【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题01 集合与常用的逻辑用语（知识梳理）

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专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理）
知识网络

重难点突破
知识点一 集合的概念
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
例1、(1)（2021·甘肃兰州·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合
D．这六个数能组成一个集合
【答案】C
【分析】
根据集合的性质，结合各选项的描述判断正误.
【详解】
A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
C：和中的元素相同，它们是同一个集合，正确；
D：中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误.
故选：C
(2)．（2021·安徽·亳州二中高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．是不大于3的正整数组成的集合
C．集合和表示同一集合
D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
【答案】BC
【分析】
根据集合的元素的特征逐一判断即可.
【详解】
我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
是不大于3的正整数组成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有6个元素；
故选：BC
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）下列给出的对象能构成集合的是（ ）
A．平面直角坐标系内y轴附近的点 B．26个英文字母
C．新华书店中有意义的小说 D．的近似值
【答案】B
【分析】
根据集合的确定性得到答案.
【详解】
选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；选项B中的26个英文字母能构成集合，
故选：B.
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一课时练习）下列关于集合的说法正确的有（ ）
①很小的整数可以构成集合；
②集合与集合是同一个集合；
③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
根据集合的定义判断．
【详解】
很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．
集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．
1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．
故选：A．
例2、(1)（2021·全国·高一课时练习）已知，则实数______．
【答案】，或
【分析】
根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果.
【详解】
因为，
（1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；
（2），解得或；
（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；
综上可知，实数a的取值可以为或或；
故答案为：，或
(2)．（2021·全国·高一课时练习）设集合，且，则实数_______.
【答案】－4
【分析】
－5∈A，则－5是方程的根，代入方程即可解得a的值﹒
【详解】
∵集合，
解得：，故答案为：－4
【变式训练2-1】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）若，则 ．
【答案】．
【解析】由题意可知：或，故.
当时，不满足元素的互异性，故舍去；当时，符合题意.
【变式训练2-2】、（2021·江苏高邮·高一期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【答案】
【分析】
依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得；
【详解】
因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
知识点二 集合间的关系
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A ÜB

集合
相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B

(1)空集φ：任何集合的子集
(2)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
例3．(1)．（2021·全国·高一课时练习）在“､､､､=”中，选择最合适的符号填空：已知，，，则M___________N，M___________P，N___________P.
【答案】¬ ¬ =
【详解】
集合．
对于集合：
(1)当是偶数时，令，则；
(2)当是奇数时，令，则
从而，得．
对于集合：
(1)当时，
(2)当时，
从而，得．
综上，．
故答案为：①¬；②¬；③＝
（2）．（2021·北京医学院附属中学高一月考）已知，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由集合的包含关系直接求解即可．
【详解】
因为，，，
所以．
故选：A
（3）．（2021·山东省临沂第一中学高一期中）满足的集合M共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
【答案】B
【分析】
根据子集，真子集的关系，一一列举即可.
【详解】
，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.
故选：B.
【变式训练3-1】、（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知集合，集合Ü，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
因为集合，
对于A：满足Ü，所以选项A符合题意；
对于B：满足Ü，所以选项B符合题意；
对于C：满足Ü，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
【变式训练3-2】、（2021·安徽·合肥市第八中学高三月考（文））设集合，若，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简得，由再结合集合的互异性即可求解.
【详解】
，又，，则实数a的取值集合为，时不满足集合的互异性.
故选：C

【变式训练3-3】、（2019·浙江省温州中学高一月考）已知集合，若，则______；的子集有______个.
【答案】0或 8
【解析】∵集合，，∴或，解得或.
的子集有个.故答案为：0或，8.
知识点三 集合的基本运算
3．集合间的基本运算
如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 ，全集通常用字母 表示；

