【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第04讲《圆》期末专题复习

这是一份【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第04讲《圆》期末专题复习，共46页。试卷主要包含了圆的相关概念等内容，欢迎下载使用。

第04讲：圆专题-九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习
考点一：圆的定义
第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
考点二 圆的相关概念
（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。







考点三：垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
考点四：圆心角、弧、弦的关系
（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
考点五：圆周角定理及其推论
（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
考点六： 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。
(2)四个内角的和是360°
(3)圆内接四边形的外角等于其内对角
考点七：与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．

直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形



公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r

考点八：切线的判定和性质
（1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
考点九：切线长定理
（1） 切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。
考点十：三角形的内切圆和内心
(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。
(4) 直角三角形内切圆半径的求解方法：
①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得 。
②根据三角形面积的表示方法：ab=, .

考点十一：正多边形与圆
正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2

考点十二：与圆有关的计算公式
弧长和扇形面积的计算
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
.圆锥与侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
圆锥S侧=πrl，S=πr（l+r）
注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积

圆专题《考点·题型·难点》强化训练
一、单选题
1．（2021·广西宜州·九年级期末）下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·广东澄海·九年级期末）如图；“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材；埋在壁中；不知大小；以锯锯之；深一寸；锯道长一尺；问径几何”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径；弦AB垂直CD于点E；CE＝1寸；AB＝10寸；则直径CD的长为（ ）

A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
3．（2020·安徽庐阳·九年级期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°



4．（2021·安徽铜官·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）

A．2 B．1 C． D．
5．（2021·河北丰宁·九年级期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，CD=，则扇形OAB的面积（ ）

A． B． C． D．
6．（2021·全国·九年级期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则PCD的周长为（　　）

A．32 B．24 C．16 D．8
7．（2021·重庆彭水·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2021·四川江油·九年级期末）如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A(6，0)和B(0，2)，点P是圆上一个动点，点C(0，﹣3)，则PC长度的最小值为（ ）

A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣
9．（2021·河北安新·九年级期末）如图，扇形可以绕着正六边形的中心旋转，若，等于正六边形的边心距的2倍，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．（2021·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末）用圆心角为90°，半径为16cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽接缝不计，如图，则这个纸帽的底面半径为(    )

A．8cm B．4cm C．16cm D．10cm
11．（2021·四川南充·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　）

A．48 B．45 C．42 D．40
12．（2021·浙江·东阳市横店镇第二初级中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为（　　）

A．π B．2π C． D．3π





二、填空题
13．（2021·全国·九年级期末）已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离．则直线与⊙的位置关系是__________．
14．（2021·吉林铁西·九年级期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点．若，，则的周长为______．

15．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，在的内接正六边形中，______°．

16．（2021·江苏泰兴·九年级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠ABD＝36°，则∠C的度数是______．

17．（2021·全国·九年级期末）如图，在中，，，以为直径做半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积为__．

18．（2021·湖北十堰·九年级期末）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD=30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．当点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为______

19．（2021·山东莱芜·九年级期末）如图，正六边形的边长为，分别以点A，为圆心，以，为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留根号和）


三、解答题
20．（2020·广东番禺·九年级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．

21．（2021·湖南绥宁·九年级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

22．（2019·天津滨海新·九年级期末）如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C,
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．

23．（2020·江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

24．（2020·广东·东莞外国语学校九年级期末）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

25．（2019·江苏·徐州市第三十二中学九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

26．（2021·全国·九年级期末）如图，在中，直径与弦相交于点， ．

（1）如图①，若，求和∠CDB的大小；
（2）如图②，若 ，过点D作的切线DF ，与AB的延长线相交于点 ．求∠ F 的大小．
27．（2021·广东澄海·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．

28．（2021·全国·九年级期末）已知：如图1，∠ACG＝90°，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）若
①求AB的长
②判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长．


参考答案
1．B
【分析】
根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．
【详解】
解：①直径是最长的弦，故正确；
②最长的弦才是直径，故错误；
③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，
正确的有两个，
故选B．
【点睛】
本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．
2．D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示，

设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
根据勾股定理得x2=52+(x-1)2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
3．A
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】
解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
4．C
【分析】
过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB==60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=30°，AH=AB=1，于是得到结论．
【详解】
解：过O作OH⊥AB于H，

