





【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册——专题04 圆锥曲线的综合应用(专题过关)
展开专题04 圆锥曲线的综合应用(专题过关)
考试时间:90分钟 满分:120分
1.(2020·全国·高考真题(理))已知A、B分别为椭圆E:(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
2.(2018·全国·高考真题(理))设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:.
3.(2017·全国·高考真题(理))已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
4.(2019·全国·高考真题(理))已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.
(i)证明:是直角三角形;
(ii)求面积的最大值.
5.(2018·北京·高考真题(理))已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.
6.(2021·全国·高考真题)在平面直角坐标系中,已知点、,点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)设点在直线上,过的两条直线分别交于、两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.
7.(2018·天津·高考真题(理))设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ,求k的值.
8.(2019·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末(文))已知椭圆的标准方程为,该椭圆经过点,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦.若弦的中点分别为,证明:直线恒过定点.
9.(2021·全国·高三专题练习)如图,已知圆:,点是圆内一个定点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线与曲线相交于两点(点在两点之间).是否存在直线使得?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
10.(2021·全国·高三课时练习)已知椭圆的离心率,且椭圆过点
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与交于、两点,点在椭圆上,是坐标原点,若,判定四边形的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
11.(2020·全国·高三专题练习)已知椭圆的离心率为,椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于两个相异点,证明:面积为定值.
12.(2015·陕西·高考真题(文))如图,椭圆经过点,且离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同两点(均异于点),
问:直线与的斜率之和是否为定值?若是,求出此定值;若否,说明理由.
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