【期末·压轴题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第3章 位置与坐标（压轴题专练）

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第3章 位置与坐标压轴题专练

一、单选题
1．（2020·山东八年级期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】分两种情况：①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个；
②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：

①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个；
②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个；
符合条件的点的个数共有4个，
故选：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、直角三角形的判定；作出图形，分情况讨论是解题的关键．
2．（2020·内蒙古包头外国语实验学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细不略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）

A．（1，0） B．（1，1） C．（-1，1） D．（-1，-2）
【答案】A
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2019÷10=201…9，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第9个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是（1，0）．
故选：A．
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2019个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
3．（2020·浙江）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的好点．已知点的好点为，点的好点为，点的好点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点P（x，y）的好点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2019=4×504+3可判断点P2019的坐标与点P3的坐标相同．
【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3）
点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，
而2019=4×504+3，
所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（-3，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律．
4．（2018·江西南昌·八年级期末）已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【详解】分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．
故选：．

【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.
5．（2018·山东）如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，，依次得到则的直角顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
【详解】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
故选：A．
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，注意观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
6．（2020·广东育才三中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径，由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．
【详解】解：如图，将圆柱展开，为上底面圆周长的一半，

作关于的对称点，连接交于，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为的长，
即，
延长，过作于，
，，
中，由勾股定理得：，
该圆柱底面周长为：，
故选D．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
7．（2020·河南八年级期中）育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是（ ）

A．1009 B． C．505 D．
【答案】D
【分析】先根据点的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点的坐标，再根据点的坐标可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】由题意得：点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数，
，
点的坐标为，即，
又，
，且的边上的高为1，
则的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点的坐标是解题关键．
8．（2021·河北八年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
二、填空题
9．（2018·重庆市第七十一中学校八年级月考）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线上，则点A2015的坐标是______________．

【答案】（,）
试题分析：由题意可知点B1的坐标为（，），所以点A1的坐标为（，）；
点B2的坐标为（1，），所以点A2的坐标为（2，）；
点B3的坐标为（，），所以点A3的坐标为（，）；
点B4的坐标为（2，2），所以点A4的坐标为（3，2）；
……
所以点A2015的坐标为（+1，），即（,）
考点：规律题.
10．（2018·湖南）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点……按此规律继续作下去，直至得到点为止，则点的坐标为_________．

【答案】
【分析】分别写出、、的坐标找到变化规律后写出答案即可．
【详解】解：、，
，
的坐标为：，
同理可得：的坐标为：，的坐标为：，

，
点横坐标为，即：，
点坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
11．（2020·江西抚州·八年级期末）如图，，……，按照这样的规律下去，点的坐标为__________．

【答案】(3029，1009)
【分析】从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是+2，+1，+2，+1下标从奇数到奇数，加了3个单位；往右纵坐标是-1，+2，-1，+2下标从奇数到奇数，加了1个单位，
由此即可推出坐标．
【详解】从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是+2，+1，+2，+1
∴下标从奇数到奇数，加了3个单位
往右纵坐标是-1，+2，-1，+2
∴下标从奇数到奇数，加了1个单位，

∴的横坐标为3029
纵坐标为
∴(3029,1009)
故答案为：(3029,1009)
【点睛】本题是有关坐标的规律题，根据题中已知找到点坐标规律是解题的关键．
12．（2020·浙江八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点的坐标为_______．

【答案】（2，2）
【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】观察，发现规律：P0（0，0），P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）．
∵2020=6×336+4，
∴P2020（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点睛】此题考查规律型：点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
13．（2020·山东）如图，在一单位为1的方格纸上，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为_________．

【答案】（2，1010）
【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2020个点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：
当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4、8、12．…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2020能被4整除，
所以横坐标为2，纵坐标为1010，
故答案为：（2，1010）．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．
14．（2019·山东）在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是__________．

