【期末·压轴题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第7章 平行线的证明（压轴题专练）

这是一份【期末·压轴题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第7章 平行线的证明（压轴题专练），文件包含期末·压轴题北师大版数学八年级上册满分攻略第7章平行线的证明压轴题专练解析版docx、期末·压轴题北师大版数学八年级上册满分攻略第7章平行线的证明压轴题专练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。

第7章 平行线的证明压轴题专练

一、单选题
1．（2017·江西乐平·八年级月考）如图，已知是三角形内一点，，，是的平分线，是的平分线，与交于点，则等于（ ）

A．100° B．90° C．85° D．95°
【答案】D
【分析】先利用三角形内角和定理求出，的度数，进而求出的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】，
．
，
，
．
∵是的平分线，是的平分线，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）容器中有A，B，C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：
①最后一颗粒子可能是A粒子
②最后一颗粒子一定是C粒子
③最后一颗粒子一定不是B粒子
④以上都不正确
其中正确结论的序号是( )．(写出所有正确结论的序号)
A．① B．②③ C．③ D．①③
【答案】D
【分析】将问题抽象为有理数的符号法则即可解决.
【详解】解：③∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子，
∴设B粒子为1，A、C粒子为-1，碰撞为乘法运算，
∴=-1，
故最后一颗粒子一定不是B粒子，
∴③是正确的；
①10颗A粒子，8颗C粒子，8颗B粒子，同种粒子两两碰撞，得到13颗B粒子，再所有B粒子一一碰撞，得到一颗B粒子，和剩下的1颗C粒子碰撞，得到A粒子，
∴最后一颗粒子可能是A粒子；
∴①是正确的，②是错的.
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的符号法则，读懂题意是解题的关键.
3．（2021·全国·八年级专题练习）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初二（8）班举办了“乐知杯古诗词”大赛．现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（不并列），对应名次的得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c均为正整数)；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小璟
a


a


26
小桦

a


b
c
11
小花

b

b


11
根据题中所给信息，下列说法正确的是（ ）
A．小璟可能有一轮比赛获得第二名 B．小桦有三轮比赛获得第三名
C．小花可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分a为5
【答案】D
【分析】先根据三人总得分共26＋11＋11＝48，可得每一轮的得分a＋b＋c＝8，再根据小桦的等分能够得出c＝1，进而可得到第一二两轮的具体排名，然后在对a、b的值分情况讨论，然后再逐个排除即可求得a，b的值，从而求解即可
【详解】解：∵三人总得分共26＋11＋11＝48，
∴每一轮的得分a＋b＋c＝48÷6＝8，
则对于小桦来说，小桦剩余的第一、三、四轮的总分是11－8＝3分，
又∵a>b>c且a，b，c均为正整数，
∴c≥1，
∴小桦第一、三、四轮的得分均为1分，且c＝1，
∴小花第一、二、四轮的得分均为b，
∵a＋b＋c＝8，c＝1，
∴a＋b ＝7，
又∵a>b>c且a，b，c均为正整数，
∴b＝2时，a＝5，或b＝3时a＝4，
当b＝2，a＝5时，
则小花剩余第三、五、六轮的总分是：11－2×3＝5（分）
结合小桦这几轮的得分情况可知，小花这三轮的得分分别是2,1,2，
此时小璟这三轮的得分分别是5,5,5，
则小璟六轮的具体得分分别是：5,1,5,5,5,5，共26分，符合题意
当b＝3，a＝4时，
则小花剩余第三、五、六轮的总分是：11－3×3＝2（分）＜3分，不符合
综上所述，a＝5，b＝2，c＝1，（D正确）
小璟有五轮得第一名，一轮得第三名；（A错误）
小桦有一轮得第一名，一轮得第二名，四轮得第三名；（B错误）
小花有五轮得第二名，一轮得第三名（C错误）
故选：D
【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．
4．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级开学考试）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5．（2020·安徽芜湖·八年级期末）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）

A．27° B．59° C．69° D．79°
【答案】D
【分析】由折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，由三角形内角和定理得∠3＋∠C＝106°，在△ABC中，由三角形内角和定理得∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，得出∠3＝27°，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，
∴∠3＋∠C＝180°−74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴20°＋2∠3＋106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°-∠3＝79°．
故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6．（2019·安徽安庆·八年级期中）如图，在中，．与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得，，与的平分线相交于点，得，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质及外角的性质可得，同理可得，，由此可归纳出，易知.
【详解】解：与的平分线交于点






同理可得，，…，由此可知，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了角平分线的性质及图形的规律探究，灵活的利用角平分线的性质及外角的性质确定角的变化规律是解题的关键.
7．（2021·广西·南宁三中八年级期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．

