【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题3.06：简答题综合强化（30题）

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专题3.06 简答题综合强化（30题）解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题
1．（2021·湖北荆州·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）根据和解方程定义,将x=代入方程求解即可,（2）根据和解方程定义,将x=和x代入方程求解即可.
【详解】解：（1）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解,和解方程的定义,中等难度,理解和解方程的定义,将解代入方程求解是解题关键.
2．（2021·湖北荆州·七年级期末）甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
【答案】（1）在甲商场所付的费用：0.8x+800（元），在乙甲商场所付的费用：0.9x+300（元）；
（2）在甲商场购买更优惠；（3）当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
【分析】（1）在甲商场所付的费用=4000+超过4000元的部分×80%，在乙甲商场所付的费用=3000+超过3000元的部分×90%；
（2）把x=6000代入（1）中的两个代数式即可；
（3）由题意得：在甲商场所付的费用=在乙甲商场所付的费用，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：（1）在甲商场所付的费用：4000+（x﹣4000）×80%=0.8x+800（元），

在乙甲商场所付的费用：3000+（x﹣3000）×90%=0.9x+300（元）；
（2）当x=6000时，
在甲商场所付的费用：0.8x+800=0.8×6000+800=5600（元），
在乙甲商场所付的费用：0.9x+300=0.9×6000+300=5700（元），
∵5700＞5600，
∴在甲商场购买更优惠；
（3）根据题意可得：0.8x+800=0.9x+300，
解得：x=5000，
答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
3．（2021·重庆八中七年级期末）如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．
（1）求线段ED的长；
（2）当MN＝CD时，请直接写出t的值．

【答案】（1）14；（2）6或18
【分析】（1）根据中点的定义，以及线段的和差关系，可求线段的长；
（2）分情况讨论，①当时，即没有到点时；②当时，即从返回点，根据线段的和差关系，求解即可
【详解】（1），
，即

点是线段的中点，
，
，
，
，
（2），
①当时，即没到点时，
，
解得；
②当时，即点从点返回，
，
解得，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，掌握中点定义以及分类讨论是解题的关键．
4．（2021·重庆八中七年级期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元．每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多．
（1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价．
（2）在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
【答案】（1）每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元；（2）10
【分析】（1）设每盒坚果礼盒的售价为元，则每个水果篮的售价为元，根据售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据促销方案找出每个水果篮和每盒坚果礼盒的活动价，根据利润=销售收入-总成本，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）设每盒坚果礼盒的售价为元，则每个水果篮的售价为元，依题意得：，
得：，
每个水果篮的售价为：，
答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元.
（2）： (元），
每个水果篮的活动价为元，
每盒坚果礼盒的售价为元，
每盒坚果礼盒的活动价为元，依题意得：

解得：．
答：的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2021·广东广州·七年级期末）为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14．﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？
（2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？
【答案】（1）距离A地正东方向20千米处；（2）升．
【分析】（1）将巡逻记录相加求出结果，然后根据正负数的意义回答；
（2）将巡逻记录的绝对值相加在加上返回的路程，求出总路程；用总路程乘以单位耗油量可得总耗油量．
【详解】（1）．
答：交警最后所在地距离A地正东方向20千米处．
（2）．
此次巡逻最后位置距离A地正东方向20千米处．
总路程为千米
（升）．
答：这次巡逻（含返回）共耗油升．
【点睛】本题考查了有理数加法的实际应用，正负数是实际应用，绝对值的意义，解题关键是理解”正“和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
6．（2021·广东广州·七年级期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子的值．
【答案】（1）1；（2）-2；（3）3．
【分析】（1）将时，代入代数式即可求得；
（2）将，代入方程得到①，将时，代入代数式得到：②，②代入①即可求得；
（3）分别求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】（1）将时，代入代数式，得：
，
解得；
（2）由题意，时，