【答案】
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】…，

所以的坐标是．
故答案为：
【点睛】此题主要考查对规律的发现，认真看图，发现规律是解题的关键．
15．（2019·河北沧州市·）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A1（﹣1，1），第二次点A1跳动至点A2（2，1），第三次点A2跳动至点A3（﹣2，2），第四次点A3跳动至点A4（3，2），依此规律跳动下去，则点A2017与点A2018之间的距离是__________．

【答案】2019
【分析】根据跳动规律得出点的坐标变化规律，由此即可得．
【详解】由跳动规律可归纳类推出以下3条规律：（其中n为正整数）
（1）点的横坐标依次为
（2）点的横坐标依次为
（3）点与点，点与点，点与点，，点与的纵坐标分别相等
，
点的横坐标为，点的横坐标为，且点与点的纵坐标相等
则点与点之间的距离是
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、图形的变化问题等知识点，结合图形，正确归纳出各点横、纵坐标的变化规律是解题关键．
16．（2020·福建省福州第十九中学八年级期中）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．

【答案】10
【分析】如图，过点F作FH⊥EC于H.过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长．
【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．

∵△CFE的面积为8，即EC⋅FH=8，CE=8，
∴FH=2，
过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，
∴四边形CEKC'是矩形，
∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，
∵AE=10，
∴AK=AE−EK=10−4=6，
∴AC'=，
∴|FA−FC|的最大值为10．
故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称−最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2020·浙江金华·八年级期中）已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标：___________．
【答案】或或
【分析】分和两种情况，再分别利用全等三角形的性质求解即可得．
【详解】设点P的坐标为，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当时，
，
轴，
，
又，
，
解得或，
则此时点P的坐标为或；
（2）如图2，当时，
，
点P在x轴上，且，
则此时点P的坐标为；
综上，符合条件的点P的坐标为或或，
故答案为：或或．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、坐标与图形，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
18．（2020·沙坪坝·重庆八中八年级月考）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是______．

【答案】
【分析】作轴于，求出，证，得BN=AO，再由，证，推出=2，由点的坐标为即可得出点的坐标为．
【详解】解：如图，作轴于，

，
，，
，
在和中，

，
，OA=BN
，
在和中，
，
，
，
又因为点的坐标为，
，
，
又∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19．（2020·浙江八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．

【答案】
【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≅∆ AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴∆CDA≅∆ AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=5，
作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′=DA=5，AC=A′C，
∴=OC+A′C，
∵在∆COA′中，OC+A′C≥OA′，
∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=，
∴最小值=．
故答案是：．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
三、解答题
20．（2019·广东深圳市·）如图1，平面直角坐标系中，，，，轴于点．
（1）；
（2）连接，判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，已知，，若是等腰直角三角形，且，则点坐标为 ．

【答案】（1）见解析；（2）为等腰直角三角形，见解析；（3）或
【分析】（1）根据点的坐标分别求出OD、CD，得到AD=OB，利用SAS定理证明△AOB≌△CDA；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABO=∠CAD，AC=AB，根据同角的余角相等得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的定义解答；
（3）根据题意画出点M和点M′，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，证明△GMP≌△HPQ，根据全等三角形的性质得到GM=PH=3，GP=HQ=2，得到点M坐标为（1，1），同理求出点M′坐标．
【详解】（1）∵C（2，3），轴于点，
∴D（0，3）
∴OD=3，CD=2，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∴AD=1，
∴AD=OB，
在△AOB和△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（SAS）；
（2）△ABC是等腰直角三角形，
理由如下：∵△AOB≌△CDA，
∴∠ABO=∠CAD，AC=AB，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，又AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，

