【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题07 三角恒等变换（专题过关）

专题07   三角恒等变换（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高二课时练习）（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】

由余弦的差角公式，运算即可得解.

【详解】

.

故选：C.

2．（2021·全国·高一课时练习）下列等式中恒成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】

根据两角和与差的正、余弦公式即可得答案.

【详解】

解：根据两角和与差的正、余弦公式有：

；

；

；

；

故选：D.

3．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据同角三角函数的基本关系求出，再由两角差的余弦公式代入求值.

【详解】

，，

故选：B.

4．（2021·全国·高一单元测试）已知，，，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由已知，结合同角平方关系可求cos()、sin()，然后根据，由两角差的余弦展开可求值．

【详解】

∵，

∴，．

∵，

∴，则cos()＝，

∵，

∴sin()＝．

＝cos()cos()+sin()sin()

＝．

故选：C．

5．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】

利用辅助角公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：B

6．（2021·云南师大附中高三月考（文））设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最大值为

B．的一个零点为

C．的最小正周期为

D．的图象关于直线对称

【答案】B

【分析】

利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.

【详解】

，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，

故选：B.

7．（2022·全国·高三专题练习（理））已，且则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.

【详解】

平方得，

，

.

故选:D.

【点睛】

本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.

8．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二期末（文））已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于对称

【答案】C

【分析】

利用二倍角公式化简，结合余弦函数的性质逐一检验排除选项可得答案．

【详解】

的最小正周期为，A错误；是偶函数，B错误；的图象关于对称，C正确；的图象关于对称，D错误；

故选：C

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考）下列各式中值为的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】

选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.

【详解】

因为，故选项A正确；

因为，故选项B错误；

因为，故选项C正确；

因为，

整理得，，故选项D错误；

故选：AC.

10．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期是 B．的最小值是

C．直线是图象的一条对称轴 D．直线是图象的一条对称轴

【答案】ABD

【分析】

根据降幂公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得的解析式，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

由题意得

，

对于A：，所以的最小正周期是，故A正确；

对于B：当时，的最小值为，故B正确；

对于C、D：令，解得

当时，可得一条对称轴为，故D正确，

无论k取任何整数，，故C错误，

故选：ABD

11．（2021·全国·高三专题练习（文））将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】

利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.

【详解】

由题意，得：，图象向左平移个单位，

∴关于轴对称，

∴，即，

故当时，；当时，；

故选：BD

12．（2021·湖北·钟祥市实验中学高一期中）已知函数，，则（    ）

A．

B．在区间上只有1个零点

C．的最小正周期为

D．为图象的一条对称轴

【答案】AC

【分析】

将 的解析式化为，然后逐一判断即可.

【详解】

所以，故A正确

令可得，满足的有，故B错误

的最小正周期为，故C正确

当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·全国·高一课时练习）计算：___________.

【答案】

【分析】

根据题意，结合正切的两角差公式，即可求解.

【详解】

由题意得.

故答案为：.

14．（2022·全国·高三专题练习）若，，则___________.

【答案】

【分析】

由余弦的和差角公式得，，进而得

【详解】

解：因为，所以.

因为，所以，

所以，，

所以.

故答案为：

15．（2021·全国·高二课时练习）已知，则______.

【答案】

【分析】

根据已知求出的范围，再利用二倍角公式化简原式可求解.

【详解】

，，则，

.

故答案为：.

16．（2019·贵州·凯里一中高一期末）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用表示，则_____.

【答案】

【分析】

代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可.

【详解】

.

故答案为：2

【点睛】

本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·安徽阜阳·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）设函数，若在内存在唯一的，使得对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据函数图象，结合最小正周期公式、特殊角的三角函数值进行求解即可；

（2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的最值进行求解即可.

【详解】

解：（1）根据图象可得，

所以.

因为，，所以.

又因为图象过点，所以.

因为，

所以，，即，，

又因为，所以.

故.

（2）因为，

所以.

依题意可得，

又，所以，

解得.

【点睛】

关键点睛：正确理解最小值的定义，结合题意得到不等式是解题的关键.

18．（2021·全国·高三专题练习（文））已知．

（1）求的单调递增区间；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）（）；（2）．

【分析】

（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令，即可求得的单调递增区间.

（2）根据（1）化简可得，则原题等价于，即可，利用二倍角公式，对化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案.

【详解】

（1）化简得

=

=，

令，解得

所以单调递增区间为，.

（2）由（1）可得，

即，对任意的恒成立，

只需要即可，

，

令，因为，则，

所以，

所以，

由对勾函数性质可得，当时，为减函数，

所以当时，，

所以．

【点睛】

解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除，得到关于的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.

19．（2021·上海·高一期中）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）由两角和的公式展开后解方程得；

（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．

【详解】

解：（1），解得；

（2）

．

【点睛】

本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：

(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

20．（2021·全国·高一课时练习）已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．

【答案】（1），（2），时

【分析】

（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；

（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．

【详解】

解：（1），

，

，

，

故的最小正周期；

（2）由可得，，

当得即时，函数取得最小值．所以，时

21．（2020·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））已知函数.

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.

【分析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；

（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.

【详解】

（1）

，

则的最小正周期为，

当，即时，取得最大值为；

（2）当时，，

则当，即时，为增函数；

当时，即时，为减函数，

在单调递增，在单调递减.

【点睛】

本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.

22．（2021·云南省下关第一中学高一月考）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；

（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．

请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】

（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；

（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.

【详解】

（Ⅰ）解：因为

．

所以函数的最小正周期；

因为函数的单调增区间为，，

所以，，

解得，，

所以函数的单调增区间为，；

（Ⅱ）解：若选择①

由题意可知，不等式有解，即；

因为，所以，

故当，即时，取得最大值，且最大值为，

所以；

若选择②

由题意可知，不等式恒成立，即．

因为，所以．

故当，即时，取得最小值，且最小值为．

所以．

【点睛】

思路点睛：

求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.