在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理．
5．C
【分析】
连接AB，由垂径定理可得点C、D分别是AP、BP的中点，由三角形中位线定理可得AB，根据勾股定理可得AO、BO的长，继而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】
连接AB，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
由垂径定理可得点C、D分别是AP、BP的中点，
∵CD=，
∴
∵在扇形AOB中，AO＝BO，∠AOB=90°，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即
解得：，
∴

故选：C．
【点睛】
本题考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理求得．
6．C
【分析】
根据切线长定理即可得结论．
【详解】
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝8，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝8+8＝16．
则△PCD的周长是16．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
7．B
【分析】
连接 ，根据圆周角定理可得 ，再由CD是⊙O的切线，可得，从而，即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，

∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT，根据∠ABO=90° ，可知AB为圆的直径，T为圆心，PC的最小长度即为点C到圆T上一点的最短距离.
【详解】
解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．
∵A（6，0），B（0，2），
∴OA＝6，OB＝2，
∵∠ABO=90° ，
∴，AB为圆的直径，
∴TB＝AT＝PT＝，
∴T（，）即（3，1），
∵C（0，﹣3），
∴
∴PC≥CT﹣PT＝5﹣，
∴PC的最小值为5-．
故选D．

【点睛】
本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．B
【分析】
由正六边形的性质得，连接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得，从而得，根据ASA证明得，结合即可求解．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形
∴
连接OE，OC，则

∴
∴四边形OCDE是菱形，
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∵AB=2
∴CD=DE=2
过点C作CD⊥ED的延长线于点H
∴
∴
∴DH=1
∴
∴扇形半径长为
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应角相等是解题关键．
10．B
【分析】
根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用弧长公式求得圆锥的周长，再根据圆的周长公式求得底面圆的半径．
【详解】
解：圆锥底面圆的周长为
根据圆的周长公式可得：（为底面圆的半径）
解得：
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，理解题意找到扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．
11．A
【分析】
过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，

在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
12．A
【分析】
连接BH，交BA1于E，解直角三角形求出AB和AC，求出CH和BO，根据勾股定理求出BH，分别求出扇形MBE和扇形OBO1的面积，再求出答案即可．
【详解】
解：连接BH，交BA1于E，

∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
由勾股定理得：
∵O、H分别为边AB、AC的中点，
∴BO＝AB＝2，CH＝AC＝，
由勾股定理得：
即BM＝BE＝BH＝，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴∠ABA1＝120°，
∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为
故选A．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，扇形面积公式，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.
13．相离
【分析】
先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∵⊙的半径是一元二次方程的一个根，
∴ ，
∵，
∴直线与⊙的位置关系是相离．
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系完成判定．
14．
【分析】
根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质求出AC，由AB=2AC，于是得到结论．
【详解】
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，AB=2AC，PO⊥AB，
∴∠PAB=60°，
∴∠OAC=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°，
∴AO=2OC，
∵OC=1，
∴AO=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=，
∴△PAB的周长=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15．
【分析】
首先求出正六边形的内角和，然后根据正六边形每个内角都相等即可求出的度数．
【详解】
解：∵多边形是正六边形，
∴正六边形的内角和为，
∴正六边形的每个内角度数为．
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了正六边形的内角度数，解题的关键是熟知多边形内角和公式．多边形内角和=．
16．72°
【分析】
根据等腰三角形和已知条件得出∠ADB＝∠ABD＝36°，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．
【详解】
解：∵AB＝AD，∠ABD＝36°，
∴∠ADB＝∠ABD＝36°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝108°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣108°＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
17．
【分析】
连接，，根据圆周角定理得到，解直角三角形求得，，，，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接，，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
为的直径，
，，
又∵，
，
∴，
∵，
，
阴影部分的面积


，
故答案为：．

【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握扇形的面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
18．-1
【分析】
取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即OF≥-1，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OA，取AC的中点H，连接OH，OF，HF，


∵OA=OC，AH=HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO=90°，
∵∠COH=60°，
∴∠HCO=30°，
∴OH=OC=1，HC=，AC=2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC=90°，
∴HF=AC=，
∴OF≥FH-OH，即OF≥-1，
∴OF的最小值为-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．
【分析】
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵正六边形ABCDEF的边长为，
∴正六边形ABCDEF的面积是：
，
∵∠FAB=∠EDC=120°，
∴图中阴影部分的面积是：
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】
（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．

