【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题01 集合与常用的逻辑用语（专题过关）

专题01   集合与常用逻辑用语（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一课时练习）全称量词命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．以上都不正确

【答案】C

【分析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.

【详解】

全称量词命题“，”的否定为“，”.

故选：C.

2．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））若集合，集合，若，则实数的取值集合为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题中条件可得或，解方程即可.

【详解】

因为，，，

所以或，

解得或，

所以实数的取值集合为.

故选：D.

3．（2021·全国·高一单元测试）已知集合，，则（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】D

【分析】

利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】

由已知可得或，因此，.

故选：D.

4．（2021·陕西·西安市铁一中学高一月考）设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】

根据集合的交集运算求解即可>

【详解】

解：，，

．

故选：B．

5．（2021·广西·崇左高中高一月考）已知，，则是的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】

由，可得出，

由，得不出，

所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

6．（2020·全国·高一课时练习）已知全集U=R,集合和关系的韦恩()图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

【答案】A

【分析】

根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为，求出集合与中的元素，分析可得选项.

【详解】

根据题意，可得阴影部分所示的集合为，

的元素为正奇数，而在内的正奇数有

所以集合共有个元素.

故选：A

【点睛】

本题考查集合的图表表示法，注意由韦恩图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合.

7．（2021·广东化州·高三月考）下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则

B．若“，则”的逆否命题是真命题

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“，都有”的否定是“，使得”

【答案】C

【分析】

取特殊值可判断A，根据原命题与逆否命题等价判断B，解不等式后根据集合的包含关系可判断C，由含量词命题的否定判断D.

【详解】

时，，故A错；

“若，则”是假命题，故其逆否命题是假命题，故B错；

的解集是或，由 真包含于或 可知“”是“”的必要不充分条件，故C对；

“，都有”的否定是“，使得”，故D错.

故选：C

8．（2021·江西省丰城中学高一期中）下列说法中，正确的是（    ）

A．若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题

B．命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”

C．命题“若，则”的否命题为“若，则”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】A

【分析】

判断为假命题，命题一定是真命题，A正确，根据特称命题的否定定义知B错误，根据否命题的定义知C错误，取得到D错误，得到答案.

【详解】

非是真命题，故为假命题，或是真命题，故命题一定是真命题，A正确；

“存在，使得”的否定是：“任意，都有”，B错误；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，C错误；

当时，“”不能得到“”，D错误.

故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·江苏滨湖·高一期中）设全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．集合的真子集个数为8

【答案】AC

【分析】

根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.

【详解】

因为全集，集合，，

所以，，，

因此选项A、C正确，选项B不正确，

因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，

故选：AC

10．（2022·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】

求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.

【详解】

命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，

所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},

所以选项AC不符合要求，选项BD正确.

故选：BD

11．（2021·山东省潍坊第四中学高一开学考试）下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”.

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要条件.

D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BD

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.

【详解】

对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；

对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；

对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；

对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.

故选：BD

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.

12．（2021·云南·弥勒市一中高一月考）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域

对于A选项，显然表示区域3，故不正确；

对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；

对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；

对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；

故选：BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高一月考）某高级中学高三特长班有名学生，其中学绘画的学生人，学音乐的学生人，则同时学绘画和音乐的学生至少有__________人.

【答案】

【分析】

设学绘画的学生构成集合，学音乐的学生构成集合，同时学绘画和音乐的学生有人，根据集合间的基本运算可得学音乐或学绘画的人数，使其小于或等于即可求解.

【详解】

设该高级中学高三特长班的名学生构成全集，

学绘画的学生构成集合，学音乐的学生构成集合，

同时学绘画和音乐的学生有人，

则学绘画但不学音乐的学生有人，

学音乐但不学绘画的学生有人，如图所示，

则中的人数是，

又中的人数不大于全集中的人数，则，

解得：，

所以同时学绘画和音乐的学生至少有人，

故答案为：.

14．（2021·全国·高一单元测试）已知集合，则集合的所有子集的个数是________.

【答案】32

【分析】

根据条件求出集合B中的元素即可．

【详解】

因为集合，则集合，

所以集合B的所有子集的个数是个，

故答案为：.

15．（2020·全国·高一课时练习）有下列命题：

①“若，则且”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若，则的解集是”的逆命题；

④“若是无理数，则是无理数”的逆否命题．

其中正确命题的序号是____________

【答案】①③④

【分析】

根据逆命题，否命题，逆否命题的概念，以及四种命题真假性之间的关系，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

对于①，“若，则且”的逆命题为“若且，则”

故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；

对于②，“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；

对于③，其逆命题为：若的解集是，则，当该不等式解集为时，1.时，不合题意，2.解得，故逆命题为真，即③正确；

对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查判定四种命题的真假，属于基础题型.

16．（2020·全国·高一单元测试）设或；或，则是的________条件.

【答案】充分不必要

【分析】

求出和，利用集合的包含关系判断即可.

【详解】

或，或，则，.

，因此，是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·河南信阳·高一期中）设全集，集合，.

（1）求及；

（2）求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）根据集合的交并集运算求解即可；

（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.

【详解】

解：（1）因为，，

所以，

（2）因为，所以，

所以.

18．（2021·广东·广州市真光中学高一期中）已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】

解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

19．（2021·全国·高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1∉A，

（1）若3∈A，求A.

（2）证明:若a∈A，则.

【答案】（1）;（2）证明见解析.

【分析】

根据题意求依次求解即可.

【详解】

(1)因为3∈A，

所以，

所以，

所以，

所以.

(2)因为a∈A，

所以，

所以.

20．（2021·全国·高一专题练习）已知全集为，集合，.

（1）求；

（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出集合，根据交集的定义直接求解；

（2）依题意，再根据题意得到关于的不等式，求解即可．

【详解】

解：（1），又

，

（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，因为

所以解得，即

21．（2021·河南省实验中学高一期中）设：实数满足，．

（1）若，且，都为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）当时，解一元二次不等所得解集再与求交集即可；

（2）先求出的解集，再根据是其真子集即可求解.

【详解】

（1）若，则：实数满足，

解得：．．

∵，都为真命题，∴，解得：．

∴的取值范围为．

（2）由：实数满足，即

解得：．

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，解得：．

∴实数的取值范围是．

【点睛】

结论点睛：充分、必要条件一般可转化为集合之间的关系如：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

22．（2021·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）解答：

（1）已知命题p：“，”是真命题，求实数a的取值范围；

（2）已知命题q：“满足，使”为真命题，求实数a的范围.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）根据二次函数的性质、结合任意性的定义进行求解即可；

（2）根据二次函数的性质，结合存在性的定义进行求解即可.

（1）

命题p为真命题，即在R上恒成立.

①当时，不等式为显然不能恒成立；

②当时，由不等式恒成立可知即

所以；

综上，a的取值范围是；

（2）

当时，由，当时，函数的最小值，

当时，函数有最大值，

 ，

由题意有，所以.