【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.06：新定义 技巧提升

专题2.06  新定义技巧提升（原卷版）

学习目标                                                                       

清楚常规新定义题目的处理方法，并能触类旁通。

考点整合                                                                        

【考点1】 新定义

触类旁通                                                                         

【考点1】   新定义  

自我解读：①需要做的只有一件事，就是把题目中的新定义转化成我们常见的知识点.

【例1】（2022·河南·泌阳县实验中学七年级期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：；②对加法的分配律：．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．

【自我解读】①“”意味着，俩者积+2前数.（利用前后来理解运用了图像的理解方式，可适当避免错误）.

【解题过程】

（1）解：

；

（2）解：

；

（3）不具有交换律，       

例如：

；

，

∴，

∴不具有交换律．

【例2】（2022·湖北·京山市教学研究室七年级期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“和谐点”．

例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“和谐点”．

(1)在数轴上，若点A表示的数为，点B表示的数为2，数，0，4，6所对应的点分别为D，E，F，G，其中是点A，B的“和谐点”的是     ；

(2)已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且，点P为数轴上一个动点．

①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“和谐点”，求出此时点P表示的数；

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“和谐点”，求出此时点P表示的数．

【自我解读】①P为A、B和谐点就意味着，p与前面的点A的距离是与后面的B的2倍，（PA长即前点长，后点短）.

【解题过程】

（1）解：，

，故D符合题意；

，

，故E不符合题意；

，故F不符合题意；

，

，故G符合题意，

故答案为：D或G．

（2）解：∵，

∴，

①设点P表示的数为x，当点P在点A左侧时，

则，

解得．

∴此时点P表示的数为；

当点P在线段上且离A近时，则，

解得．

∴此时点P表示的数为；

当点P在线段上且离B近时，则，

解得．

∴此时点P表示的数为．

综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或．

②当P为A、B和谐点时：设点P表示的数为x，

∵，

∴，

解得，

∴此时点P表示的数为70；

当A为P、B和谐点时：设点P表示的数为x，

∵，

∴，

解得，

∴此时点P表示的数为70；

当B为A、P和谐点时：设点P表示的数为x，

∵，

∴，

解得，

∴此时点P表示的数为50；

当B为P、A和谐点时：设点P表示的数为x，

∵，

∴，

解得，

∴此时点P表示的数为110，

综上得：此时点P表示的数为50或70或110．

【例3】（2022·江苏·南京市宁海中学分校七年级阶段练习）【定义新知】

在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即．

【初步应用】在数轴上，点A、B、C分别表示数、1、x，解答下列问题：

(1)___________；

(2)若，则x的值为___________；

(3)若，且x为整数，则x的取值有___________个．

(4)【综合应用】在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、7．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒3个单位长度．设点P的运动时间为t秒．当___________时，．

【自我解读】①就意味着俩点做个差，有负号的直接去掉.

【解题过程】

（1）解：由题意得：；

故答案为：3；

（2）解：由题意得：，

∴或3；

故答案为：或3；

（3）解：由题意得：，即，且x为整数，

∴或或0或1，

∴x的取值有4个；

故答案为：4；

（4）解：当点P没有到达点F时，，

∴（负值舍去），

当点P到达点F返回时，，

∴（不合题意舍去）．

故答案为：1或7．

【例4】（2022·山东潍坊·七年级期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．

(1)通过计算判断有理数对“，1”、“4，”是不是“共生有理数对”；

(2)若是“共生有理数对”，求a的值．

(3)若是“共生有理数对”，则“n，m”是不是 “共生有理数对”．

【自我解读】①有理数a，b为“共生有理数对”就意味着：前-后=积+1.

【解题过程】

（1）∵，

∴．

∴“”不是“共生有理数对”．

∵4，，

∴．

∴“4，”是“共生有理数对”．

（2）由题意得，．

∴．

（3）是，理由如下：

由题意得，．

∴．

∴“n，m”是“共生有理数对”．

【例5】（2022·广东·广州市第一一三中学七年级期中）已知，是的倒数，且分别是点在数轴上对应的数．

(1)直接写出的值，并在数轴上标出点；

(2)定义：在数轴上，若点D到点的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福中心”．

①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G表示的数之和；

②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点分别从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P是M和N的“幸福中心”？

【自我解读】①D叫做E和F的“幸福中心”即为D到俩点距离和为6.

【解题过程】

（1）解：∵

∴，

解得，

∵是的倒数，

∴

在数轴上表示，如图，

（2）①∵点G是B和C的“幸福中心”，

∴到的距离和为6，且点G表示的数是整数，则点表示的数为，

∴所有满足条件的点G表示的数之和为：；

②∵,点P是M和N的“幸福中心”，

∴，

∵点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为，

∴点表示的数为，

∵点分别从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，

∴点表示数是，点表示的数是，

当在点的右边时，则,

即，

解得：，

当点在点的左边时，，

即，

解得：，

∴经过秒或秒时，点P是M和N的“幸福中心”．

【例6】（2022·江苏·淮安市淮海初级中学七年级阶段练习）对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．

例如：数轴上点所表示的数分别为，此时点是点的“联盟点”．

(1)若点表示数，点表示的数，下列各数，所对应的点分别，其中是点的“联盟点”的是 　　；

(2)点表示数，点表示的数，在为数轴上一个动点：

①若点在点的左侧，且点是点的“联盟点”，则此时点表示的数是 　　；

②若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则此时点表示的数是 　　．

【自我解读】①是点的“联盟点”即意味着BA=2BC或2BA=BC.