即①
将时，代入代数式，得：

即②
将②代入①得：

解得
（3）将代入代数式，得：
，
由（1）可知①

代入，得：

又由（2）可知
即
两边乘以3，得：②
②-①得：③
将③代入代数式，得：
当时，，即，
时，
由题意，当时，
将代入，得：

【点睛】本题考查了整式的加减，等式的性质，一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．
7．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）【探索新知】
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．

【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
【答案】（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．
【分析】(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；
(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；
(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．
【详解】解：（1），，
，
；
（2）如图，，

当BD=AC时，BC=AD，
，
即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；
（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，
若点M、N均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点离O点近，且OM= x，
，
则x + πx = π+ 1
解得：x= 1，
，
MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：
2t、π + 1、π + 1 +t，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
有以下四种情况：
①如图①，点P在点C左侧，

PC= πCQ，
，
；
②如图②，点P在点C左侧，

πPC = CQ，
，
；
③如图③，点P在点C、点Q之间，

πPC= PQ，
，
；
④如图④，点P在点C、点Q之间，

PC =πPQ，
，
，
符合题意的有或或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．
8．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）将一副三角板中含有角的三角板的顶点和另一块含有角的三角板的顶点重合于一点，绕着点旋转含有角的三角板，拼成如图的情况（在内部），请回答问题：

（1）如图1放置，将含有角的一边与角的一边重合，求出此时的度数；
（2）绕着点，转动三角板，恰好是平分，此时的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，的度数恰好等于度数的3倍．如果存在，请求出的度数，如果不存在请说明理由．
【答案】（1）∠AOD的度数为；（2）∠AOD的度数为；（3）存在，∠AOD的度数为．
【分析】(1)根据题意，由所给三角板即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到∠BOD=∠COD=22.5°，于是得到结论；
(3)设∠BOC=x，然后表示出∠AOC和∠BOD，再列出方程求解即可．
【详解】(1)由三角板知，∠AOB=60°，∠COD=45°，
∠AOD=45°+60=105°；
(2)OB平分∠COD，
∠BOD=∠COD =× 45°= 22.5°；
∠AOD=∠AOB+∠BOD
=60°+22.5°=82.5°；
(3)设∠BOC=x，
则∠AOC=60°-x，∠BOD=45°-x，
∠AOC=3∠BOD，
60°-x=3 (45°-x），
解得x=37.5°，
此时，∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+（60°-37.5°）
=45°+22.5°=67.5°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
9．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图，O在直线AB上，射线OD平分∠AOC，射线OE在∠BOC内．
（1）若∠DOE＝90°，求证：射线OE是∠BOC的平分线；
（2）若∠COE＝∠EOB，∠DOE＝72°，求∠EOB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）54°

【分析】（1）由角平分线的定义可得，再由∠DOE=90°，得到∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，∠COD+∠COE=90°，即可推出∠BOE=∠COE，则射线OE是∠BOC的平分线；
（2）由角平分线的定义可得，由∠DOE=72°，可以推出，再由，可得，根据∠AOC+∠BOC=180°，可得，由此求解即可．
【详解】解：∵射线OD平分∠AOC，
∴，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，∠COD+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COE，射线OE是∠BOC的平分线；
（2）射线OD平分∠AOC，
∴，
∵∠DOE=72°，
∴∠COD+∠COE=72°，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+4∠COE=180°，
∴，
∴∠COE=18°，
∴∠EOB=54°．

【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键．
10．（2021·湖北武汉·七年级期末）为了增强市民的节约用电意识，实行阶梯收费、收费标准如表：

每月用电量
收费
第一档
不超过180度的部分
电费0.55元/度
第二档
180度以上至400度的部分
每度比上一档提价0.05元
第三档
400度以上的部分
每度比上一档提价0.25元

