【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册——专题03 圆锥曲线的方程、图像与性质（专题过关）

专题03   圆锥曲线的方程、图像与性质（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·陕西·渭南高级中学高二期中（文））抛物线的焦点坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

将抛物线方程化为标准方程即可求解﹒

【详解】

，则焦点坐标为﹒

故选：C﹒

2．（2021·陕西·西安高级中学高二期中（理））已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案.

【详解】

解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，

所以，

且，则，

则，

因为，所以，

所以，

即.

故选：B.

3．（云南省昆明市2022届高三摸底考试数学（理）试题）双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由题意得到，分别用圆的方程和双曲线的方程及渐近线，联立方程组，求得的坐标，结合，求得，进而求得双曲线的方程.

【详解】

由题意，双曲线的焦距为4，

可得，即，即，

又由双曲线的一条渐近线方程为，

联立方程组，整理得，即，可得，

又由方程组，整理得，

即，可得，

因为点的纵坐标是点纵坐标的2倍，可得，解得，

所以，

所以双曲线的方程为.

故选：D.

4．（2021·广东·佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

已知焦点坐标，半长轴的长求椭圆标准方程，直接待定系数法求解方程.

【详解】

因为焦点坐标为和，焦点在x轴，所以，椭圆经过点，所以又因椭圆， 所以.

故选：A.

5．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上的点，若满足的点P恰有2个，则内切圆半径的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据给定条件求出椭圆C的方程，再借助三角形面积即可求出内切圆半径的最大值.

【详解】

满足的点A在以线段为弦，所含圆周角为的两段圆弧上(不含弧的端点) ，圆弧在直线两侧， 如图，

因P是椭圆上的点，且满足的点P恰有2个，则上述每段圆弧与椭圆仅只一个公共点，

而椭圆上的点到中心O距离最小的点是短轴端点，于是得圆弧与椭圆的公共点是短轴端点，

因此，短轴的一个端点与二焦点、围成正三角形，又，则有短半轴长，，

于是得椭圆C的方程为，，设内切圆半径为r，

从而得面积，设点P的纵坐标为，

则有，当且仅当点P为短轴端点时取“=”，

于是得，即，

所以内切圆半径的最大值为.

故选：A

6．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知是双曲线（）的右焦点，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由点在双曲线上，求出，再求点的坐标，根据数量积定义求，再求其最小值.

【详解】

∵ 点在双曲线上，

∴ ，又

∴ ，

∴ 双曲线的方程为，

∵ 是双曲线（）的右焦点，

∴ 点的坐标为，

∴ 直线的方程为，

∴ 点的坐标为，

∴ 点为线段的中点，

∴  ,

∴ ，又，

∴ ，

∵ 为双曲线左支上的动点，由双曲线的性质可得，

∴ ，

∴ 的最小值为-40，

故选：B.

7．（2021·福建·福州三中模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

作出图形，结合双曲线的定义，，则，

所以，进而解出和的值，再由 即可得渐近线方程.

【详解】

因为双曲线的实轴长为，所以，

由双曲线的定义可得：，则，

所以，

当且仅当三点共线时取等号，

如图，与渐近线垂直时，取得最小值，

因为，所以，可得，

所以双曲线的渐近线方程为：，

故选：D.

8．（2021·北京·北科大附中高二期末）双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求出、的值，可求得双曲线的渐近线方程.

【详解】

在双曲线中，，因此，该双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9．（2021·江苏丹阳·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】

根据题意，结合抛物线，椭圆，圆的性质，依次讨论求解即可.

【详解】

解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件；

对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足；

对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件；

对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件.

故选：AC

10．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线：，则（    ）

A．时，则的焦点是，

B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为

D．存在，使表示圆

【答案】ABD

【分析】

AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.

【详解】

当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确

故选：ABD

11．（2021·辽宁沈阳·高二阶段练习）过双曲线的右焦点,作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率可能为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】

分析点、点在点同侧还是两侧，结合二倍角公式即可求出离心率.

【详解】

由题意可知：右焦点，则到渐近线的距离为，

①、当点、点在点同侧时，图像如下：

，，点是点、点中点，,

，，，故双曲线的离心率可能为2；

②、当点、点在点两侧时，图像如下：

，，，,

在中，，

，，，

故双曲线的离心率可能为；

综上所述：双曲线的离心率可能为或.

故选：AC

12．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）已知双曲线的两个顶点分别是，，两个焦点分别是，.是双曲线上异于，的任意一点，则有（    ）

A．

B．直线，的斜率之积等于

C．使得为等腰三角形的点有8个

D．若，则

【答案】BCD

【分析】

根据双曲线定义，结合双曲线的几何性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断并选择.

【详解】

设点，

A：不妨取点满足双曲线方程，

此时：，故错误；

B：，又因为，

代入可得：，故正确；

C：分别以为圆心，以为半径作圆，与双曲线交于个点，如下所示：

故使得为等腰三角形的点有8个，正确；

D：因为，故可得，解得：；

又，正确；

综上所述，正确的选项是：.

