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2022-2023学年九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆（23个考点）
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专题02对称图形——圆（23个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
十二．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
十三．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
十四．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
十五．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
十六．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
十七．切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．
十八．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十九．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
二十．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二十一．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
二十二．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
二十三．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
【专题过关】
一．圆的认识（共1小题）
1．（2021秋•泰州月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．垂径定理（共2小题）
2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
三．垂径定理的应用（共3小题）
4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 寸．（1尺＝10寸）
四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）
7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
五．圆周角定理（共2小题）
9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．18°
10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ ．
六．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．90°
七．相交弦定理（共2小题）
12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
八．点与圆的位置关系（共2小题）
14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP＞4 B．0≤OP＜4 C．OP＞2 D．0≤OP＜2
九．确定圆的条件（共2小题）
16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）
18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 ．
20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）
21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．
一十二．切线的性质（共3小题）
25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．
27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
一十三．切线的判定（共1小题）
28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
一十四．切线的判定与性质（共6小题）
29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．
30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．
31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．
32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD 是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．
34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．
一十五．弦切角定理（共1小题）
35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
一十六．切线长定理（共2小题）
36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
一十七．切割线定理（共1小题）
38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）
39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
一十九．正多边形和圆（共2小题）
40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ ．
二十．弧长的计算（共4小题）
42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A． B． C．π D．2π
43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
二十一．扇形面积的计算（共1小题）
46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二十二．圆锥的计算（共2小题）
47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
48．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2π B． C．4π D．π
二十三．圆柱的计算（共2小题）
49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
50．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是 ．
答案与解析
【专题过关】
一．圆的认识（共1小题）
1．（2021秋•泰州月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
二．垂径定理（共2小题）
2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．
三．垂径定理的应用（共3小题）
4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是16﹣x，MF＝8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 26 寸．（1尺＝10寸）
【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BD＝AB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）
7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
【分析】连接OA、OC，证明Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），可得结论．
【解答】证明：连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
五．圆周角定理（共2小题）
9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．18°
【分析】连接OC、OD，如图，先根据圆周角定理得到∠COD＝2∠DAC＝72°，再利用＝得到∠AOD＝∠COD＝72°，接着利用平角的定义计算出∠BOC＝36°，然后根据圆周角定理得到∠BAC的度数．
【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵∠DAC＝36°，
∴∠COD＝2∠DAC＝72°，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BOC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15° ．
【分析】设CD与⊙O相交于点E，连接BE，根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠BCDC＝25°，从而可得∠CBD＝130°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠EBD＝90°，从而可得∠BED＝65°，进而利用圆内接四边形对角互补可得∠A＝115°，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
七．相交弦定理（共2小题）
12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
【分析】设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）＝5•1，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根据题意得AE•BE＝CE•DE，
所以x（4﹣x）＝5•1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的长为2+或2﹣．
【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
八．点与圆的位置关系（共2小题）
14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP＞4 B．0≤OP＜4 C．OP＞2 D．0≤OP＜2
【分析】当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
【解答】解：∵当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，
∴OP＞4，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
九．确定圆的条件（共2小题）
16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
故答案为：能．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）
