+ND=BA+CD．
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