∵P（3，4），Q（6，2），
∴PH=3，QH=2，
∵△MPQ为等腰直角三角形，
∴∠MPQ=90°，PM=PQ，
∴∠MPG+∠HPQ=90°，
∵∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠GMP=∠HPQ，
在△GMP和△HPQ中，
，
∴△GMP≌△HPQ（AAS）
∴GM=PH=3，GP=HQ=2，
∴点M坐标为（1，1），
过点P作y轴的平行线ST，作M′S⊥ST于S，QT⊥ST于T，
同理可得，△M′ST≌△PTQ，
∴M′S=PT=2，SP=TQ=3，
∴点M′坐标为（5，7），
故答案为：（1，1）或（5，7）．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
21．（2017·湖北八年级期末）如图，A(3,3)、C(0,2)，点B(b，0)是x轴正半轴上一动点，点D是点A关于x轴的对称点．
(1)写出点D的坐标并用b表示四边形AODB的面积S；
(2)连结CD交x轴于P，试求AP与CP的和；
(3)在点B从左向右移动过程中，点B处于哪些位置时△OBD是特殊的三角形？写出点B的坐标并分别说明理由．

【答案】（1）,S=3b；（2）AP+CP=；（3）当点B处于（3,0）和（6,0）时，△OBD是特殊的三角形，理由见解析
【分析】（1）根据两点关于x轴对称的特征即可确定点D的坐标，再根据四边形AODB的面积等于2S△AOB求解即可；
（2）根据“两点之间线段最短”进行求解即可；
（3）依据等腰三角形和等腰直角三角形的定义结合已知条件进行判断即可．
【详解】（1）∵点D是点A关于x轴的对称点
∴D（3，-3）
由已知可得△OBD和△AOB关于x轴对称
∴S= 2S△AOB==3b．
（2）如图，

由已知和（1）可得，AP=PD
又CD==
∴AP+CP=CD=;
（3）当点B处于（3,0）,（,0）和（6,0）时，△OBD是特殊的三角形．理由如下：
∵D（3，-3）
∴∠DOB=45°
①当 B处于（3,0）时，△OBD是等腰直角三角形，且∠OBD=90°；
②当 B处于（6,0）时，△OBD是等腰直角三角形，且∠ODB=90°；
③当 B处于（,0）时，△OBD是等腰三角形，且OD=OB；
【点睛】此题考查了坐标与图形的相关知识，熟练运用勾股定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的定义进行判断是解题的关键．
22．（2020·全国八年级课时练习）如图，在直角坐标系中有一点P（5，5），M（0，m）为y轴上任意一点，N为x轴上任意一点，且∠MPN＝90°．

（1）当m＝5时，OM+ON的值为　　；
（2）当0＜m＜5时，OM+ON的值是否改变？说明你的理由；
（3）探索：当m＜0时，OM与ON的数量关系为　 ．
【答案】（1）10；（2）当0＜m＜5时，OM+ON的值不改变，理由见解析；（3）OM＝ON﹣10．
【分析】（1）作PA⊥y轴于A，PB⊥x轴于B，则PA=PB=OA=OB=5，得出A（0，5），当m=5时，M（0，5），得出A与M重合，B与N重合，得出ON=OH=5即可；
（2）作PA⊥y轴于A，PB⊥x轴于B，则∠APB=90°，PA=PB=5，证出∠APM=∠BPN，证明△APM≌△BPN（ASA），得出AM=BN，即可得出答案；
（3）作PA⊥y轴于A，PB⊥x轴于B，同（2）得出△APM≌△BPN（ASA），得出AM=BN，即可得出答案．
【详解】（1）作PA⊥y轴于 A，PB⊥x轴于B ，如图1所示：

∵P（5， 5），
∴PA＝PB＝OA ＝OB＝5，
∴A （0，5），当m＝ 5时，M（0，5 ），
∴A与M重合，B 与N重合，
∴ON＝OM＝5，
∴OM+ON ＝10；
故答案为：10；
（2）当0＜m＜5时，OM+ON的值不改变，理由如下：
作PA⊥y轴于A ，PB⊥x轴于B，如图 2所示：

则∠APB＝90°，PA ＝PB＝5，
∵∠MPN＝90°，
∴∠APM＝∠BPN，
在△APM和△BPN中， ，
∴△APM≌△BPN（ASA ），
∴AM＝BN，
∴OM+ON＝OA﹣AM+OB+BN＝OA+OB＝10 ；
（3）当m＜0时，OM与ON的数量关系为OM＝ON﹣10，
理由如下：
作PA⊥y轴于A ，PB⊥x轴于B，如图 3所示：