【点睛】
本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
【详解】（1）如图，
∵∠AEC=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，
∴AE=2AM=4．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．
22．（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【详解】
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=(r+2)，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
23．（1）相切，证明见解析；（2）6.
【分析】
（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=，
∴，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
24．（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】
解：（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，
∴，解得OD=1，
∴=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】
本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
25．（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣．
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【详解】
（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，

∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF=，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°=，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：．
【点睛】
此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
26．（1）27°，32°；（2）26°
【分析】
（1）先求出∠BAD=∠C=27° ，再求出∠ADB=90°，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠AEC=90° ，得到∠A及∠DOB的度数，根据切线的性质得到∠ODF=90°，计算求解即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠C=∠AEC-∠ABC=27°，
∴∠BAD=∠C=27°．
∵直径AB与弦CD相交于点E，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=∠ADC=58° ，
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=32°．
（2）∵，
∴∠AEC=90°．
又∵∠ABC=∠ADC=58°，
∴∠A=90°-∠ADC=32°．
∴∠DOB=2∠A=64°．
∵DF是的切线，
∴∠ODF=90° ．
∴∠F=90°-64°=26°．
【点睛】
此题考查同弧所对的圆周角相等的性质，垂线的定义，切线的性质，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）连接OA，OB，OC，由AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB可证出△OAC≌△OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC＝∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；
（2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE＝90°可得出∠BAE＝90°，由同角的余角相等可得出∠BAG＝∠AEB，结合∠ABC＝∠ACB＝∠AEB可得出∠BAG＝∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG＝BG；
②由∠ADC＝∠AFB＝90°，∠ACD＝∠ABF，AC＝AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG＝x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．
【详解】
证明：（1）连接OA、OB、OC，如图1，

∵AC=AB，OA=OA，OC=OB，
∴△OAC≌△OAB，
∴∠OAC＝∠OAB，
∴AO⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切线；
（2）①连接AE，如图2，

∵AD∥BC，AD⊥CD，
∴BC⊥CD，
∴∠BCE＝90°，
∴BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAG+∠EAF＝90°，
又∵AF⊥BE，
∴∠AEB+∠EAF＝90°，
∴∠BAG=∠AEB，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠BAG=∠ABC，
∴AG=BG；
②∵AC=AB，∠ACD＝∠ABF，∠ADC=∠AFB＝90°，
∴△ADC≌△AFB，
∴AF=AD=4，BF=CD=5，
设FG=x，则AG=GB=x+4，
在Rt△BFG中，由勾股定理可得：
，
解得：，
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定义，平行线的性质，圆内接四边形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG＝∠ABC；②在Rt△BFG中，利用勾股定理求出FG的长．
28．（1）① ②直线FD与以AB为直径的⊙O相切. （2）BC＝
【分析】
（1）①在Rt△ABC中，根据特殊角的三角函数即可求出AB的长. ②根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；
（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．
【详解】
解：（1）①∵∠ACG＝90°，AC＝2，，
∴在Rt△ACB中，tan∠BAC =，
∴,
∴.
②判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．
证明：如图，作以AB为直径的⊙O；

∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°．
∵O为AB的中点，连接DO，
∴OD＝OB＝AB，
∴点D在⊙O上．
∴△BOD是等边三角形．
∴∠BOD＝60°．
∴∠ABC＝∠BOD，
∴FCDO．
∵DF⊥CG，
∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∴OD⊥FD，
∴FD为⊙O的切线．
（2）延长AD交CG于点E，

同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；
∴四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠FBD＝∠1＋∠2，
同理∠FDB＝∠2＋∠3，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠FBD＝∠FDB，
又∵∠DFB＝90°，
∴△BFD是等腰直角三角形.
∴和是等腰直角三角形.
∴EC＝AC＝2．
设BC＝x，则BD＝BC＝x，
∵∠EDB＝90°，
∴EB＝，
∵EB＋BC＝EC，
∴＋x＝2，
解得x＝ ，
∴BC＝．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定，圆的内接四边形等知识点，根据已知的边的长或相等角得出特殊角从而构建出特殊的直角三角形是解题的关键．