18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【解答】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 2﹣6 ．
【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝2，再由当A、D、M三点共线时，AD最小，求出此时AD的长即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝30°，
∴∠CDP＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BMC＝60°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝2，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．
故答案为：2﹣6．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．
20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
【分析】（1）证明ED∥CF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连接AF，根据勾股定理计算AF的长，证明EF＝AF＝CD可得结论．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，
∴∠ADC＝∠E，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠E，
∴ED∥FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AB＝7，BF＝1，
∴AF＝＝＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠E＝∠BFC＝45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝4，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握圆周角定理是解本题的关键．
一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）
21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：D．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由切线的判定定理，可证明；
（2由弓形面积公式，可求解．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
【点评】本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 A，B ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ≤r＜5 ．
【分析】（1）将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为4的点即是所求；
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），根据“垂距点”的定义可得出|a|+|2a+3|＝4，解之即可得出a值，进而可得出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），画出该函数图象，分⊙T与DE相切及⊙T过点F两种情况求出r值，结合题意，即可得出r的取值范围．
【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，||+|﹣|＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4，
∴是“垂距点”的点为A，B．
故答案为：A，B．
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），
依题意得：|a|+|2a+3|＝4．
①当a＞0时，a+（2a+3）＝4，
解得：a＝，
∴此时“垂距点”的坐标为（，）；
②当﹣＜a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4，
解得：a＝1（不合题意，舍去）；
③当a＜﹣时，﹣a﹣（2a+3）＝4，
解得：a＝﹣，
∴此时“垂距点”的坐标为（﹣，﹣）．
∴综上所述，函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标是（，）或（﹣，﹣）．
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），
当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）；
当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）；
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0）；
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0＜x＜4），
画出该函数图象，如图所示．
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，易证△DNT为等腰直角三角形，
∴TN＝TD＝×|4﹣1|＝；
当⊙T过点F（﹣4，0）时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r＝FT＝|1﹣（﹣4）|＝5．
∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是≤r＜5．
故答案为：≤r＜5．
【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及相切，解题的关键是：（1）根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用特殊值法，找出r的取值范围．
24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴，即，
∴CE＝3，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝5﹣．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理．
一十二．切线的性质（共3小题）
25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，先求得BE＝CE＝3，∠B＝∠ACB＝30°，则AE＝BE•tan30°＝3，再证明OA∥BC，则OH＝AE＝OT＝OL＝3，可证明直线BC与⊙O相切，再求得OA＝2OT＝6，则AL＝3，作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，直线B′C′与⊙O相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，分别加以说明即可．
【解答】解：如图1，由题意可知⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3，
设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，
∴AT⊥OT，OT＝3，
作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，则∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3，∠B＝∠ACB＝（∠180﹣∠BAC）＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝3×＝3，
∵∠TAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠OAG＝∠OAT＝∠TAC＝30°，
∴∠OAG＝∠ACB，
∴OA∥BC，
∴OH＝AE＝OT＝OL＝3，
∴直线BC与⊙O相切，
∵∠ATO＝90°，
∴OA＝2OT＝6，
∴AL＝3，
作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，
如图2，△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，
∵∠OLB′＝180°﹣∠ALB′＝180°﹣∠AKB′＝90°，
∴B′C′⊥OL，
∵OL为⊙O的半径，
∴B′C′与⊙O相切；
如图3，△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R，
∵OR＝AK＝3，
∴B′C′与⊙O相切；
当△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，则B′C′与⊙O相切，
综上所述，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切3次，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，证明OC∥DE，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BOC，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接BC，根据正确的定义、圆周角定理求出BC，根据勾股定理求出AB，证明△ACB∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠ABD＝∠BOC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，
∴∠ABD＝2∠A；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝2CE，
∴tanD＝＝，
由圆周角定理得：∠A＝∠D，
∴tanA＝＝，
∴BC＝4，
∴AB＝＝＝4，
∵∠A＝∠BCE，∠ACB＝∠CEB，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A＝30°，根据圆周角定理求出∠DOB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据正弦的定义求出DF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝360°﹣∠DOB﹣∠ODE﹣∠ABC＝120°；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝AB＝3，
∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵Rt△OFD中，sin∠DOF＝，
∴DF＝OD•sin∠DOF＝3×＝，
∴S阴影＝S扇形DOA﹣S△OAD＝﹣×3×＝3π﹣．
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
一十三．切线的判定（共1小题）
28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∴∠BAD＝2∠1．
∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD＝90°．
∴∠BAC＝90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，
设AD＝2m，则AB＝3m，
由勾股定理得：BD＝＝m．
