【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题04 指数函数与对数函数的概念与简单性质（专题过关）

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专题04   指数函数与对数函数的概念与简单性质（专题过关）考试时间：120分钟   满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·全国·高一课时练习）下列函数中定义域与值域相同的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的性质，逐项求解选项中函数的定义域与值域，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，值域为，不符合题意；对于B中，函数定义域为，值域为，不符合题意；对于C中，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为，且值域也为，符合题意；对于D中，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为，值域为，不符合题意.故选：C.2．（2021·全国·高一课时练习）函数y＝的定义域为（    ）A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]【答案】A【分析】根据具体函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.【详解】解：由题意得，解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．故选：A.3．（2021·甘肃·天水市第一中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可【详解】∵，，∴．故选：C．4．（2021·全国·高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.【详解】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A．5．（2021·云南·宾川四中高一月考）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】若函数在上是单调增函数，根据对数函数及复合函数单调性可知，解不等式即可得到的取值范围．【详解】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以，故选:C．6．（2021·广西·玉林市育才中学高三开学考试（理））若，则数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数式与指数式恒等式，结合指数运算性质、对数的运算性质进行求解即可.【详解】.故选：A7．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高二期中（文））若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得函数的定义域，利用复合函数法求得函数的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数的取值范围.【详解】解不等式，即，解得，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，而外层函数在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，由于函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.8．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）A．(-∞，1] B．[1，+∞)C．(-∞，5] D．[5，+∞)【答案】B【分析】分段函数中，根据对数函数分支y = log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y = -x2 + a的最大值大于等于1，即可求得a的范围【详解】x > 2时，y = log2x > 1∴要使函数的值域为R，则y = -x2 + a在x ≤ 2上的最大值a大于等于1即，a ≥ 1故选：B【点睛】本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的的值域范围进而求参数范围二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.9．（2021·全国·高一单元测试）下列计算成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用对数运算确定正确选项.【详解】对于A选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项正确.对于D选项，，故D选项正确.故选：CD10．（2021·重庆·高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是增函数 D．的值域是【答案】BC【分析】由判断A；由奇函数的定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D．【详解】，，，则不是偶函数，故A错误；的定义域为，，为奇函数，故B正确；，又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；，，则，可得，即．，故D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.11．（2020·全国·高一单元测试）设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（    ）A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x=对称【答案】AD【分析】求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.【详解】A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.故选：.【点睛】本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.12．（2021·江苏·如皋市第一中学高一月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由根式与分式指数幂互化的法则，逐项判断即可得解.【详解】对于选项A，因为，而，所以A错误；对于选项B，因为，所以B错误；对于选项C，因为成立，所以C正确；对于选项D，当时，，所以D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了根式与分式指数幂的互化，考查了运算求解能力，注意底数的取值范围是解题关键，属于基础题. 
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2021·全国·高一单元测试）若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.【答案】【分析】令，且 ，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.【详解】令，且 ，，因为函数在上是减函数且在上是减函数，所以是增函数且恒成立，即，解之得的取值范围是.故答案为：.14．（2021·全国·高一单元测试）______【答案】【分析】利用指数幂运算和对数恒等式计算，即可得到答案；【详解】因为，故答案为：15．（2020·天津四十三中高一月考）已知函数，则_______.【答案】【分析】根据分段函数的定义域区间分别求出、的值，代入目标式中求值即可【详解】．故答案为：－1【点睛】本题考查了指数、对数的运算，注意指数的性质，及对数运算性质的应用16．（2020·福建·泉州市第九中学高一期中）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数是上的增函数，函数，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题. 
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·广西·玉林市育才中学高三月考（理））求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果【详解】（1）原式=；（2）原式.【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题.18．（2020·全国·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，.（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若f(x)≤1，求实数x的取值范围．【答案】（1）；（2）－2≤x≤0或x≥.【分析】（1）由函数为奇函数设x<0，则－x>0，求出，再结合即可求解；（2）写出分段函数解析式，再分段讨论解不等式即可.【详解】(1)设x<0，则－x>0，从而f(－x)＝，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝，即x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝；(2)由题意及(1)知f(x)＝当x>0时，由f(x)≤1得，解得x≥；当x＝0时，f(x)≤1显然成立；当x<0时，由f(x)≤1得，解得－2≤x<0.综上可知，x的取值范围为－2≤x≤0或x≥【点睛】本题主要考查指数型函数的应用，由函数的奇偶性求分段函数解析式，由不等式求解分段函数自变量取值范围，属于中档题19．（2019·陕西·西安市铁一中学高一月考）设，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.【详解】（1）∵，∴，∴.由，得，∴函数的定义域为（2），∴当时，是增函数；当时，是减函数，函数在上的最大值是，函数在上的最小值是，∴在区间上的值域是.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，复合函数的单调性以及函数的值域等，属于基础题.20．（2020·全国·高一单元测试）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.【答案】（1）；（2）y的最大值为1，此时x=1.【分析】（1）由题意结合对数函数的性质可得，解不等式即可得解；（2）由题意结合二次函数的性质可得，由对数函数的性质可得，即可得解.【详解】（1）由题意，解得，所以函数的定义域为；（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以y的最大值为1，此时x=1.【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域及最值的求解，考查了对数函数性质的应用及一元二次不等式的求解，属于基础题.21．（2021·全国·高一单元测试）已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.（1）求，的值（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）判断函数在上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得；（2）设，利用分离参数法，题中问题为在上有解，求出的最大值即可得．（3）把方程化简，并设，方程化为，结合图象，方程有两个实数解，则有，，或，，利用二次方程根的分布知识求得的范围．【详解】（1）由题意，又，∴在上单调递增，∴，解得．（2）由（1），，时，，令，则在上有解，，∵，∴，，则，∴的最大值为，∴，即．∴的取值范围是．（3）原方程化为，令，则，有两个实数解，作出函数的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则，，或，，记，则，解得，或，无解．综上的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．22．（2021·全国·高一课时练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：（1）10h后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？（3）画出P关于t变化的函数图象.【答案】（1）81%；（2）33h；（3）见解析【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；（2）令，根据指数运算性质求出的值；（3）求出的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象．【详解】（1）当时，，当时，，即.，当时，，即10h后，还剩81%的污染物.（2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得.，即污染物减少50%大约需要花33h.（3）图象大致如图所示.【点睛】本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题．