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形



符号
A∪B＝
A∩B＝
∁UA＝
(1)．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
(2)．奇数集：.
(3). 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
例4．（1）（2021·四川泸州·模拟预测（理））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简集合,再利用交集的定义求解.
【详解】
解：由题得，
所以.
故选：C
（2）．（2021·湖北·高三期中）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据集合的运算求出，然后根据交集的概念即可求出答案.
【详解】
因为，所以或，
又因为，所以.
故选：B.
【变式训练4-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
由题意得，,,∴,故选C.
【变式训练4-2】、（2021·海南二中高一月考）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
计算，A错误，，B正确，，C正确，，D错误，得到答案.
【详解】
，A错误；
，，B正确；
，C正确；
，D错误.
故选：BC.
例5、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】 （1）；（2）.
【解析】
（1）集合.又，由可知：且.
解得，满足条件.
（2）法1：，.要使得，且解得，
实数的取值范围为.
法2：由，，且，即实数的取值范围为.
【变式训练5-1】、（2021·四川·射洪中学高一月考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用交集的定义直接求解即可，
（2）由可得，然后分和两种情况求解即可
（1）
当时，，
因为 ，
所以
（2）
因为，所以，
当时，，得，此时满足，
当时，由，得，解得，
综上，，即实数m的取值范围为
例6．（2021·辽宁葫芦岛·高一月考）已知全集，集合，.
（1）求；
（2）写出的所有非空真子集.
【答案】
（1）
（2），，，，，
【分析】
（1）根据题意求出集合，然后结合并集的概念即可求出结果；
（2）根据集合间的基本运算求出，进而根据非空真子集的概念即可求出结果.
（1）
由题意得，，故.
（2）
由题意得，，
故的所有非空真子集为，，，，，.
【变式训练6-1】、（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）若集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）解不等式求出集合，，再进行交集运算即可求解；
（2）解不等式求集合，根据并集的结果，列不等式即可求解.
（1）
解：，
，
.
（2）
解：，
或，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
知识点四 充分条件与必要条件
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
2、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
例7、（1）（河南省顶级中学2022-2023学年高一上学期12月联考数学试题）已知集合，，若是的必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用若是的必要条件，则必有是的真子集，进而可求解.
【详解】
由，
，，
若是的必要条件，则必有是的子集；
，；
故选：B.
（2）．（2021·全国·高一单元测试）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】
直接根据必要性和充分性的定义判断得到答案.
【详解】
“攻破楼兰”不一定会返回家乡，不充分；
“返回家乡”了一定是在攻破楼兰的前提下，必要.
故选：B.
【变式训练7-1】、（2021·浙江·高一期中）设，则“”是“”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
首先解分式不等式即可得到，即可判断；
【详解】
解：因为，且，所以，即，即，所以“”是“”成立的充要条件.
故选：A
【变式训练7-2】、（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据必要不充分条件得，即可求解．
【详解】
由题意得，且，
故选：D．
例8、（2021·广东·仁化县第一中学高一月考）已知集合A＝{x|m—1＜x＜m2+1}，B＝{x|—2＜x＜2}．
（1）当m＝2时，求A∪B，A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）求出，再由交集与并集的定义的求解即可；
（2）由题意可知集合是集合的真子集，数形结合即可求解
（1）
当时，，
因为，
所以，
；
（2）
因为是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
因为恒成立，
所以集合，
所以，解得，
当时，，不符合题意，
故实数m的取值范围
【变式训练8-1】、（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知集合，，.
（1）求集合;
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）或
（2）
【分析】
（1）化简集合A，B，求出集合M，再由补集的意义即可得解；
（2）根据给定条件可得集合M是集合N的真子集，再借助集合包含关系列式求解即得.
（1）
依题意，，，则，
所以或；
（2）
若是的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，
从而或，解得或，于是得，
所以实数a的取值范围.
知识点五 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)