（1）若小新家9月份用电200度，则小新家9月份应缴电费 　 　元．（直接写出结果）
（2）若小新家10月份的平均电费为0.57元/度，则小新家10月份的用电量为多少度？
（3）若小新家11月、12月共用电800度，11月和12月一共缴电费487元，已知11月份用电比12月份少，求小新家11、12月各用多少度电？（电费每个月缴一次）
【答案】（1）111；（2）300度；（3）11月份用电量为300度，12月份用电量为500度．
【分析】（1）判断200位于表格中的第二档，列出相应算式，计算即可得到结果；
（2）设小新家10月份用电量为x度，求出用电量400度时的平均电费，判断10月份用电量为第二档，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设小新家11月份用电y度，则12月份用电（800-y）度，根据表格求出第二档与第三档每度的电费，再由11月份用电量小于12月份用电量，求出y与800-y的范围，分类讨论y的范围，列出相应的方程，求出解即可得到结果．
【详解】解：（1）根据题意得：
0.55×180+（0.55+0.05）×20=111（元）；
故答案为：111；
（2）设小新家10月份用电量为x度，
∵当用电量为400度时平均电费为=0.5775，
0.55＜0.57＜0.5775，
∴小新家10月份用电量为第二档，
依题意得：180×0.55+（x-180）×（0.55+0.05）=0.57x，
解得：x=300，
则小新家10月份用电量为300度；
（3）设小新家11月份用电y度，则12月份用电（800-y）度，
第二档电费为0.55+0.05=0.6（元/度）；
第三档电费为0.55+0.05+0.25=0.85（元/度），
∵11月份用电量小于12月份用电量，
∴y＜400，800-y＞400，
①当0≤y≤180时，0.55y+180×0.55+0.6×（400-180）+0.85（800-y-400）=487，
解得：y=280（舍去）；
②当180＜y＜400时，180×0.55+0.6（y-180）+180×0.55+0.6×（400-180）+0.85（800-y-400）=487，
解得：y=300，
则小新家12月份用电量为800-y=800-300=500（度），
答：小新家11月份用电量为300度，12月份用电量为500度．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
11．（2021·福建福州·七年级期末）某班将举行“数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
【答案】（1） 5元笔记本买了25本，8元笔记本买了15本；（2）不可能找回68元，理由见解析．
【分析】（1）设5元、8元的笔记本分别买x本、y本，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可；
（2）根据（1）中求出的5元、8元的笔记本的本数求出应找回的钱数，再与68相比较即可得出结论．
【详解】（1）设5元、8元的笔记本分别买x本，y本，
依题意，得：，
解得：
答：5元和8元笔记本分别买了25本和15本．
（2）设买本5元的笔记本，则买本8元的笔记本
依题意，得：，
解得
因是正整数，
所以不合题意，应舍去，故不能找回68元．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对二元一次方程组解决实际应用的能力．为中考常考题型，要求学生牢固掌握．
12．（2021·福建福州·七年级期末）补全解题过程
（1）已知：如图1，点C是线段AB的中点，CD＝2cm， BD＝8cm，求AD的长

解：∵CD＝2cm，BD＝8cm，
∴CB＝CD＋______＝______cm           
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝_____cm，     
∴AD＝AC＋_____＝_____cm
（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，∠BOD＝40°，求∠AOC的度数．

解：∵∠AOC ＋∠COB＝__________° ， ∠COB＋∠BOD＝__________°，…………①     
∴∠AOC ＝__________     ……………………②
∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝________°         
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：________________________________
【答案】（1）BD，10，10，CD；（2）90，90，∠BOD，50，同角的余角相等
【分析】（1）先推出CB＝10cm，根据中点的定义得AC＝CB，进而即可求解；
（2）根据同角的余角相等，即可求解．
【详解】（1）解：∵CD＝2cm，BD＝8cm，
∴CB＝CD＋BD＝10cm           
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝10cm，     
∴AD＝AC＋CD＝12cm
故答案是：BD，10，10，CD；
（2）解：∵∠AOC ＋∠COB＝90° ， ∠COB＋∠BOD＝90°，………①     
∴∠AOC ＝∠BOD ………②
∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝50°         
在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．
故答案是：90，90，∠BOD，50，同角的余角相等．
【点睛】本题主要考查线段的中点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键．
13．（2021·重庆市两江中学校七年级期末）一般情况下不成立，但有些数对可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a，b)．
（1）若(1，k)是“相伴数对”，求k的值；
（2）直接写出一个“相伴数对”(a0，b0)，其中a0≠0，且a0≠1；
（3）若(m，n)是“相伴数对”，求的值．
【答案】（1）；（2） (答案不唯一) ；（3）－2
【分析】（1）根据“相伴数对”的定义列方程求解即可；
（2）根据“相伴数对”的定义举例即可；
（3）利用题中的新定义求出m和n的关系，然后将所给代数式化简后代入计算即可求出值．
【详解】（1）根据题中的新定义得，
去分母得15+10k＝6+6k，
解得 ；  
（2）∵，，
∴=，
∴一个“相伴数对”(答案不唯一) ；   
（3）由题意得．整理得9m+4n＝0，
∴原式=
．
【点睛】此题考查了新定义运算，用到的知识点有一元一次方程的应用，整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2021·重庆市两江中学校七年级期末）如图，点O在直线AB上，OD是AOC的平分线，射线OE在BOC内．

