【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一、二册——期末模拟测试卷（B 能力卷）

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2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷（B卷 能力版）

高二数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教A版2019 必修1（新教材）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若直线与直线平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.

【详解】

由于直线与直线平行，则，解得.

故选：D.

2．已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案.

【详解】

因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点，

所以在中，，

同理，在中，，

所以.

故选：.

3．等差数列中，已知，，则公差等于

A．3 B．-6 C．4 D．-3

【答案】B

【分析】

利用等差数列的性质，即能求出公差.

【详解】

由等差数列的性质，得，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的公差的求法，是基础题.

4．下列各式正确的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据导数公式判定即可.

【详解】

解：根据导数公式有，A正确，，B错误，

，C错误，，D错误.

故选：A.

5．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的，则抛物线方程可求.

【详解】

双曲线的渐近线方程是，即.

因为抛物线的焦点到渐近线的距离为2，

则，即，所以的标准方程是，

故选：D．

【点睛】

方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：

已知双曲线方程或，求解其渐近线方程只需要将方程中的“”变为“”，由此得到的关于的一次方程即为渐近线方程.

6．在三棱锥中，M是的中点，P是的重心．设，，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

取的中点D，连接，，，根据向量的加法可得，再由向量的线性运算可得选项.

【详解】

解：如图，取的中点D，连接，，.在中，

.

故选：C.

7．在等比数列中，，，则公比的值为（    ）

A． B．或1 C．－1 D．或－1

【答案】B

【分析】

把已知条件用和公比表示后求解．

【详解】

由题意，解得或．

故选：B．

【点睛】

本题考查求等比数列的公比，解题方法是基本量法．属于基础题．

8．已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，设点、，则直线的方程可表示为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出正数的值，即可求得的值.

【详解】

设，设点、，则直线的方程可表示为，

联立，整理得，，，解得.

由韦达定理可得，，

由得，即，，

，可得，则，

，解得，因此，.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当，曲线为椭圆

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件

D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线

【答案】BCD

【分析】

根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可.

【详解】

对A，若，则曲线方程表示圆，故A错误；

对B，当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；

对C，要使曲线为双曲线，需满足，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C正确；

对D，若离心率为，则，则可得，则或，两个方程均无解，故D正确.

故选：BCD.

10．已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ）

A． B．的最大值为

C．存在点，使 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】

对于选项 由椭圆的定义可得选项正确；

对于选项由椭圆的性质可知，故选项正确；

对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，所以，即，故选项错误；

对于选项设，则，当时，，故选项正确，

【详解】

对于选项由题设可得：，，

由椭圆的定义可得：，故选项正确；

对于选项由椭圆的性质可知：（当为椭圆的右顶点时取““，故选项正确；

对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，所以，即，故选项错误；

对于选项设，则，当时，，故选项正确，

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.

（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.

（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.

（5）利用数形结合分析解答.

11．若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（    ）

A．数列是等差数列 B．

C．数列的前项和为 D．数列的前项和为，则

【答案】BD

【分析】

根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.

【详解】

当时，，

当时，由，得，

两式相减得：，

又，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以，，数列的前项和为，

则，

所以，

所以 ，

故选：BD

【点睛】

方法点睛：求数列的前n项和的方法

(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

12．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ）

A．准线的方程是

B．的最大值为2

C．的最小值为5

D．以线段为直径的圆与轴相切

【答案】ACD

【分析】

根据抛物线的方程和定义进行判断即可.

【详解】

因为抛物线的方程为，所以，则准线的方程是，因此选项A正确；

因为焦点，则，当点在线段上时取等号，所以的最大值为，因此选项B是错误的；

过点，分别作准线的垂线，垂足为，，则，当点在线段上时取等号，所以的最小值为5，因此本选项正确；

设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，因此本选项正确.

故选：ACD．

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在点处的切线方程是___________.

【答案】.

【分析】

对函数求导，将切点横坐标代入导函数进而得到切线的斜率，最后根据点斜式写出切线方程化简即可.

