【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一、二册——期末模拟测试卷（C 巅峰卷）

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2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷（C卷 巅峰版）
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019 必修1（新教材）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列通项公式可求得，由可得结果.
【详解】
设等差数列的公差为，则，.
故选：D.
2．双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点位置，进而由其渐近线方程计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，双曲线的方程为1，
其焦点在y轴上，且a＝2，b＝2，
则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.
【详解】
由圆的方程知其圆心为，半径；
圆心到直线的距离，
所求弦长为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.
4．过点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意设出垂线方程，代入点求解出的值，则垂线的方程可求.
【详解】
设垂线方程为，因为垂线过点，
所以，所以，
所以垂线方程为，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：已知直线，与其垂直的直线可设为，与其平行的直线可设为.
5．圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
【答案】A
【分析】
设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为, 圆的圆心为,则，根据椭圆得定义可得答案.
【详解】
设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为, 半径为1；
圆的圆心为,，半径为3.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是椭圆.
故选：A
【点睛】
关键点睛：根据题意得出， ，进而利用椭圆的定义求解得，
，属于简单题
6．若f′(x0)＝－3，则等于(　　)
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
【答案】D
【分析】
由于f′(x0)＝＝－3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成
利用＝
即可求解.
【详解】
f′(x0)＝＝－3，
＝
＝
＝
＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.
答案：D
【点睛】
本题主要考察导数的定义和极限的运算，本题的难点在于要把极限化成导数定义的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.
7．已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图所示，设是中点，推理得到，再证明，再根据椭圆的定义得解.
【详解】

如图所示，设是中点，则,,
因为，
所以,
所以，
因为，所以.
由椭圆的定义得
所以.
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是看到联想到平行四边形法则，取的中点，后面就迎刃而解了.数学的观察和想象是非常重要的，遇到数学问题，要展开丰富的数学想象.
8．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得定义域为R，令，，
则，即是奇函数，

，显然是偶函数，
，
所以有2.
故选：A
二、 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
9．满足下列条件的数列是递增数列的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据与的大小关系判断是否为递增数列.
【详解】
A．因为，所以是递减数列；
B．因为，所以是递增数列；
C．因为，所以是递减数列；
D．因为，所以是递增数列；
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：已知数列，根据与的大小关系判断的单调性：
（1）若，则为递增数列；
（2）若，则为递减数列；
（3）若，则为常数列.
10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，P分别是线段C1D1，线段C1C，线段A1B上的动点，且MC1=NC1≠0，则下列说法正确的有（ ）

A．三棱锥P-BB1M的体积为定值 B．异面直线MN与BC1所成的角为60°
C．AP+PC1的长的最小值为 D．点B1到平面BCD1的距离为.
【答案】BC
【分析】
利用等体积法通过计算体积和求解点到面的距离判断AD错误；通过平行找到异面角判断B正确；通过分别求最小距离且取等号条件成立判断C正确.
【详解】
选项A中，，而的底边AB=2，底边上的高不确定，故不确定，故体积不是定值，故A错误；
选项B中，依题意MC1=NC1≠0，故，故异面直线MN与BC1所成的角，

即异面直线与BC1所成的角，而是等边三角形，故，故B正确；
选项C中，，P是上的点，则P为中点时最小，为，而，故P是的中点时最小，为，综上P是的中点时，AP+PC1的长的最小值为，故正确；
选项D中，，
故点B1到平面BCD1的距离为h，则，解得，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
空间中计算点到平面的距离的方法：
（1）定义法：直接作平面的垂线，并直接计算；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离；
（3）向量法：利用斜线方向向量在平面法向量上投影进行计算.
11．已知椭圆的焦距为4，则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．椭圆C的长轴长是短轴长的倍
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上的点到其一个焦点的最大距离为
【答案】BC
【分析】
根据条件先求解出的值，然后逐项判断焦点位置、长轴长和短轴长的数量关系、离心率以及椭圆上的点到焦点的最大距离.
【详解】
因为，所以，所以焦点在轴上，故A错误；
又因为焦距为，所以，所以，所以，
所以长轴长，短轴长，所以，故B正确；
因为，所以离心率，故C正确；
因为椭圆方程，取一个焦点，设椭圆上的点，
所以，
又因为，当时取最大值，所以，故D错误；
故选：BC.
【点睛】
结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：
（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；
（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.
(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)
12．如图，在长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则（ ）