∵BD＝5，
∴m＝．
∴AD＝，AB＝．
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，
∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，
∴．
解得：＝3．
∴BF＝3．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．
一十四．切线的判定与性质（共6小题）
29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．
【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）证明△ABE是等边三角形，得出AE＝BE＝AB＝6，∠EAB＝60°，求出∠CAE＝30°，由弧长公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵△AED≌△BAC，
∴∠ADE＝∠BCA＝30°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝AE＝6，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB＝6，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴的长＝．
【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周定理、等边三角形的判定与性质，弧长公式．熟练掌握切线的判定是解题的关键．
30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．
【分析】（1）连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，根据矩形的性质得到，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质得到EB＝EC，求得∠EFC＝90°，得到EF⊥AD．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，根据矩形的性质得到∠D＝90°．根据切线的性质得到∠OED＝90°．求得OH＝ED，DH＝OE＝r，得到OH＝ED＝AD＝2．根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴EF垂直平分BC，
即∠EFC＝90°，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°，
即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED＝90°．
∵∠OHD＝90°，
∴四边形OEDH是矩形，
∴OH＝ED，DH＝OE＝r，
∵E是AD的中点，
∴OH＝ED＝AD＝2．
在Rt△OHN中，由勾股定理得：
OF2+NF2＝ON2，
即22+（r﹣1）2＝r2．
∴解得r＝2.5，
故⊙O的半径r为2.5．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理正确地作出辅助线是解题的关键．
31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接OE，
∵点E是半圆ADB的一个三等分点，
∴∠AOE＝60°或120°，
当∠AOE＝60°时，
S△AOE＝AE•OEsin60°＝×4×4×＝4．
S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣4＝﹣4．
当∠AOE＝120°时，过点O作OH⊥AE于点H，则AE＝4，OH＝2．
S△AOE＝AE•OH＝×4×2＝4．
S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣4＝﹣4．
综上所述，阴影部分的面积是﹣4或﹣4．
【点评】本题考查了圆的切线性质及应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及扇形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠COB＝60°，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠D＝30°，根据直角三角形的性质得到OC＝OD，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到OC＝CD＝3，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，
理由：连接OC，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵CD是⊙O的切线；
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝BD，
故答案为：①②，③；
（2）在Rt△OCD中，
∵CD＝3，∠COD＝60°，
∴OC＝CD＝3，
∴的长度为＝π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD 是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）求出∠DAC＝∠CAO，∠OCA＝∠CAO，推出∠DAC＝∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BC，OF，过点O作OM⊥AF，垂足为F，先证得△OAF为等边三角形，得到半径的长，然后利用扇形面积公式与三角形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CF，
∴OC⊥CF，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，OF，过点O作OM⊥AF，垂足为F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，
∴＝，
∵AC＝2，
∴BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝OF＝2，
∵AC平分∠EAB，∠CAB＝30°，
∴∠OAF＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠FOM＝30°，AF＝OA＝2，
∴OM＝，
∴阴影部分的面积＝﹣＝﹣2×＝﹣．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到BC⊥OA，根据平行线的性质得到AD⊥OA，由切线的性质即可得到结论；
（2）如图，设OA与BC交于E，根据平行四边形的性质得到AC∥OD，求得∠C＝∠CBO，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得∠ABC＝∠CBO，推出△ABO是等边三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形；
∴AB＝AC，
∴BC⊥OA，
∵AD∥BC，
∴AD⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如图，设OA与BC交于E，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴AC∥OD，BC＝AD＝4，
∴∠C＝∠CBO，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵OA⊥BC，
∴BA＝BO，
∵AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵AB＝AC，BC⊥OA，
∴BE＝BC＝2，
在Rt△BOE中，
OB＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
一十五．弦切角定理（共1小题）
35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
一十六．切线长定理（共2小题）
36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r＝，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
∴直角三角形的面积是r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故答案是：．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键
37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 14 ．
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
一十七．切割线定理（共1小题）
38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
【分析】延长AO交⊙O于B，由切割线定理可得PC2＝PA•PB，进而求出PC的长．
【解答】解：延长AO交⊙O于B，
则AB＝2OA＝10；
由切割线定理得：PC2＝PA•PB；
则有：PC2＝4×（10+4）＝56，
解得：PC＝2；
故选：D．
【点评】此题主要考查的是切割线定理的应用．
一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）
39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【点评】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大．
一十九．正多边形和圆（共2小题）
40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ 18 ．
【分析】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．
【解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：，
则∠ECF＝×，∠AEC＝，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴×+＝30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．
二十．弧长的计算（共4小题）
42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得的长度．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如右图所示，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝2，
∴的长度为：＝π，
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数．
43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
【分析】（1）连接AC，OC，OB，求出AF＝AC，根据等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠EAF＝25°，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式求出答案即可；
（2）连接OA，OC，OB，BC，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBC，求出∠OBA＝∠OAB＝20°，求出∠AOB，再根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：（1）连接AC，OC，OB，