同（2）得：△APM≌△BPN （ASA），
∴AM＝BN，
∴OM＝AM﹣OA＝BN﹣OA＝ON﹣OB﹣OA＝ON﹣10 ；
故答案为：OM＝ON﹣10 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
23．（2021·湖北八年级期末）（1）如图①，已知中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，，易证：_______________．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，请求出，，三条线段的数量关系，并证明．
（3）如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据同角的余角相等证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，得到，根据全等三角形的性质得到，结合图形即可得出答案；
（3）根据得出和的值，结合坐标与图形性质即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
在和中

∴
∴，
∴
（2）；
理由如下：在中，
∵,
∴
在和中

∴
∴
∴
（3）如图③，作轴于点，轴于点，
由（1）可知，
∴

∴
∴点的坐标为.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键.
24．（2019·浙江杭州市·八年级期末）已知，在平面直角坐标系中，，，C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是线段OA上一点，且，于E．

（1）求的度数；
（2）当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．
（3）若，求点D的坐标．
【答案】（1）45°；（2）PE的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(，0)．
【分析】（1）根据，，得△AOB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的性质得到OC=PE，即可得到答案；
（3）证明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，进而得OD的值，即可求出点D的坐标．
【详解】（1），，
∴OA=OB=，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE的值不变，理由如下：
∵△AOB为等腰直角三角形，C为AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
∵D是线段OA上一点，
∴点P在线段BC上，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≅△DPE(AAS)，
∴OC=PE，
∵OC=AB=××=4，
∴PE=4；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP，
在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA(AAS)，
∴PA=OB=，DA=PB，
∴DA=PB=×-=8-，
∴OD=OA−DA=-(8-)=，
∴点D的坐标为(，0)．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．
25．（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴正半轴上．

（1）的平分线与的外角平分线交于点，求的度数；
（2）设点，的坐标分别为，，且满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）45°；（2）1；（3）（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）
【分析】（1）根据角平分线的定义即可得出∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，再根据三角形的外角的性质即可得出∠C=∠AOB=45°；
（2）利用非负数的性质求出a，b的值，即可求得的面积；
（3）作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴与F，可得△DEB≌△DFA，则BE=AF，DF=DE，推出四边形OEDF是正方形，OE=OF，设BE=AF=x，则OA-x=OB+x,求出x的值，即可得的坐标，同理求出点D1的坐标．
【详解】解：（1）∵AC平分∠OAB，BD平分∠EBA，
∴∠BAC=∠OAB、∠DBA=∠EBA，
∵∠EBA=∠OAB+∠AOB，
∴∠DBA=（∠OAB+∠AOB）=∠C+∠CAB，
∴∠C=（∠OAB+∠AOB）-∠CAB
=（∠OAB+∠AOB）-∠OAB
=∠AOB
=45°；

（2）∵且满足，
∴

∴a=2，b=1，
∵点，的坐标分别为，，
∴OA=2，OB=1，
∴=；
（3）作DE⊥x轴于E，DF⊥y轴与F，

∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
∵DE⊥x轴于E，DF⊥y轴与F，∠AOB=90°，
∴四边形OEDF是矩形，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDB=∠FDA，
∴△DEB≌△DFA，
∴BE=AF，DF=DE，
∴四边形OEDF是正方形，
∴OE=OF，
设BE=AF=x，则OA-x=OB+x,
∵OA=2，OB=1，
∴x=0.5，OE=OF=1.5，
∴的坐标为（1.5，1.5），
同理可得PD1=0.5，OP=1.5-1=0.5，
D1的坐标为（-0.5，0.5），
即的坐标为（1.5，1.5）或（-0.5，0.5）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，坐标与图形性质、三角形的面积计算，正方形的判定和性质等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键．
26．（2020·义乌市绣湖中学教育集团）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：若，则点与点的“识别距离”为；若，则与点的“识别距离”为；
（1）已知点，为轴上的动点，
①若点与的“识别距离”为3，写出满足条件的点的坐标．
②直接写出点与点的“识别距离”的最小值．
（2）已知点坐标为，，写出点与点的“识别距离”的最小值．及相应的点坐标．
【答案】（1）①或；②2；（2），．
【分析】（1）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；
②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可；
（2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可．
【详解】（1）①设点B的坐标为