易知，．
∵，，
∴．
故选：B.
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
8．（2021·浙江浙江·八年级期末）如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则_____；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则______（用含n和的代数式表示）．

【答案】60°+α
【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；
∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；
在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，
∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，
故答案为：60°+α，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
9．（2019·四川·戴氏教育集团广元总校八年级期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．

【答案】2∠A＝∠1＋∠2
【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．
【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，
∴∠AED＝（180°−∠1），∠ADE＝（180°−∠2），
∴∠AED＋∠ADE＝（180°−∠1）＋（180°−∠2）＝180°−（∠1＋∠2）
∴△ADE中，∠A＝180°−（∠AED＋∠ADE）＝180°−[180°−（∠1＋∠2）]＝（∠1＋∠2），
即2∠A＝∠1＋∠2．
故答案为：2∠A＝∠1＋∠2．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
10．（2020·全国·八年级单元测试）如图1，已知长方形纸带，，．将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置．再沿折叠成图2．点、分别落在、的位置，已知，则_______．

【答案】63°
【分析】设∠QHG＝x，先根据∠GHF＋∠GFH＝90，列方程可得x的值，根据旋转可得结论．
【详解】设∠QHG＝x，
由旋转得：∠QHF＝∠D＝90，∠HGF＝∠C＝90，
∴∠GHF＝90°−x，
∵2∠QHG＝4∠GFH−108°，
∴∠GFH＝x＋27°，
Rt△GHF中，∠GHF＋∠GFH＝90°，
∴90−x＋x＋27＝90，
x＝54°，
由旋转得：∠DFG＝∠GFH＝×54°＋27°＝54°，
∴∠GFC＝180°−54°＝126°，
∴∠EFC＝∠GFC＝63°，
故答案为：63°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形的内角和及折叠的性质．
11．（2020·全国·八年级单元测试）在四边形中，与的角平分线交于点，，过点作交于点，，，连接，，则__________．

【答案】4
【分析】根据∠DEC的度数以及角平分线的定义算出∠A+∠ABC=230°，再结合AD∥BF，得出∠CBF=50°，利用算出∠BFC=90°，最后根据和算出结果.
【详解】解：∵，
∴∠EDC+∠ECD=180°-115°=65°，
又∵与的角平分线交于点，
∴∠ADC+∠BCD=65°×2=130°，
∴∠A+∠ABC=360°-130°=230°，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠CBF=230°-180°=50°，
∵，
∴∠BCE=40°，
∴∠BFC=90°，
∵，BF＞0，
∴，
解得：x=2，
即CE=2×2=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义，有一定难度，解答本题的关键是通过角的运算得到∠BFC=90°.
12．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，△ABC中，点在的延长线上，、分别在边和上，与的平分线相交于点，若=70°=80°，则______．

【答案】85°
【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB中∠B+∠BFE+∠FEC+∠BCE=360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC中求出∠1-∠2+∠P=110°即可解答．
【详解】解：

∵∠BFE=2∠1，∠BCD=2∠2，
又∵∠BFE+∠ABC +∠FEC+∠BCE=360°，=70°，=80°，
∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，
∴∠1-∠2=15°；
∵在四边形EFPC中，∠PFE+∠FEC+∠P+∠PCE=360°，
∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P=360°，
∴∠1-∠2+∠P=100°，
∴∠P=85°，
故答案为：85°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．
13．（2020·辽宁望花·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020，得∠A2020，则∠A2020＝_____．

【答案】
【分析】根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，可知：∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推，即可得到答案．
【详解】∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
即：∠ACD=∠A1+∠ABC，
∴∠A1=(∠ACD−∠ABC)，
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD−∠ABC，
∴∠A1=∠A，
∠A2=∠A1=∠A，…，
以此类推可知：∠A2020=∠A=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，以及角平分线的定义，掌握三角形的外角等于不相邻的内角的和，是解题的关键．
14．（2021·河南济源·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______

【答案】或或
【分析】根据，的角平分线交于点，可求得，延长 至，根据为的外角的角平分线，可得 是的外角的平分线， 根据平分 ，得到，则有，可得 ，可求得；再根据，分四种情况：①；② ；③；④，分别讨论求解即可．
【详解】解：外角，的角平分线交于点 ，






∴；
如图示，延长至，

为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
∴
，即；



;
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则， ；
②，则， ，；
③，则，解得 ；
④，则，解得 ．
综上所述，的度数是或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题
15．（2019·陕西·西安临潼区骊山初级中学八年级月考）如图①，、分别平分四边形的外角和，设，．