（1）图中有 个小于180°的角?
（2）若OE平分BOC，求DOE的度数；
（3）若COE=2BOE， DOE=108°，求COE的度数．
【答案】（1）9；（2）90°；（3）72°
【分析】（1）根据角的定义，按照一定的规律计数即可；
（2）依据角平分线的定义，可知∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，然后结合平角的定义，即可求得∠DOE的度数；
（3）设∠BOE=x，表示出∠COE，∠AOC的度数，然后依据∠DOE=108°，列方程求解即可．
【详解】（1）∠AOD、∠COD、∠COE、∠BOE、∠AOC、∠DOE、∠COB、∠AOE、∠BOD
共9个角小于180°．
故答案是：9；
（2）OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC= (∠AOC+∠BOC)=90°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（3）设∠BOE=x，
∵∠COE=2∠BOE，
∴∠COE=2x，
∴∠AOC=180°−3x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC，
∵∠COD+∠COE═∠DOE=108°，
∴(180°−3x)+2x=108°，解得：x=36°，
∴∠COE═72°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分计算，熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分运算，运用方程思想求解，是解题的关键．
15．（2021·广东·深圳实验学校七年级期末）如图，已知射线OC在∠AOB内，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数．
（2）探究∠MON与∠AOB的数量关系．

【答案】（1）40°；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的性质，得到，再由角的和差得到∠MON=∠COM+∠CON，据此解题；
（2）根据角平分线的性质，得到，再由角的和差得到∠MON=∠COM+∠CON，据此解题．
【详解】解：（1）∵OM，ON分别平分∠AOC、∠BOC，
，
∵∠AOC=50°，∠BOC=30°，
∴∠COM=25°，∠CON=15°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=25°+15°=40°；
（2）∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
，
∴∠MON=∠COM+∠CON



即：．

【点睛】本题考查角平分线的性质、角的和差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（2021·山东济宁·七年级期末）如图，已知线段，利用尺规，按下列要求作图并作答（不写作法）：
（1）画出线段，使；
（2）延长线段，在其延长线上求作线段，使．

【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解．
【分析】(1)先用直尺作射线AF，再在AF上截取AB=a；
(2)在BA的延长线上顺次截取AD=DE=a，再在线段EA上截取EC=b，则．
【详解】(1)解：如图所示，线段AB即为所求，

(2)如图所示，线段AC即为所求，

【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．本题的关键是熟练掌握作一条线段等于已知线段的基本作图．
17．（2021·山东济宁·七年级期末）机械厂加工车间有52名工人，平均每人每天加工大齿轮12个或小齿轮8个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【答案】需要安排16名工人加工大齿轮，需要安排36名工人加工小齿轮．
【分析】设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排名工人加工小齿轮，再利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程即可．
【详解】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排名工人加工小齿轮，
依题意有
解得x=16， 52-x=52-16=36．
故需要安排16名工人加工大齿轮，需要安排36名工人加工小齿轮．
【点睛】题本主要考查了一元一次方程的应用，利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，进而得出方程是解本题关键．
18．（2021·山东济宁·七年级期末）已知，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠COE＝63°，求∠BOD的度数；
（2）如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数；