点与的“识别距离”为
解得
则点B的坐标为或；
②由得：
因此，分以下两种情况：
当时，
则点与点的“识别距离”为
当或时，
则点与点的“识别距离”为
综上，点与点的“识别距离”大于或等于2
故点与点的“识别距离”的最小值为2；
（2）由得：或
解得或
因此，分以下三种情况：
当时，
则点与点的“识别距离”为
此时
当时，
则点与点的“识别距离”为
当时，
则点与点的“识别距离”为
由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为
此时，
则点C的坐标为．
【点睛】本题考查了点坐标、绝对值运算等知识点，较难的是题（2），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键．
27．（2021·青岛市崂山区第三中学八年级期中）问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；
（应用）：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为　 　．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为　 　．
（拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．

解决下列问题：
（1）如图1，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F）　 　；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝　 　．
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝　 　．
【答案】【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）＝5；（2）2或﹣2；（3）4或8．
【分析】（应用）（1）根据若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1−x2|，代入数据即可得出结论；
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD＝2，可得|0﹣m|＝2，故可求出m，即可求解；
（拓展）（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；
（2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）＝3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论；
【详解】（应用）：
（1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3．
故答案为：3．
（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），
∵CD＝2，
∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2，
∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（1，﹣2）．
（拓展）：
（1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5．
故答案为：＝5．
（2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3，
∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2．
故答案为：2或﹣2．
（3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），
∵三角形OPQ的面积为3，
∴|x|×3＝3，解得：x＝±2．
当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4；
当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8．
故答案为：4或8．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义、两点间的距离公式、三角形面积等知识，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键．
28．（2020·北京海淀实验中学）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且分别平分，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．

【答案】（1）4；（2）；（2）或．
【分析】（1）根据非负数的性质易得，，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过作，根据平行线性质得，且，，所以；然后把 代入计算即可；
（3）分类讨论：设，当在轴正半轴上时，过作轴，轴，轴，利用可得到关于的方程，再解方程求出；
当在轴负半轴上时，运用同样方法可计算出．
【详解】解：（1），
，，
，，

，，，
的面积；
（2）解：轴，，
，
又∵，
∴，
过作，如图①，

，
，
，
，分别平分，，即：，，
；
（3）或．
解：①当在轴正半轴上时，如图②，

设，
过作轴，轴，轴，
，
，解得，
②当在轴负半轴上时，如图③


，解得，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．
29．（2020·山西吕梁市·八年级期中）综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点.求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，
（1）请写出证明过程；

类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标．

拓展提升
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为____________．

【答案】（1）见解析；（2）B的坐标（3，1）；（3）（3，4）
【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE，CD=BE；
（2）如图4，过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明，进而得出AO=CE，CO=BE，再根据点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B的坐标（3，1）；
（3）如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明，进而得出BD=CE=，AE=CD，最后根据点的坐标为，点的坐标为，得出B坐标（3，4）.
【详解】（1）证明：
∵AD⊥DE，BE⊥DE
∴∠D=∠E=90°
∴∠DAC+∠ACD=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E
∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCE=90°
∴∠OAC=∠BCE
在△AOC和△CEB中
∴△AOC≌△CEB
∴AO=CE，CO=BE
又∵点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0）
∴AO=2，CO=1
∴CE=2，BE=1
∴OE=3
∴B的坐标（3，1）

（3）（3，4）
解：如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，
∵AE⊥CF，BD⊥CF
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴,
∴在和中 ，
∴（AAS）
∴BD=CE，AE=CD，
又∵的坐标为，点的坐标为，
∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2
设B点坐标为（a，b），
则a=4-1=3，b=2+2=4，
∴B坐标（3，4）
.
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角关系是本题的关键.