例9．（1）（2021·广东江门·高三月考）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】
命题“”的否定为“”，
故选：C.
（2）．（2021·全国·高一课时练习）命题“，使得成立”为假命题，则的取值范围______．
【答案】
【分析】
将问题转化为“，使得成立”为真命题，再根据二次函数的图象与性质讨论二次项系数得到结果．
【详解】
命题“，使得成立”为假命题，
则其否定“，使得成立”为真命题．
①当时，恒成立，即满足题意；
②当时，由题意有解得．
综合①②得实数的取值范围是．
故答案为：
【变式训练8-1】、（2021·辽宁·大连八中高一期中）若“，”是真命题，则实数m的最大值是______
【答案】2
【分析】
根据题意，利用求出的最大值．
【详解】
若“，”是真命题，
则，
解得，
所以实数的最大值是2．
故答案为：2．
【变式训练8-2】、（2021·辽宁葫芦岛·高一月考）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定选出答案即可.
【详解】
命题“，”的否定为，
故选：C
例9．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三期中（文））已知下列命题：
①命题“”的否定是“”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③“若，则且”的逆否命题为真命题；
④已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题．
其中真命题的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
【答案】C
【分析】
根据特称命题的否定得到① 错误，“”是“”的必要不充分条件，② 错误，判断原命题为假得到③ 错误，判断均为假命题得到④ 正确，得到答案.
【详解】
命题“”的否定是“”， ① 错误；
“”是“”的必要不充分条件，② 错误；
“若，则且”为假命题，故逆否命题为假命题，③ 错误；
若“”为假命题，则均为假命题，故“”为真命题，④ 正确.
【变式训练9-1】、（2021·重庆市凤鸣山中学高一月考）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“”的否定是“”
C．“”是“”的必要而不充分条件；
D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”
【答案】BD
【分析】
根据全称命题和特称命题互为否定，即可判断选项A，B是否正确；根据即可判断选项C是否正确；根据和两种情况，结合二次函数的性质，即可判断D是否正确.
【详解】
对于选项A：命题“”的否定是“”故A错误．
对于选项B：命题“”的否定是“”故B正确．
对于选项C：因为，所以“”是“”的既不必要又不充分条件，故C错误．
对于选项D：当时，显然成立；当时，关于的不等式对任意恒成立，则，即，所以“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”，故D正确．
故选：BD．
【变式训练9-2】、（2021·山东省临沂第一中学高一期中）（多选题）下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则是的必要不充分条件
D．若“”的必要不充分条件是“”，则实数m的取值范是
【答案】ACD
【分析】
由特称命题得否定可以判断A，由充要条件可以判断BCD
【详解】
对于A：命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B：，当时，不成立；当，是也不一定成立；故B错误；
对于C：由推不出，但时成立，故C正确；
对于D：“”的必要不充分条件是“”，
则，解得，故D正确；
故选：ACD
例10．（2021·山东聊城·高三期中）设全集，集合，非空集合，其中．
（1）当时，求；
（2）若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
（1）
解：不等式，化简得．
∴
当时，集合，
∴，
∴．
（2）
解：由（1）知，，
∵命题“，”是真命题，
∴，
∴，解得：．
∴实数a的取值范围是．
【变式训练10-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
（1）若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可；
（2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可
（1）
∵命题p的否定为真命题，
命题的否定为：，，
∴，
∴．
（2）
若命题p为真命题，则，即或．
∵命题q的否定为真命题，
∴“，一次函数的图象在x轴及x轴上方”为真命题．
∴，即．
∴实数a的取值范围为．
例11．（2021·江西·模拟预测（文））已知命题p：函数的值域为，命题q：，使得不等式．
（1）若p为真，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1） 根据题意，设，由对数函数的性质可得，解可得答案；
（2）根据题意，分析p、q为真时a的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p、q一真一假，即可得关于a的不等式组，解可得答案．
（1）
根据题意，命题p：函数的值域为R，
设，必有，解可得，
（2）
对于q，，使得不等式，即在区间[1，2]上有解，
设，在区间[1，2]上为减函数，则有，
若q为真，必有，
若p∨q为真，p∧q为假，即p、q一真一假，
若p为真，q为假，必有；
若p为假，q为真，必有；
综合可得：a的取值范围为或．
【变式训练11-1】、．（2021·山东·济宁市育才中学高一月考）已知命题“使不等式成立”是假命题
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后根据或求解即可；
（2）本题可根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】
（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
所以令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是.