A．是单位向量
B．是平面的一个法向量
C．直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】
根据向量模长的坐标运算可求得，知A正确；
利用向量数量积的坐标运算可证得，，由此可知B正确；
利用异面直线所成角的向量求法可求得所求余弦值为，知C错误；
利用点到面距离的向量求法可求得所求距离，知D正确.
【详解】
对于A，，，，
，为单位向量，A正确；
对于B，，，，
，，
，即，，平面，
是平面的一个法向量，B正确；
对于C，，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为，C错误；
对于D，，，，
由B知：为平面的一个法向量，
点到平面的距离，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：向量法求解点到平面的距离的步骤如下：
（1）求解得到平面的法向量；
（2）在平面内任取一点，得到；
（3）利用公式即可求得点到平面的距离.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设等比数列的前n项和为，若，，则______.
【答案】或.
【分析】
将转化为用首项和公比表示并求解出的值，则根据可求出结果.
【详解】
设等比数列公比为，因为，
当时，，且，所以显然不成立，
当时，则有，所以，所以，
若，即，所以；
若，即，所以，
故答案为：或.
【点睛】
易错点睛：根据等比数列的前项和求解基本量时，不能直接利用公式进行计算，要注意分析公比是否为.
14．已知为平面的一个法向量， 为直线的一个方向向量，若，则_________．
【答案】
【分析】
根据可得，由可求.
【详解】
，，
，解得.
故答案为：.
15．抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又已知点,则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，可得，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．
【详解】
解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，
根据抛物线的对称性，只考虑点在x轴上方的情况.

∵抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），点A（﹣2，0）
∴，
设过A抛物线的切线方程为y＝k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，
∴△＝（4k2﹣8）2﹣16k4＝0，
∴k＝±1，
易知：
∴∈[．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．双曲线的左、右焦点分别为和，若双曲线上存在一点M，使得是等腰三角形也是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】
根据已知条件先分析出相等的两条边以及哪个角为钝角，根据双曲线定义则三条边都可知，利用钝角的余弦值小于得到关于的齐次不等式，由此求解出离心率的取值范围.
【详解】
不妨设在双曲线的右支上，因为是等腰三角形，所以或，
当时，因为，所以，
所以，所以不是钝角三角形，故不符合；
当时，因为是等腰三角形也是钝角三角形，
所以，所以，
所以，所以，所以且，
所以，所以离心率的取值范围是，
故答案为：.

【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于对等腰的边和角的分析并通过分类讨论的方法确定出，然后再结合双曲线的定义以及钝角余弦值的特点，通过构造关于的齐次不等式去求解问题.




四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知是公差不为的等差数列，，且依次成等比数列.
（I）求的通项公式；
（II）设的前项和为，求的最小值.
【答案】（I）；（II）.
【分析】
（I）由等比数列定义可构造方程求得等差数列的公差，由等差数列通项公式可求得结果；
（II）利用等差数列求和公式可求得，结合二次函数的性质可求得结果.
【详解】
（I）设等差数列公差为，
依次成等比数列，，，
即，解得：，
；
（II）由（I）得：；
；
，当或时，.
【点睛】
易错点睛：本题考查等差数列前项和的最值的求解问题，易错点是忽略的限制，造成最值求解错误.
18．已知条件：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”，条件：“曲线：表示双曲线”，其中．
（1）若条件成立，求的取值范围；
（2）若条件，都成立且是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由于曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以，从而可求出的取值范围；
（2）由曲线表示双曲线，可得，从而求出的取值范围，再由是的必要不充分条件，可得Ü，从而可求出的取值范围
【详解】
解：（1）若条件成立，则，
解得，即的取值范围；
（2）若条件成立，则，解得，
由是的必要不充分条件，则可得Ü，
即，且等号不同时成立，解得，
即的取值范围为．
19．如图，正方体的棱长为，为线段的中点，为棱的中点，

（1）证明：平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）计算出点到平面的距离以及四边形的面积，利用锥体的体积公式可求得多面体的体积.
【详解】
（1）取的中点，连接、，
、分别为、的中点，且，
在正方体中，且，
为的中点，且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；

（2）连接交于点，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，
所以，多面体即四棱锥，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，，
为的中点，所以，点到平面的距离为，
平面，平面，，
所以，矩形的面积为.
因此，多面体的体积为.
【点睛】
方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
20．已知函数
(1)求的单调减区间
(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.
【答案】(1) （－∞，－1），（3，＋∞）(2)-7
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（﹣2）．
因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，
因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．
故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，
即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．
21．如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【分析】
以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果.
【详解】
以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

设正方体棱长为
则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，
设平面的法向量
，令，则，
，解得：
棱上存在点，满足，使得平面
【点睛】
本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量.
22．已知椭圆的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，过右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，过点作，垂足为．
①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析，；②15.
【分析】
（1）根据题意可得，，，解得，即，，，进而可得椭圆的方程．
（2）①由题意得，设直线，设，，，，，联立直线与椭圆的方程，
由韦达定理可得，，且，写出直线方程，再令，即可得出答案．
②由①可得判别式△，，令，化简结合函数单调性即可得出答案．
【详解】
（1）椭圆的长轴长为8，
左焦点到直线的距离


椭圆的方程
（2）由对称性，若直线过定点，则该定点必在轴上，
①由题得，设直线，设
联立方程得（*）
所以有，且
因为，所以直线的方程为
，得（**）
将代入（**），则
故直线过定点，即定点为．
②在（*）中，
所以又直线过定点
故，
令，则在上单调递减，故当时，．