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求解 再利用角平分线的含义求解 再利用平角的定义求解即可；
（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD＝(∠AOC+90°)，∠BOF＝(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．
【详解】解：（1） ∠COE＝63°，∠COD＝90°，

OE是∠AOD的平分线，


（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE= ∠AOD＝，
∵OF是∠BOC的平分线，
∴∠BOF=∠COF=∠BOC＝，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=，
∵∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，
∴∠EOF==45°，
答：∠EOF的度数为45°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差关系，平角的定义，根据几何图形熟练的运用角的和差关系解题是关键.
19．（2021·重庆·西南大学附中七年级期末）2021年元旦班级活动中，西大附中初2023级（1）班决定到晨光文具店采购一批本子和笔对本学年各方面表现优异的学生作为奖励．已知购买3个本子，4支笔需要花费29元；购买2个本子，5支笔需要花费24元．
（1）试问本子和笔的单价分别是多少钱？
（2）根据班级商量，决定购进本子和笔共150件，要求购买本子的数量不低于购买笔的，且购买本子和笔所用班费不超过525元，请通过计算设计出所有可能的购买方案．
【答案】（1）本子单价是7元，笔的单价是2元；（2）有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件；购进本子44件，笔购进106件；购进本子45件，笔购进105件．
【分析】（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
（2）设购进本子a件，则笔购进（150-a）件，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案．
【详解】解：（1）设本子单价是x元，笔的单价是y元，由题意得，
，解得，
答：本子单价是7元，笔的单价是2元．
（2）设购进本子a件，则笔购进（150-a）件，由题意得，
，解得42≤a≤45，
∵a为整数，
∴a=43，44，45．
∴有三种购买方案：购进本子43件，笔购进107件；
购进本子44件，笔购进106件；
购进本子45件，笔购进105件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准不等关系，正确列出一元一次不等式组．
20．（2021·北京西城·七年级期末）如图，已知平面内有四个点，，，．根据下列语句按要求画图．

（1）连接；
（2）作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
（3）作直线与射线交于点．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；依据：两点之间，线段最短
【分析】(1)根据线段定义解答；
(2)根据射线定义，作等量线段的方法解答；
(3)根据直线定义及射线定义解答．
【详解】（1）线段AB即为所求；
（2）射线AD及线段DE即为所求；
（3）点F即为所求，的依据是两点之间，线段最短．
．
【点睛】此题考查直线、射线、线段定义及作图，两点之间线段最短的性质，截取线段等于已知线段，正确理解语句是作图的关键．
21．（2021·北京西城·七年级期末）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．

已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，．
求证：是的平分线．
证明：因为是的平分线，
所以．
（理由： ）
因为．
所以 ，
．
因为，
所以 ．
（理由： ）
所以是的平分线．
【答案】见解析，角平分线的定义；；；，；等角的余角相等，
【分析】依据∠DOC=90°即可得到∠DOE+∠COE=∠DOA+∠BOC=90°，结合角平分线定义，根据等角的余角相等即可得出结论．
【详解】证明：因为是的平分线，
所以．
（理由：角平分线的定义）
因为．
所以，
．
因为，
所以．
（理由：等角的余角相等）
所以是的平分线．