故选：.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·海南·北京师范大学海口附属学校高二阶段练习）已知某等轴双曲线过点，则该双曲线的标准方程为___________．

【答案】

【分析】

等轴双曲线可以设为，代入点即可求双曲线标准方程﹒

【详解】

设等轴双曲线为，∵双曲线过点，∴λ＝－1，

∴双曲线标准方程为﹒

故答案为：﹒

14．（2021·上海徐汇·高二期末）抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，则实数________________．

【答案】

【分析】

根据焦半径公式，可求出，从而得到抛物线方程，把点代入抛物线方程即可求出的值.

【详解】

由题意可知抛物线的焦点在轴上，且，

因为抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，

所以根据焦半径公式，得，所以，即，

因为点到抛物线上，所以，所以.

故答案为：.

15．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么椭圆的离心率为______．

【答案】##

【分析】

先求得，然后求得圆的圆心和半径，进而求得椭圆的离心率.

【详解】

由于方程表示圆，所以，

即圆的方程是，

圆心为，半径为，

所以.

故答案为：

16．（2021·福建·泉州科技中学高二期中）已知点分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于点在点的上方两点，且，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】

【分析】

根据图像，结合双曲线的定义和已知条件求出a和c的关系即可﹒

【详解】

设，则

①当均在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可知，

，∴，∴，

∴，∴

在中，由勾股定理可得，∴．

②当点在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知，

，∴，

∴，

∴，∴

在中，由勾股定理可得，

，∴．

故答案为或．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·河北省唐县第一中学高二期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求.

【答案】

（1），曲线是一个双曲线，除去左右顶点

（2）

【分析】

（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；

（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.

（1）

解：设，则的斜率分别为，，

由已知得，

化简得，

即曲线C的方程为，

曲线是一个双曲线，除去左右顶点.

（2）

解：联立消去整理得，

设，，则，

.

18．（2021·江苏·盐城中学高二阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】

（1）结合圆的切线性质分析可以得到点在轴上，且，得到b的值，进而求得椭圆的方程；

（2）先判定直线l的斜率必然存在，然后，设斜率为k,写出直线l的方程，联立方程组，利用韦达定理求得P的坐标，代入椭圆的方程，求得斜率k的值，进而得到直线l的方程.

【详解】

（1）如图所示，由已知得,,不妨设在轴上方，因为圆的圆心为原点，半径为1，所以切线斜率为1，点在轴上，且，所以椭圆中心在原点，,所以，所以椭圆C的方程为；

（2）当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，A,B关于x轴对称，此时，而显然不在椭圆C上；

于是可设直线l的方程为，
代入椭圆C的方程，消去y并整理得：,
，

设点，，则．
则
，则点，
又点在椭圆上， 则有，
整理得，解得，
所以椭圆上存在点，使得，
此时直线的方程为，即或.

19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由，结合可得解；

（2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解.

【详解】

（1）依题意得：，．

由椭圆定义知，

又，则，

在中，，由余弦定理得：

即，解得

又

故所求椭圆方程为

（2）设，直线

联立方程组，得，

，得，

，，

，

由题意知，由，，代入化简得

，

故直线过定点，

由，解得，

，

令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．

20．（2020·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求面积的最大值.

【答案】

（1）；

（2）.

【分析】

（1）由已知可得椭圆的右焦点为，上顶点为， 可得，可求椭圆标准方程．

（2）设，直线的方程为，并与椭圆方程联立利用韦达定理得到，又，求得的最大值，即可得结果.

（1）

椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，

椭圆的右焦点为，上顶点为，

故，

∴所求椭圆标准方程为．

（2）

设，

直线的方程为

联立得：，

，

即，

,

，

令，

函数在上为增函数，

故当，即时，，

此时三角形的面积取得最大值为.

21．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；

（3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.

【答案】

（1）；

（2）；

（3）定值0，证明见解析.

【分析】

(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解.

(2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得.

(3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答.

（1）

因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：，

于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是，

则有，

所以双曲线C的方程为.

（2）

依题意，设点，则，即，

，当时，，此时，

点M到直线DP：的距离为，而，如图，

四边形ODMP的面积，

所以四边形ODMP的面积为.

（3）

显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：，

当时，恒成立，设，

则有，，

因此，，

所以为定值0.

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．（2021·江苏徐州·高二期中）已知圆，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．

（1）若点满足，求点的轨迹方程；

（2）若过点且斜率分别为的两条直线与（1）中的轨迹分别交于点、，、，并满足，求的值．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）利用相关点法直接求轨迹方程；

（2）设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，同理可得，化简可得的值.

（1）

解：设M的坐标为，P的坐标为，则

又点在圆O上，即，

亦即，化简得：．

（2）

解：设，所在的直线方程为：，联立得：，消去得：

则

同理：

由可得：，

化简：，又，故：，即：．

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．