【详解】

由题意，，所以，所以切线方程为：.

故答案为：.

14．若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】

设点为曲线上任意一点，求出函数的导函数，即可求出切线方程，由切线不经过点，即可得到方程无实根，利用根的判别式求出参数的取值范围；

【详解】

解：设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在点处的切线的方程为.

据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，所以，解得，所以的取值范围是.

故答案为：

15．设双曲线的右焦点为，点在的右支上，为坐标原点，若存在点，使，且，则双曲线的离心率为___________．

【答案】2

【分析】

在焦点三角形中由余弦定理求得关系，再求离心率.

【详解】

设双曲线的左焦点为，在中，，，.

由余弦定理 ，得.

故答案为：2

【点晴】

求离心率的关键是得的关系，本题是由余弦定理得出.

16．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的最大值是___________.

【答案】

【分析】

结合平面几何性质得到，进而结合勾股定理求得，然后根据直线与圆有公共点得到，从而得到的齐次式，进而解不等式即可求出结果.

【详解】

过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以，故离心率的最大值为，

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

【详解】

（1）证明：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，所以，所以．

（2），则，又，

，所以异面直线与所成角的余弦值是．

考点：空间向量的坐标运算，垂直的证明，异面直线所成角．

18．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，且椭圆截直线所得弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；

（3）试问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3），定值

【分析】

（1）由题意得，求出，即可得到椭圆的方程；

（2）设出直线方程，然后与椭圆方程联立，进而用表示出点横坐标，然后求范围即可；

（3）假设存在点，然后设出坐标，借助第二问的韦达定理所得结论，表示，然后利用恒成立思想即可求出定值与定点.

【详解】

解：（1）由题意椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆方程为

（2）设直线的方程为，

由，

消去整理得，

设点的中点，

则，

所以，

的垂直平分线的方程为，

令得，

因为，

所以，

所以点的横坐标的取值范围为.

（3）假设存在，设.

结合第（2）问知：，

所以

所以

设

则对任意恒成立，

所以，

解得，

所以存在点，使得为定值

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上顶点，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同两点，，已知，，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）利用三角形的面积，结合离心率，求出，，即可得到椭圆方程．

（2）由，消去整理得：，设，，，，利用韦达定理，又设中点的坐标为，，求出的坐标，通过，说明垂直推出，然后求解的取值范围．

【详解】

（1）解：由题意，，

又，，解得，，

∴椭圆的方程为．

（2）由，消去整理得，

设，，则，

由，

又设中点的坐标为，

∴，，

即．

∵，∴，即，

∴，∴，解得．

∴的取值范围．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．

20．设是等差数列，是等比数列．已知．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求．

【答案】（1）；；（2）

【分析】

（1）由题意列出关于公差和公比的方程组，求解即可得出通项公式.

（2）根据错位相减法即可求出数列的和.

【详解】

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

依题意，得

又因为公比不等于0，

解得

故，.

所以的通项公式为，的通项公式为.

（2）由（1）知，

记的前n项和为，则

记，①

则，②

①−②得，，

,

所以.

21．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.

【详解】

试题分析：（1）求导：，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：，令，只需证（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知时在（0，1）上恒成立，只需证明当时，在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了．

试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：

（2），结论成立

（3）由（2）知时在（0，1）上恒成立

当时，令则

当时，，即当时，在（0，1）上不恒成立

k的最大值为2．

考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值

【名师点睛】

导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．

22．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在点，使得为定值.

【分析】

（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；

（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.

【详解】

（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.

设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.

因为圆过点，则，于是，

所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.

因为，则，又，则，所以曲线的方程是.

（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，

即.

设点，，则，.

设点，则，，

.

若为定值，则，解得，此时为定值.

当直线与轴重合时，点，.对于点，则．

，此时.

综上分析，存在点，使得为定值.

【点晴】

方法点睛：求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；

（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；

（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；

（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；

（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.