（1）若，则 ；
（2）若与相交于点，且，求、所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若，试判断、的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）110；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；
（2）连接BD，先得到，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；
（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β−∠DHB＝（），根据＝，则有∠CBE＋−∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．
【详解】解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°−（）＝250°，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°−∠ABC＋180°−∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．
故答案为：110；
（2）．理由如下：如解图①，连接BD，

由（1）知，，
、分别平分四边形的外角和，
∴，
．
在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°−∠BCD＝180°−，
在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，
∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，
∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，
∴（）＋180°−＋25°＝180°，
整理得；
（3）．理由如下，如解图②所示，延长交于点，

由（1）、（2）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．
16．（2020·湖北·荆州市实验中学八年级月考）如图，PQ⊥MN，垂足为O，点A、B分别在射线OM、OP上，直线BF平分∠PBA，且与∠BAO的平分线交于点C．

（1）若∠BAO=45°，求∠ACB的度数；
（2）若点A、B分别在射线OM、OP上移动，试探索∠ACB的大小是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请求出变化的范围．
【答案】（1）∠ACB=45°；（2）不变，45°
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PBA，然后根据角平分线的定义表示出∠FBA与∠BAC，最后在△ABC中，利用三角形的外角性质即可求解；
（2）根据（1）的求解思路，求出∠ACB的表达式，是常数，所以不论点A、B如何移动，角的大小保持不变．
【详解】（1）∵MN⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+90°=135°，
∵∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∴∠BAC=∠BAO=×45°=22.5°，
∠FBA=∠PBA=×135°=67.5°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5°-22.5°=45°；
（2）∵MN⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=∠BAO+90°，
∵∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∴∠BAC=∠BAO，
∠FBA=∠PBA=(∠BAO+90°) =∠BAO+45°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=∠BAO+45°-∠BAO==45°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，求出各角的表达式是解题的关键．注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17．（2020·江西·上饶市广信区第七中学八年级月考）如图，和都是等腰直角三角形，，E在线段上，连接，的延长线交于F．

（1）猜想线段、的数量关系和位置关系：_________________（不必证明）；
（2）当点E为内部一点时，使点D和点E分别在的两侧，其它条件不变（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1），；（2）（1）中结论，仍然成立，理由见详解．
【分析】（1）先证明△BCE和△ACD全等，得到BE与AD相等和∠CBE与∠CAD相等，再根据对顶角相等和三角形的内角和是180°得到∠BCE=∠AFE=90°，即可得到BE⊥AD．
（2）证△BCE与△ACD全等，得到∠1=∠2，BE=AD，再加上∠3=∠4，即可得到∠AFE=∠BCA都等于90°，即可得到结论．
【详解】解：（1），；
理由为：∵△ABC和△ECD是等腰直角三角形，
∴BC=AC,EC=CD,∠BCE=∠ECD=90°，
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD,∠CBE=∠CAD,
又∵∠BEC=∠AEF,
∴∠AFD=∠BCE=90°，
∴BE⊥AD．

（2）解：（1）中结论，仍然成立．
∵和都是等腰直角三角形，，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．（2018·四川温江·八年级期末）已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（1）如图1，连接CE，
①若CE∥AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．

【答案】（1）①40°；②30°；(2)50°，130°，10°
试题分析：（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=80°，由角平分线的定义得到∠ABE=∠ABC=40°，根据平行线的性质即可得到结论；
②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=140°，根据角平分线的定义得到∠CBE=∠ABC=40°，∠ECD=∠ACD=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
试题解析：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE=40°；
②∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∠ACD=180°-∠ACB=140°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=∠ABC=40°，∠ECD=∠ACD=70°，
∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠CBE=40°，
∴∠BEC=50°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°-40°-40°-90°=10°．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．
19．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）△ABC中，．
（1）如图①，若点是与平分线的交点，求的度数；
（2）如图②，若点是与平分线的交点，求的度数；
（3）如图③，若点是与平分线的交点，求的度数；
（4）若.请直接写出图①，②，③中的度数，(用含的代数式表示)

【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①；②；③
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；
（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=∠A，即可得出结果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．
【详解】解:（1），
，
点是与平分线的交点，
，，
，
；
（2），
，
点是与平分线的交点，
，
；
（3）点是与平分线的交点，
，，
，，
，
；
（4）若，在（1）中，；
在（2）中，同理得：；
在（3）中，同理得：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
20．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图中，分别平分相交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：

【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；
（2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵AD、CE分别平分，
∴，
∴，
又∵∠CPD是△ACP的外角，
∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，
∴∠CPD=60°．
（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF，
∵∠CPD=60°，
∴∠APC=120°，∠APE=60°
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE
在△APE与△APF中
，
∴△APE≌△APF（SAS）
∴∠APF=∠APE=60°，
∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，
在△CFP与△CDP中，