∵AB⊥CD，EF＝EC，
∴AF＝AC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∵∠EAF＝25°，
∴∠CAE＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAE＝50°，
∴的长为＝；
（2）连接OA，OC，OB，BC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
由（1）知：∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠AMB＝AOB＝70°．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，根据三角形内角和定理求出答案即可；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC，求出∠BOD，解直角三角形求出OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，
∴∠BOD＝BOC＝60°，
BD＝BC＝＝3，
∵Rt△BOD中，，
∴，
∴的长＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
二十一．扇形面积的计算（共1小题）
46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和扇形面积公式可求解．
【解答】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵：＝3：1，
∴∠AOB＝80°
设扇形的半径为r，
∴＝，
∴r＝4（负值已舍去），
∴＝＝π．
故选：C．
【点评】本题运用了弧长公式弧长公式和扇形面积公式，轴对称的性质，关键是熟记弧长公式和扇形面积公式．
二十二．圆锥的计算（共2小题）
47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】求出接下来的一个四分之一圆的弧长，再根据圆周长计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据规律可知，接下来的一个四分之一圆的半径为8，
半径为8，圆心角为90°的弧长为＝4π，
设圆锥的底面半径为r，由题意得，
2πr＝4π，
解得r＝2，
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的计算以及数字变化类，求出“接下来的一个四分之一圆的弧长”是解决问题的关键．
48．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2π B． C．4π D．π
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长＝＝2，
所以圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二十三．圆柱的计算（共2小题）
49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
50．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是 20πcm2 ．
【分析】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．
【解答】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案为20πcm2．
【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
专题02对称图形——圆（23个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
二．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
四．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
五．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
六．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
七．相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）．
八．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
九．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
十．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
十一．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
十二．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
十三．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
十四．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
十五．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．
十六．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
十七．切割线定理
（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）
（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）
由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD．
十八．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
十九．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
二十．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二十一．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
二十二．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
二十三．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
【专题过关】
一．圆的认识（共1小题）
1．（2021秋•泰州月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．垂径定理（共2小题）
2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
三．垂径定理的应用（共3小题）
4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 寸．（1尺＝10寸）
四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）
7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
五．圆周角定理（共2小题）
9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．18°
10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ ．
六．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．90°
七．相交弦定理（共2小题）
12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
八．点与圆的位置关系（共2小题）
14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP＞4 B．0≤OP＜4 C．OP＞2 D．0≤OP＜2
九．确定圆的条件（共2小题）
16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）
18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 ．
20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）
21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．
一十二．切线的性质（共3小题）
25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．
27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
一十三．切线的判定（共1小题）
28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
一十四．切线的判定与性质（共6小题）
29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．
30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．
31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．
32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD 是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．
34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．
一十五．弦切角定理（共1小题）
35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
一十六．切线长定理（共2小题）
36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
一十七．切割线定理（共1小题）
38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）
39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
一十九．正多边形和圆（共2小题）
40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ ．
二十．弧长的计算（共4小题）
42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A． B． C．π D．2π
43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
二十一．扇形面积的计算（共1小题）
46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二十二．圆锥的计算（共2小题）
47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