【解题过程】

（1）解：∵，

∴，

∴是的“联盟点”；

∵，

∴，

∴不是的“联盟点”；

∵，

∴，

∴是的“联盟点”；

综上所述，是点的“联盟点”的为．

故答案为：；

（2）①令点表示的数为，

当点在之间时，，

，即，解得，

，即，解得，

当点在点左侧时，，

，即，解得．

综上所述，若点在点B的左侧，且点是点的“联盟点”，则此时点表示的数为．

故答案为：；

②令点表示的数为，若点在点的右侧，

当点为“联盟点”时，，即，解得，

当点为“联盟点”时，或，即或，解得或，

当点为“联盟点”时，，即，解得，

综上所述，若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，则此时点表示的数为．

故答案为：．

综合巩固                                                                       

1．（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级期中）定义，例如，则的结果为（     ）

A． B．3 C． D．

2．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期中）对于有理数，，定义一种新运算，规定，则______．

3．（2022·江苏·无锡市江南中学七年级期中）给出新定义如下：，；例如：，；根据上述知识，若，，则______；若，则x的值为________．

4．（2021·广东·佛山市第十四中学七年级阶段练习）定义一种新运算：，请你根据这一运算规则计算：___________；

5．（2022·湖南·永州市第九中学七年级阶段练习）定义一种新运算△，即，根据规定求_____．

6．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期中）若定义，则________．

7．（2022·重庆市鲁能巴蜀中学校七年级阶段练习）定义一种新运算“K运算”，对有理数a，b，规定：

，其中“K运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则的运算结果是_________．

8．（2022·河北·石家庄市第四十四中学七年级阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，，例如，，利用定义计算___________．

9．（2022·重庆实验外国语学校七年级阶段练习）对于数轴上的三个点A，B，C给出如下定义：A，B两点到C点的距离之差的绝对值称为A，B两点关于点C的绝对距离，记为．若P，Q为数轴上的两点（点P在点Q的左边），且PQ＝9，点C表示的数为，若，则点P表示的数为______．

10．（2022·山东·济南十四中七年级阶段练习）定义运算“@”的运算法则为x@y＝xy－7．则（2@3）@4＝________．

11．（2022·重庆市巴南区全善学校七年级期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“和平数”．

定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“和平数”．

例如：，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为9，25，16，它们的个位数字依次为9，5，6，那么的“和平数”n为956．

(1)求178的“和平数”与2035的“和平数”；

(2)若一个三位正整数x的“和平数”是195，求满足条件的所有x的值．

12．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期中）定义：在数轴上，若M，N两点到原点的距离之和等于点P到原点的距离，则称点P为M，N两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”．

已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是a，b，，点C为A，B两点的“和距点”．

(1)如果，点B在x轴的正半轴，则b＝______；

(2)若点A也是B，C两点的“和距点”，请确定b的值，并说明理由；

(3)若，请直接写出b的值．

13．（2022·山东青岛·期中）定义“”运算，例如：

；

；

．

观察上述运算，解答下列问题；

(1)根据上述运算，归纳“”运算的法则：

两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______；

特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算都得这个数的______；

(2)计算：______；

(3)计算：；

(4)通过发现“”运算满足加法交换律，请举例说明“”运算是否满足加法结合律．

14．（2022·全国·七年级专题练习）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．

例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．

(1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．

(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？

15．（2022·陕西·无七年级期中）对于有理数x，y定义一种新运算：

(1)若，则__________，__________；

(2)若x，y满足，且，化简：．

16．（2022·北京八中七年级期中）对于数轴上的点，，给出如下定义：若点到点的距离为（），则称为点到点的追击值，记作．例如，在数轴上点表示的数是5，点表示的数是2，则点到点的追击值为．

(1)点，都在数轴上，点表示的数是1，且点到点的追击值（），则点表示的数是______（用含的代数式表示）；

(2)如图，点表示的数是1，在数轴上有两个动点，都沿着正方向同时移动，其中点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒1个单位，点从点出发，点从表示数的点出发，且数不超过5，设运动时间为（）．

①当且______时，点到点的追击值；

②当时间不超过3秒时，求点到点的追击值的最大值是多少？（用含的代数式表示）．

17．（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．

(1)−3和5关于1的“相对关系值”为_________：

(2)若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．

(3)若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．

18．（2021·广东·佛山市第十四中学七年级阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：

运算（一）：，，，，……

运算（二）：，，，，……

利用以上规律计算：

(1) ___________， ___________，___________，___________，

(2)___________；

(3)计算：

19．（2022·江苏南京·七年级期中）定义一种新的运算“*”：

；

；

；

；

；

(1)仔细观察，归纳“*”运算的法则：

两数进行“*”运算时，                                                ．

特别地，0与任何数进行“*”运算，或任何数与0进行“*”运算时，            ；

(2)计算：＝            ；

(3)若a为非负数，且，求出a的值．

20．（2022·湖北·老河口市教学研究室七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．求的值．