30．（2020·河南八年级月考）如图所示，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4）．
（I）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P．
（1）求证：△OAP≌△OBC．
（2）试求点P的坐标．
（II）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（I）（1）见解析；（2）点P的坐标为（0，﹣1）；（II）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4．
【分析】（I）（1）根据点A和点B的坐标得到OA=OB，再通过等角的余角相等证明∠AOP＝∠BHP和∠OAP＝∠OBC，就可以证明结论；
（2）由（1）可知OC=OP，就可以求出点P坐标；
（II）连接OD，证明△ODM≌△ADN（ASA），得到它两面积相等，就可以得到S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD，求出的面积，得到值不变的结果．
【详解】解：（I）（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）∵△OAP≌△OBC，
∴OP＝OC＝1，
∴点P的坐标为（0，﹣1）；
（II）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4，
理由如下：如图，连接OD，

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△AND，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××4×4＝4．
【点睛】本题考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在平面直角坐标系中运用几何知识进行证明求解．
31．（2020·浙江杭州英特外国语学校八年级期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
（1）求三角形的面积；
（2）若线段与轴交于点，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若过作交轴于，且，分别平分，，如图②，求的度数．

【答案】（1）16；（2）存在，或；（3）．
【分析】（1）先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性可求出a、b的值，从而可得AB、BC的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得；
（2）设点P的坐标为，从而可得，再根据点C的坐标可得PQ边上的高，然后利用三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可得；
（3）如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角平分线的定义、角的和差可得，然后根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．
【详解】（1），
，
解得，
，
轴，
，
三角形的面积为；
（2）存在，求解过程如下：
设点P的坐标为，
，
，
，
三角形的PQ边上的高为4，
，
解得或，
故点P的坐标为或；

（3）如图，过点E作，
，
，
，
，
，分别平分，，
，
，
又轴轴，
，
．

【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性、平行线的判定与性质、点坐标等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，利用到平行线的判定与性质是解题关键．
32．（2021·湖南师大附中博才实验中学）如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点C交x轴于点D．

（1）求点A、C的坐标；
（2）求OD的长；
（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．
【答案】（1）A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；（2）OD的长为3；（3）△DEF周长的最小值为4．
【分析】（1）根据非负数的性质可得a、b的值，由此可得问题的答案；
（2）根据长方形的性质和折叠的性质可得A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，设OD＝x，CD＝y，根据勾股定理列方程，求解可得答案；
（3）作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，由翻折的性质得D、H、G点的坐标，当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值，由此可得答案．
【详解】
解：（1）∵|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，
∴|a﹣8|+（b﹣4）2＝0，
∵|a﹣8|≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；
（2）∵A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4），
∴OA＝8，OC＝4，
∵四边形OABC为长方形，
∴AB＝OC＝4BC＝OA＝8，∠B＝∠COA＝∠OCB＝∠OAB＝90°，
由折叠性质可知：A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，
设OD＝x，CD＝y，
则AD＝OA﹣OD＝8﹣x，D＝C﹣CD＝8﹣y，
Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
即x2+16＝y2①，
Rt△AD中，AD2＝D2+A2，
即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+16②，
联立①②式解得：，
∴OD＝3，
故OD的长为3．
（3）如图所示，作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，