48．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2π B． C．4π D．π
二十三．圆柱的计算（共2小题）
49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
50．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是 ．
答案与解析
【专题过关】
一．圆的认识（共1小题）
1．（2021秋•泰州月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
二．垂径定理（共2小题）
2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．
三．垂径定理的应用（共3小题）
4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是16﹣x，MF＝8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 26 寸．（1尺＝10寸）
【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BD＝AB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），
即木材的直径CD是26寸，
故答案为：26．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）
7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
【分析】连接OA、OC，证明Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），可得结论．
【解答】证明：连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB，CF＝CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
五．圆周角定理（共2小题）
9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC的度数是（ ）
A．54° B．27° C．36° D．18°
【分析】连接OC、OD，如图，先根据圆周角定理得到∠COD＝2∠DAC＝72°，再利用＝得到∠AOD＝∠COD＝72°，接着利用平角的定义计算出∠BOC＝36°，然后根据圆周角定理得到∠BAC的度数．
【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵∠DAC＝36°，
∴∠COD＝2∠DAC＝72°，
∵D是弧AC的中点，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BOC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15° ．
【分析】设CD与⊙O相交于点E，连接BE，根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠BCDC＝25°，从而可得∠CBD＝130°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠EBD＝90°，从而可得∠BED＝65°，进而利用圆内接四边形对角互补可得∠A＝115°，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六．圆内接四边形的性质（共1小题）
11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
七．相交弦定理（共2小题）
12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
【分析】设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）＝5•1，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根据题意得AE•BE＝CE•DE，
所以x（4﹣x）＝5•1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的长为2+或2﹣．
【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
八．点与圆的位置关系（共2小题）
14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（ ）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP＞4 B．0≤OP＜4 C．OP＞2 D．0≤OP＜2
【分析】当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
【解答】解：∵当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，
∴OP＞4，
故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
九．确定圆的条件（共2小题）
16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．
故答案为：能．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）
18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【解答】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 2﹣6 ．
【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，再由∠BMC＝60°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝2，再由当A、D、M三点共线时，AD最小，求出此时AD的长即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝30°，
∴∠CDP＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BMC＝60°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等边三角形，
∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝2，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．
故答案为：2﹣6．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝150°的圆弧上运动．
20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
【分析】（1）证明ED∥CF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连接AF，根据勾股定理计算AF的长，证明EF＝AF＝CD可得结论．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，
∴∠ADC＝∠E，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠E，
∴ED∥FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AB＝7，BF＝1，
∴AF＝＝＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠E＝∠BFC＝45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝4，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握圆周角定理是解本题的关键．
一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）
21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ）
A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．
【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
如图所示：
∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．
故选：D．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由切线的判定定理，可证明；
（2由弓形面积公式，可求解．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
【点评】本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 A，B ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ≤r＜5 ．
【分析】（1）将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为4的点即是所求；
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），根据“垂距点”的定义可得出|a|+|2a+3|＝4，解之即可得出a值，进而可得出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），画出该函数图象，分⊙T与DE相切及⊙T过点F两种情况求出r值，结合题意，即可得出r的取值范围．
【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，||+|﹣|＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4，
∴是“垂距点”的点为A，B．
故答案为：A，B．
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），
依题意得：|a|+|2a+3|＝4．
①当a＞0时，a+（2a+3）＝4，
解得：a＝，
∴此时“垂距点”的坐标为（，）；
②当﹣＜a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4，
解得：a＝1（不合题意，舍去）；
③当a＜﹣时，﹣a﹣（2a+3）＝4，
解得：a＝﹣，
∴此时“垂距点”的坐标为（﹣，﹣）．
∴综上所述，函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标是（，）或（﹣，﹣）．
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），
当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）；
当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）；
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0）；
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0＜x＜4），
画出该函数图象，如图所示．
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，易证△DNT为等腰直角三角形，