【点睛】本题考查了角平分线的定义及等角的余角相等，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
22．（2021·北京西城·七年级期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
，
，
，
，
…，…
（1）第个等式中正整数的值是 ；
（2）第个等式是： ；
（3）第个等式是： ．（其中是正整数）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）计算有理数加法求值即可；
（2）根据已知等式的规律直接得到答案即可；
（3）根据已知等式发现规律：此列数是从1加到8n，等于连续奇数的平方，此奇数表示为2n+1，由此列式即可．
【详解】（1）k2=1+8+16+24+32=81，
∴k=9或k=-9（舍去），
故答案为：9；
（2）第个等式是1+8+16+24+32+40=112，
故答案为：；
（3）第n个等式是：，
故答案为：．
【点睛】此题考查有理数运算规律探究，有理数的加法计算法则，连续奇数或偶数的表示方法，根据已知等式发现规律并运用规律解决问题是解题的关键．
23．（2021·重庆一中七年级期末）对于任意一个三位正整数，百位上的数字加上个位上的数字之和恰好等于十位上的数字，则称这个三位数为“牛转乾坤数”．例如：对于三位数451，，则451是“牛转乾坤数”；对于三位数110，，则110是“牛转乾坤数”．
（1）求证：任意一个“牛转乾坤数”一定能被11整除；
（2）在一个“牛转乾坤数”的十位与百位之间添加1得到一个新的四位数，若的各位数字之和为完全平方数，求所有满足条件的“牛转乾坤数”．
【答案】（1）见解析；（2）143，242，341，440
【分析】（1）设任意“牛转乾坤数”的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为a+b，根据多位数的表示法表示出这个三位数即可求解；
（2）设任意“牛转乾坤数”的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为a+b，把四位数四个数位上的数字相加，求出取值范围，再根据完全平方数的定义求解即可．
【详解】解：（1）设任意“牛转乾坤数”的百位数字为a（且为整数），个位数字为b（，且都为整数），则十位数字为a+b，则这个数可表示为：
100a+10(a+b)+b=，
∵，为整数，
∴任意一个“牛转乾坤数”一定能被11整除；
（2）设任意“牛转乾坤数”的百位数字为a（且为整数），个位数字为b（，且都为整数），则十位数字为a+b，则M四个数位上的数字分别是：a，1，a+b，b，则，
∵，为完全平方数，
∴，
∴，
∴a=1，2，3，4，b=3，2，1，0，
∴满足条件的“牛转乾坤数”为143，242，341，440．
【点睛】本题考查了新定义，整式加减的应用等知识，正确理解“牛转乾坤数”的含义是解答本题的关键．
24．（2021·江苏·南京外国语学校仙林分校七年级期末）如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体.

（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；

（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加__________块小正方体.
【答案】（1）见解析；（2）6.
【分析】（1）由题意根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；
（2）根据题意在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
【详解】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：

（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，

所以最多可以添加6块小正方体.
故答案为：6．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．注意掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
25．（2021·江苏淮安·七年级期末）定义一种新运算“”：，比如．
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
【详解】解：（1），
；
（2），
，
，
，
解得．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（2021·重庆南开中学七年级期末）如图，已知线段AD和BC的公共部分CD＝AC＝BC，线段AC的中点为E，若DE＝10cm，求AC，BC的长．