∵△AC为△ACB沿AC翻折得到，点D在BC上，
∴点D关于AC对称点G在BC上，
由对称性可知：CG＝CD，HF＝DF，
∵OD＝3，CD＝5，
∴D点的坐标为（3，0），
又∵H的坐标为（﹣3，0），
∴CG＝CD＝5，
∴G点的坐标为（5，4），
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝HF+EG+EF≥GH，
当点H，F，E，G四点共线时，DE+DF+EF长取得最小值为：
GH＝＝4，
故△DEF周长的最小值为4．
【点睛】本题属于四边形综合题目，考查了一次函数的性质，长方形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，属于中考压轴题．
33．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线分别交y轴正半轴于点，交x轴负半轴于点，过点A作，且．
（1）求点D的坐标．
（2）过点D作轴，垂足为C，P是线段上一个动点，过点P作轴，垂足为点N，在延长线上取点H，在x轴点N右侧取点M，连接，在线段上取点G，连接，使，设线段，满足的面积表示为，求线段的长度．
（3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点F，当D为中点时，连接，过点G作，在y轴左侧直线上是否存在点K，连接、，使得与以、、为三边长的三角形全等？若存在，求出长，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，KH长为．
【分析】（1）过点D作，证明出即可求得点D的坐标，
（2）根据题中给的条件，证出三角形是等腰直角三角形，则，再根据，即可得，
（3）假设在y轴左侧直线GQ上存在点K，连接KG、KH，使得与以AG、GH、DH为三边长的三角形全等，分情况讨论：①以DH为斜边时，，进行列式计算即可得，故舍去，不符合题意；②以AG为斜边时，，进行解答即可得，则；③以GH为斜边时，，因方程无解，故无法求出AG的长度．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作，

∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴D（1，-1）
（2）由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，

（3）如图所示，

由（2）得，
∴，
∴，即，
若全等，则AG、GH、DH组成的三角形为直角三角形，
①以DH为斜边时，，
∵，
，
∴



∵，故舍去，
②以AG为斜边时，，
∴



∴，
③以GH 为斜边时，，
∴，



方程无解，故不考虑此情况，
综上，在y轴左侧直线GQ上存在点K，连接KG、KH，使得与以AG、GH、DH为三边长的三角形全等，KH长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
34．（2018·安徽合肥市五十中学南校八年级期中）为了保护环境，新农村改造过程中需要修建污水处理厂，如图，、是位于直线小河同侧的两个村庄，村距离小河的距离，村距离小河的距离，经测量，现准备在小河边修建一个污水处理厂．(不考虑河宽)

（1）设，请用含的代数式表示的长（保留根号）；
（2）为了节省材料，使得两村的排污管道最短，求最短的排污管长；
（3）根据（1）（2）的结果，运用数形结合思想，求的最小值．
【答案】（1）；（2）25米；（3）17
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于O，此时，OA+OB=OB+OA′的长最短，即点O即为污水处理厂的位置，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由（2）可知，作出图形，利用最短路径问题和勾股定理解题，即可得到答案．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
（2）作点关于对称点为，可以得到，．

根据两点之间线段最短可以得到，的长度就是最短的排污管．
∵，，
由勾股定理得：．
（3）根据(2)的结果，先作对称点，把问题转化到求最短距离问题．如图：

设BD=2，AC=6，CD=15，设OC=a，则OD=15-a，
根据勾股定理得，AO+OB=，
此时，
当A、O、B′三点共线时，OA+OB的值最小，
∴的值最小，即的长度；
∴最小值为：；
∴的最小值为17.
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，勾股定理，正确的作出图形，确定点O的位置是解题的关键．
35．（2017·山东省济南兴济中学八年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．根据所给定义解决下列问题：
（1）若已知点D（1，2）、E（-2，1）、F（0,6），则这3点的“矩面积”=_____.
（2）若D（1，2）、E（-2，1）、F（0,t）三点的“矩面积”为18，求点F的坐标；
【答案】（1）15；（2）（0，7）或（0，-4）
【分析】（1）根据给出的新定义，先求出a和h，然后可求“距面积”；
（2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值，从而可以求得点F的坐标．
【详解】解：（1）由题意可得，
∵点D（1，2）、E（-2，1）、F（0，6），
∴a=1-（-2）=3，h=6-1=5，
∴S=ah=3×5=15，
故答案为：15；
（2）由题意：“水平底”a=1-（-2）=3，
当t＞2时，h=t-1，
则3（t-1）=18，
解得t=7，
故点P的坐标为（0，7）；
当1≤t≤2时，h=2-1=1≠6，
故此种情况不符合题意；
当t＜1时，h=2-t，
则3（2-t）=18，
解得t=-4，
故点P的坐标为（0，-4），
所以，点P的坐标为（0，7）或（0，-4）