∴TN＝TD＝×|4﹣1|＝；
当⊙T过点F（﹣4，0）时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r＝FT＝|1﹣（﹣4）|＝5．
∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是≤r＜5．
故答案为：≤r＜5．
【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及相切，解题的关键是：（1）根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用特殊值法，找出r的取值范围．
24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴，即，
∴CE＝3，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝5﹣．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理．
一十二．切线的性质（共3小题）
25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，先求得BE＝CE＝3，∠B＝∠ACB＝30°，则AE＝BE•tan30°＝3，再证明OA∥BC，则OH＝AE＝OT＝OL＝3，可证明直线BC与⊙O相切，再求得OA＝2OT＝6，则AL＝3，作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，直线B′C′与⊙O相切存在三种情况，一是△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，二是△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，三是△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，分别加以说明即可．
【解答】解：如图1，由题意可知⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3，
设⊙O与边BA的延长线、射线AC分别相切于点T、点G，连接OA交⊙O于点L，连接OT，
∴AT⊥OT，OT＝3，
作AE⊥BC于点E，OH⊥BC于点H，则∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6，
∴BE＝CE＝BC＝3，∠B＝∠ACB＝（∠180﹣∠BAC）＝30°，
∴AE＝BE•tan30°＝3×＝3，
∵∠TAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠OAG＝∠OAT＝∠TAC＝30°，
∴∠OAG＝∠ACB，
∴OA∥BC，
∴OH＝AE＝OT＝OL＝3，
∴直线BC与⊙O相切，
∵∠ATO＝90°，
∴OA＝2OT＝6，
∴AL＝3，
作AK⊥B′C′于点K，由旋转得AK＝AE＝3，∠AKB′＝∠AEB＝90°，
如图2，△ABC绕点A旋转到点K与点L重合，
∵∠OLB′＝180°﹣∠ALB′＝180°﹣∠AKB′＝90°，
∴B′C′⊥OL，
∵OL为⊙O的半径，
∴B′C′与⊙O相切；
如图3，△ABC绕点A旋转到B′C′∥OA，作OR⊥B′C′交C′B′的延长线于点R，
∵OR＝AK＝3，
∴B′C′与⊙O相切；
当△ABC绕点A旋转到B′C′与BC重合，即旋转角α＝360°，则B′C′与⊙O相切，
综上所述，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切3次，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、锐角三角函数以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且
DE⊥CE，连接AC，DC．
（1）求证：∠ABD＝2∠A；
（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，证明OC∥DE，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BOC，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接BC，根据正确的定义、圆周角定理求出BC，根据勾股定理求出AB，证明△ACB∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠ABD＝∠BOC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，
∴∠ABD＝2∠A；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE＝2CE，
∴tanD＝＝，
由圆周角定理得：∠A＝∠D，
∴tanA＝＝，
∴BC＝4，
∴AB＝＝＝4，
∵∠A＝∠BCE，∠ACB＝∠CEB，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A＝30°，根据圆周角定理求出∠DOB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据正弦的定义求出DF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝360°﹣∠DOB﹣∠ODE﹣∠ABC＝120°；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝AB＝3，
∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵Rt△OFD中，sin∠DOF＝，
∴DF＝OD•sin∠DOF＝3×＝，
∴S阴影＝S扇形DOA﹣S△OAD＝﹣×3×＝3π﹣．
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
一十三．切线的判定（共1小题）
28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．
（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．
∵E是弧BD的中点，
∴，
∴∠1＝∠2．
∴∠BAD＝2∠1．
∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DAC+∠BAD＝90°．
∴∠BAC＝90°．
即AB⊥AC．
又∵AC过半径外端，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，
设AD＝2m，则AB＝3m，
由勾股定理得：BD＝＝m．
∵BD＝5，
∴m＝．
∴AD＝，AB＝．
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，
∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，
∴．
解得：＝3．
∴BF＝3．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．
一十四．切线的判定与性质（共6小题）
29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．
【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）证明△ABE是等边三角形，得出AE＝BE＝AB＝6，∠EAB＝60°，求出∠CAE＝30°，由弧长公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵△AED≌△BAC，
∴∠ADE＝∠BCA＝30°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝AE＝6，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB＝6，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴的长＝．
【点评】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周定理、等边三角形的判定与性质，弧长公式．熟练掌握切线的判定是解题的关键．
30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．
【分析】（1）连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，根据矩形的性质得到，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质得到EB＝EC，求得∠EFC＝90°，得到EF⊥AD．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，根据矩形的性质得到∠D＝90°．根据切线的性质得到∠OED＝90°．求得OH＝ED，DH＝OE＝r，得到OH＝ED＝AD＝2．根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴EF垂直平分BC，
即∠EFC＝90°，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°，
即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED＝90°．
∵∠OHD＝90°，
∴四边形OEDH是矩形，
∴OH＝ED，DH＝OE＝r，
∵E是AD的中点，
∴OH＝ED＝AD＝2．
在Rt△OHN中，由勾股定理得：
OF2+NF2＝ON2，
即22+（r﹣1）2＝r2．
∴解得r＝2.5，
故⊙O的半径r为2.5．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理正确地作出辅助线是解题的关键．
31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接OE，
∵点E是半圆ADB的一个三等分点，
∴∠AOE＝60°或120°，
当∠AOE＝60°时，
S△AOE＝AE•OEsin60°＝×4×4×＝4．
S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣4＝﹣4．
当∠AOE＝120°时，过点O作OH⊥AE于点H，则AE＝4，OH＝2．
S△AOE＝AE•OH＝×4×2＝4．
S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣4＝﹣4．
综上所述，阴影部分的面积是﹣4或﹣4．
【点评】本题考查了圆的切线性质及应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及扇形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠COB＝60°，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠D＝30°，根据直角三角形的性质得到OC＝OD，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到OC＝CD＝3，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，
理由：连接OC，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵CD是⊙O的切线；
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝BD，
故答案为：①②，③；
（2）在Rt△OCD中，