【答案】AC＝12cm，BC＝8cm．
【分析】先根据设CD＝x，根据CD＝AC＝BC，得出AC＝3x，BC＝2x，CE＝1.5x，再根据DE＝10cm，列出方程求解即可得到x的值，最后计算AC，BC的长．
【详解】设CD＝x，则AC＝3x，BC＝2x，
∵线段AC的中点为E，
∴CE＝1.5x，
∵DE＝10cm，
∴CE+CD＝10cm，
即1.5x+x＝10，
解得x＝4，
∴AC＝3x＝12cm，BC＝2x＝8cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键，解题时注意方程思想的运用．
27．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如果一个四位自然数，其千位数字是十位数字的二倍与百位数字之差，个位数字是十位数字的二倍与百位数字之和，我们称这个数为“共生数”．例如5137，其中，，所以5137是“共生数”．
（1）写出最小的“共生数”为_________，最大的“共生数”为_______．
（2）若一个“共生数”的前三位数表示的数减去后两位数表示的数之差除以13余数为8，求出所有符合条件的“共生数”．
【答案】（1）1113，8048；（2）6036，5137，4238，3339．
【分析】（1）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，先利用十位制将这个“共生数”表示出来，再根据的取值范围和整数性，分情况讨论即可得；
（2）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，从而可得这个“共生数”为，先利用十位数可得（其中k为整数），再根据的取值范围和整数性可得，然后分情况讨论即可得．
【详解】（1）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，
则这个“共生数”为，
，
，
①当“共生数”最小时，先考虑，即的情形，
因此，，
当的值越小，这个“共生数”就越小，
，且为整数，
当时，是三位数，不符题意，舍去，
当时，是1开头的四位数，符合题意，
经检验，此时，符合题意，
②当“共生数”最大时，先考虑，即的情形，
，且为整数，
，
又，
，
因此，此时不存在符合条件的整数，
再考虑，即的情形，
则，
当的值越大，这个“共生数”就越大，
，且为整数，
，
又，
，
，
，此时是8开头的四位数，符合题意，
综上，最小的“共生数”为1113，最大的“共生数”为8048，
故答案为：1113，8048；
（2）设这个“共生数”的十位数字是，百位数字是，
则由（1）可知，这个“共生数”为，
这个“共生数”的前三位数表示的数为，
后两位数表示的数为，
则（其中k为整数），
整理得：，
，
余数8只与有关，
，且为整数，
，
①当时，余数是2，不符题意，舍去；
②当时，余数是8，符合题意，
若，这个“共生数”为，
若，这个“共生数”为，
若，这个“共生数”为，
若，这个“共生数”为，
若，，不符题意，舍去；
③当时，余数是1，不符题意，舍去；
④当时，余数是7，不符题意，舍去；
⑤当时，余数是0，不符题意，舍去；
综上，符合条件的“共生数”是6036，5137，4238，3339．
【点睛】本题考查了列代数式、整数加减的应用，理解“共生数”的定义，并熟练掌握分类讨论思想是解题关键．
28．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点、分别为、上的点，点、为上的点，连接，连接、交于点．已知，，若，求的度数．
请你将下面解答过程填写完整．

解：∵
∴________
∴（________________________）
∵
∴_______
∴（____________________________）
∴
∵
∴
【答案】见解析．
【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定与性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
29．（2021·天津和平·七年级期末）已知A、B分别是关于x和y的多项式，一同学在计算多项式2A﹣B结果的时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，现在只知道B＝2y2+3ay+2y﹣3，2A﹣B＝﹣4y2﹣ay﹣2y+1．
（1）请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
（2）若多项式A+2B中不含y项，求a的值．
【答案】（1）A＝﹣y2+ay﹣1；（2）a＝．
【分析】（1）根据题意可知2A＝B+（﹣4y2﹣ay﹣2y+1），然后根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算进行化简，然后令含y的项的系数为零即可求出a的值．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴
∴
∴
（2）∵，
∴
∴
∵A+2B中不含y项
∴
∴
【点睛】本题主要考查了多项式与多项式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
30．（2021·天津和平·七年级期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数．
（2）在图1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），请直接用含α的代数式表示∠DOE的度数，不用说明理由．
（3）如图2，①请直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，不用说明理由．
②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF．试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由．

【答案】（1）10°；（2）α﹣10°；（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝80°可以求得∠DOE的度数；
（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；
（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．
【详解】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC．
∴∠COE＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣70°＝10°．
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC．
∴∠COE＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣90°+α＝α﹣10°．
（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD＝80°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE+∠COE＝80°，∠AOC+2∠COE＝180°
∴∠COE＝80°﹣∠DOE．
∵∠AOC+2∠COE＝180°．
∴∠AOC+2（80°﹣∠DOE）＝180°．
化简，得：∠AOC＝2∠DOE+20°；
②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．

理由：∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，
∴∠AOC﹣2∠BOE＝5∠AOF．
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOE，
∴∠AOC﹣2∠EOC＝5∠AOF．
由（3）①知：∠AOC＝2∠DOE+20°，
∴2∠DOE+20°﹣2∠EOC＝5∠AOF．
∵∠EOC＝∠COD﹣∠DOE＝80°﹣∠DOE，
∴2∠DOE+20°﹣2（80°﹣∠DOE）＝5∠AOF．
∴4∠DOE﹣140°＝5∠AOF．
即4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．
【点睛】此题主要考查角度的关系综合，解题的关键是熟知角平分线的性质、邻补角的特点．