【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识梳理）

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专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识梳理）
知识网络

重难点突破
知识点一 等式的性质与不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（1）、（2014·四川·高考真题（文））若则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
（2）、（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.
（3）、（2021·福建省同安第一中学高一月考）若、、为实数，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
【变式训练1-1】、（2021·广东·人大附中深圳学校高二期中）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】
由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.
【详解】
解：A项，若，取，可得，故A不正确；
B项, 若,可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.
【变式训练1-2】、（2020·全国·高一单元测试）下列不等式中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质和带特殊值逐一排除．
【详解】
若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【点睛】
本题考查不等式的性质，注意正负号的应用．
【变式训练1-3】、（2021·重庆·万州纯阳中学校高一月考）（多选题）已知且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
由不等式的性质即可判断.
【详解】
由不等式的性质容易判断AD正确；
对B，若b=0，不等式不成立，错误；
对C，若c=0，不等式不成立，错误.
故选：AD.
知识点二 基本不等式
1、基本不等式(或)均值不等式

2、基本不等式的变形与拓展
(1)若,则；
(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
(3)若,则；
(4)若,则（当且仅当时取“=”）；
(5)若,则（当且仅当时取“=”）．
(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(8)一个重要的不等式链：．
★经典题型突破1 基本不等式的应用
例1、（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
（2）、（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，
当且仅当时取等号，故本题选D.
（3）．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.
【答案】.
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
【变式训练1-1】、（2020·湖南桃江·高二期末）当时，的最小值为______.
【答案】
【分析】
将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
，，由基本不等式得.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.
【变式训练1-2】、5．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一月考）若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】
将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】
当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
★经典题型突破2 “1”的妙用
例3、（1）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的( )
A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为3 D．最大值为3
【答案】A
【解析】，
所以的最小值为，
故选:A.
（2）．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】
由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
【变式训练3-1】、（2021·河北·石家庄一中高一月考）设，，若，则的最小值为__________．
【答案】16
【分析】
把乘以得到，后用均值定理
【详解】
解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
故答案为：16
【点睛】
考查均值定理的应用，基础题
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）已知正数、满足，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出
的最小值．
【详解】
，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
★经典题型突破3 综合应用
例4．（2020·江苏·新沂市棋盘中学高三月考）（多选题）设正实数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．+有最大值 D．a2+b2有最小值
【答案】ABCD
【分析】
由正实数，满足，可得，则，根据判断A；开平方判断B；利用判断C；利用判断D．
【详解】
正实数，满足，即有，可得，
即有，即有时，取得最小值4，无最大值，A正确；
由可得，可得时，有最大值，B正确；
由，可得时，取得最大值，C正确；
由可得，则，当时，取得最小值，D正确．
故选：ABCD．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
【变式训练4-1】、（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））（多选题）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
【答案】BCD
【分析】
根据，，且，利用“1”的代换变形，再利用基本不等式逐项求解判断.
【详解】
因为，，且，
A，当且仅当，即时，取等号，故错误；
B. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
C. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
D. ，
，

，故正确；
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
例5．（2019·全国·高考真题（文））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】
（1）

当且仅当时取等号
，即：
（2），当且仅当时取等号
又，，（当且仅当时等号同时成立）

又
【点睛】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
【变式训练5-1】、（2017·全国·高考真题（理））已知，，，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【分析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】
证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ab，由均值不等式可得：ab≤
∴（a+b）3﹣2，
∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
【点睛】
本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有
实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}

R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c0
b＝0，c