∵CD＝3，∠COD＝60°，
∴OC＝CD＝3，
∴的长度为＝π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD 是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）求出∠DAC＝∠CAO，∠OCA＝∠CAO，推出∠DAC＝∠OCA，得出OC∥AD，求出OC⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BC，OF，过点O作OM⊥AF，垂足为F，先证得△OAF为等边三角形，得到半径的长，然后利用扇形面积公式与三角形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CF，
∴OC⊥CF，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，OF，过点O作OM⊥AF，垂足为F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，
∴＝，
∵AC＝2，
∴BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝OF＝2，
∵AC平分∠EAB，∠CAB＝30°，
∴∠OAF＝60°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠FOM＝30°，AF＝OA＝2，
∴OM＝，
∴阴影部分的面积＝﹣＝﹣2×＝﹣．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积公式等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到BC⊥OA，根据平行线的性质得到AD⊥OA，由切线的性质即可得到结论；
（2）如图，设OA与BC交于E，根据平行四边形的性质得到AC∥OD，求得∠C＝∠CBO，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得∠ABC＝∠CBO，推出△ABO是等边三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形；
∴AB＝AC，
∴BC⊥OA，
∵AD∥BC，
∴AD⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如图，设OA与BC交于E，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴AC∥OD，BC＝AD＝4，
∴∠C＝∠CBO，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵OA⊥BC，
∴BA＝BO，
∵AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵AB＝AC，BC⊥OA，
∴BE＝BC＝2，
在Rt△BOE中，
OB＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
一十五．弦切角定理（共1小题）
35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】本题首先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
【点评】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理．
一十六．切线长定理（共2小题）
36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r＝，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S＝，
又∵r＝，
∴a+b＝2r+c，
∴直角三角形的面积是r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故答案是：．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键
37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 14 ．
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
一十七．切割线定理（共1小题）
38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ）
A．6 B．2 C．2 D．2
【分析】延长AO交⊙O于B，由切割线定理可得PC2＝PA•PB，进而求出PC的长．
【解答】解：延长AO交⊙O于B，
则AB＝2OA＝10；
由切割线定理得：PC2＝PA•PB；
则有：PC2＝4×（10+4）＝56，
解得：PC＝2；
故选：D．
【点评】此题主要考查的是切割线定理的应用．
一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）
39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【点评】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大．
一十九．正多边形和圆（共2小题）
40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ 18 ．
【分析】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．
【解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：，
则∠ECF＝×，∠AEC＝，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴×+＝30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．
二十．弧长的计算（共4小题）
42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得的长度．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如右图所示，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，
∵OB＝OC，BC＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝2，
∴的长度为：＝π，
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数．
43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．
（1）求的长；
（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．
【分析】（1）连接AC，OC，OB，求出AF＝AC，根据等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠EAF＝25°，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式求出答案即可；
（2）连接OA，OC，OB，BC，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBC，求出∠OBA＝∠OAB＝20°，求出∠AOB，再根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：（1）连接AC，OC，OB，
∵AB⊥CD，EF＝EC，
∴AF＝AC，
∴∠CAE＝∠EAF，
∵∠EAF＝25°，
∴∠CAE＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAE＝50°，
∴的长为＝；
（2）连接OA，OC，OB，BC，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
由（1）知：∠BOC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠AMB＝AOB＝70°．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，根据三角形内角和定理求出答案即可；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据圆周角定理求出∠BOC，求出∠BOD，解直角三角形求出OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴由圆周角定理得：∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°；
（2）连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
∵OD⊥BC于点D，OB＝OC，
∴∠BOD＝BOC＝60°，
BD＝BC＝＝3，
∵Rt△BOD中，，
∴，
∴的长＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
二十一．扇形面积的计算（共1小题）
46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和扇形面积公式可求解．
【解答】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵：＝3：1，
∴∠AOB＝80°
设扇形的半径为r，
∴＝，
∴r＝4（负值已舍去），
∴＝＝π．
故选：C．
【点评】本题运用了弧长公式弧长公式和扇形面积公式，轴对称的性质，关键是熟记弧长公式和扇形面积公式．
二十二．圆锥的计算（共2小题）
47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】求出接下来的一个四分之一圆的弧长，再根据圆周长计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据规律可知，接下来的一个四分之一圆的半径为8，
半径为8，圆心角为90°的弧长为＝4π，
设圆锥的底面半径为r，由题意得，
2πr＝4π，
解得r＝2，
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的计算以及数字变化类，求出“接下来的一个四分之一圆的弧长”是解决问题的关键．
48．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A．2π B． C．4π D．π
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长＝＝2，
所以圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二十三．圆柱的计算（共2小题）
49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
50．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是 20πcm2 ．
【分析】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．
【解答】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案为20πcm2．
【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
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