∴△CFP≌△CDP（ASA）
∴CD=CF
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形．
21．（2020·广东·珠海市斗门区实验中学八年级期中）探究：
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，△ABC的内角平分线交于点P，求∠P的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB，连结PQ，求∠BQP的度数．

【答案】（1）110°；（2）60°
【分析】（1）根据角平分线定理可知∠PBC+∠PCB =（ ∠ABC+∠ACB ），∠A＝40°已知，根据三角形内角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB =140°，所以∠PBC+∠PCB =70°，再次根据三角形内角和可得∠P =110，即为答案.
（2）根据BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB可得∠QBC+∠QCB=（ ∠ABC+∠ACB ）= 60°，所以∠BQC=120°，又由BP平分∠QBC， CP平分∠QCB，可得PQ平分∠BQC，所以∠BQP =×∠BQC =60° , 即得出答案.
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB = 180°
∴∠ABC+∠ACB＝180° －∠A ＝140°
∵BP平分∠ABC， CP平分∠ACB
∴ ∠PBC+∠PCB=（ ∠ABC+∠ACB ）=70°
∵∠P+∠PBC+∠PCB = 180°
∴∠P=180°－（∠PBC+∠PCB）=110°
（2）∵∠A+∠ABC+ ∠ACB = 180°
∴∠ABC+∠ACB＝180° －∠A ＝90°
∵BQ三等分∠ABC，CQ三等分∠ACB
∴ ∠QBC+∠QCB=（ ∠ABC+∠ACB ）=60°
∵∠Q+∠QBC+∠QCB= 180°
∴∠Q=180°－（∠QBC+∠QCB）=120°
∵BP平分∠QBC， CP平分∠QCB
∴PQ平分∠BQC
∴∠BQP =×120°=60°
【点睛】本题主要考查角平分线定理及其推论的知识，准确理解角平分线定理，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键.
22．（2020·江西·南昌民德学校八年级月考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

【答案】（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；
（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；
（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．
【详解】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23．（2020·湖北·武汉大学附属外语学校八年级月考）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

【答案】（1）47°；（2）43°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论．
【详解】解：（1），，，
，
，，
．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，
．
（2），平分交直线于，
，
，，
．

【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出；（2）根据三角形内角和定理找出．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．
24．（2020·四川·攀枝花第二初级中学八年级月考）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，如果∠A=70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系并证明你的结论．
（3）如图③，在（2）的基础上，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【答案】（1）125°；（2）；（3）或或
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】解：（1），，
点是和的平分线的交点，
；
（2）外角，的角平分线交于点，




；
（3）延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；


．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
25．（2020·广东普宁·八年级期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）、分别平分和，
，，

，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）和分别是和的角平分线，
，，
又是的一外角，
，
，
是的一外角，
；
（3），，
，
，
，
结论：．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
26．（2019·浙江·八年级期末）（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由．
（2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由．

【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；
(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；
(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；
(4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．
【详解】
解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线
∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=
(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD
∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD
∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x
∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y
∵∠D+∠AEG=∠MAP
∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y=
∴
∴
【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．
27．（2021·全国·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，

研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．
【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析
【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；
（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；
根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，
∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，
∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，
理由：如图3，DA′交AC于点F，

∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．
28．（2021·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)．

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D
【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
（2），，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
（3）根据“8字形”数量关系，，，
所以，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
整理得，．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
29．（2020·江西南昌·八年级期中）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．

（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形，如图；（2）∠DEF=，∠DFE=，∠EDF=；（3）①，，；②均不存在
【分析】（1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可得反射三角形各内角的度数，即可求解；
（2）设，根据三角形内角和定理，可得，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，根据平角的定义即可求解；
（3）①根据三角形内角和定理，可用x表示和，然后根据三角形内角和定理可得与的关系即可求证；
②根据反射三角形对角的关系，结合①结论即可求解．
【详解】（1）等边三角形，如图2，理由如下：

根据题意，得：
同理，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3

在中，由三角形内角和定理，得
设
在和中，由三角形内角和定理，得：
，
在中，由三角形内角和定理，得：，即

解得
∴，
∴，同理∠DEF=，∠DFE=
∴∠DEF=，∠DFE=，∠EDF=；
（3）如图1

①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴，，；
②在直角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，不存在反射三角形
当时，，得到
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
【点睛】本题考查了三角形的边角关系，利用了三角形内角和定理，平角的定义，利用萨那奇偶性内角和得出，，的关系是解题的关键．