【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：期末模拟测试卷（B 能力卷）

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绝密★启用前|满分数学命制中心2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷（B卷 能力版）高一数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：人教A版2019 必修1（新教材）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2021·重庆南开中学高一期末）已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别化简集合与，再求交集即可.【详解】由得，由的 所以，，则故选：A2．（2021·全国·高一专题练习）函数的零点所在区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案.【详解】的定义域为，且为定义域上的增函数，，，故零点所在区间是.故选：B3．（2021·重庆南开中学高一期末）已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为，扇形弧长为则，，∴扇形的面积为故选：A.4．（2021·重庆南开中学高一期末）设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用“”分段法比较出三者的大小关系.【详解】，，所以.故选：C5．（2021·重庆南开中学高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合图象，依次求得的值.【详解】由图象可知，，所以，依题意，则，，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.6．（2021·重庆南开中学高一期末）定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】由条件可得是以4为周期的周期函数，然后可求出答案.【详解】因为定义在R上的奇函数满足，所以所以，所以是以4为周期的周期函数所以故选：C7．（2021·全国·高一专题练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为则函数的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数，所以函数的周期为，区间的区间长度刚好是函数的四分之一个周期，因为在区间上的最大值为，最小值为，由函数的对称性可知，当区间，关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数取最小值，区间，的中点为，此时取得最值±1，不妨取得最大值，则有，解得，所以所以,故取最小值为．故选：D．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间关于的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.8．（2021·天津·静海一中高一期末）设函数，若在区间上是单调函数，则A． B． C． D．或【答案】B【分析】因为在单调递增，所以在也是单调递增，且，解不等式组，即可得到本题答案.【详解】当时，，所以此时函数在区间上单调递增，因为在区间上是单调函数，所以在区间上单调递增，当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；当时，，符合题意；当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；综上得，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9．（2021·广东·高一单元测试）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.故选：AC10．（2021·河北·石家庄外国语学校高一期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的单调递增区间是B．函数的值域是RC．函数的图象关于对称D．不等式的解集是【答案】BCD【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D: ,即，解得：，故D正确；故选：BCD.11．（2021·重庆南开中学高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的初相为B．若函数在上单调递增，则C．若函数关于点对称，则可以为D．将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023【答案】AB【分析】根据选项条件一一判断即可得结果.【详解】A选项：函数的初相为，正确；B选项：若函数在上单调递增，则，，，所以，，又因为，则，正确；C选项：若函数关于点对称，则，所以 故不可以为，错误；D选项：将函数的图象向左平移一个单位得到是偶函数，则，所以故不是整数，则不可以为2023，错误；故选：AB【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.12．（2021·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不等实根，，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．的最小值为10【答案】ACD【分析】画出的图象，结合图象求得的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.【详解】画出的图象如下图所示，由于关于的方程有四个不等实根，，，，由图可知，故A选项正确.由图可知关于直线对称，故，由解得或，所以，，当时，，所以B选项错误.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，当且仅当时等号成立，故D选项正确.由图象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等号不成立，即，故C选项正确.故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2021·重庆南开中学高一期末）___________.【答案】【分析】结合指数运算、对数运算，化简求得表达的值.【详解】原式.故答案为：14．（2021·天津·静海一中高一期末）用长为的铁丝围成半径为的扇形，则扇形的中心角为__________弧度.【答案】1【分析】扇形周长为两个半径长度与弧长的和，利用已知求出弧长，再利用弧度数即中心角为弧长除以半径，计算得出结果．【详解】因为半径为，扇形周长为，所以弧长为，因此弧度数为: 1.故答案为：1.【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．15．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是__________．【答案】5【分析】先由条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值.【详解】由条件，两边同时除以，得到，那么等号成立的条件是，即，即.所以的最小值是5，故答案为： 5 ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.16．（2021·天津·静海一中高一期末）已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是___________.【答案】【分析】可得时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根，利用“分离参数法”求解即可.【详解】因为函数,当时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根即可，即有一根,当时，且单调递增，所以，即，故答案为．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．    四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·重庆南开中学高一期末）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）解一元二次方程，结合角的范围求解；（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.【详解】（1）由题意可得：，或，又，，，（2）原式.18．（2021·湖南·明达中学高一期末）若，.（Ⅰ）若的解集为，求的值；（Ⅱ）求关于的不等式的解集.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可【详解】（Ⅰ）的解集为，，1是的解..解得：（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为当时，分解因式的根为，.当时，，不等式的解为或；解集为.当时，，不等式的解为；解集为.当时，，不等式的解为；等式的解集为.当时，原不等式为，不等式的解集为.综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19．（2021·重庆南开中学高一期末）先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.（1）求函数的解析式；（2）若，满足，且，设，求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先对函数化简变形可得，再由三角函数图像变换规律可求出的解析式；（2）由已知条件可得，，则可得，然后令，则，从而可求出其最值【详解】（1）原函数化简得到，将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得，再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到所以.（2）由题意知，因为所以，解得，则有：.令，，则对称轴为.所以.【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由求出，再对两边取余弦化简可求出，从而可对化简可得，再利用换元法可求得结果，属于中档题20．（2021·全国·高一课时练习）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（Ⅰ），；（Ⅱ）法一：令；则.，的单调增区间为.，解得.函数在上的单调递增区间.法二：，，画数轴与所有区间取交集可知：.函数在上的单调递增区间；（Ⅲ）是函数的一个零点.解得：..，，当单调递减区间为.，解得在区间上为减函数.函数在上的单调递增区间，单调递减区间，，.函数在上的值域为.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．21．（2020·天津西青·高一期末）已知函数过定点，函数的定义域为.（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；（Ⅲ）解不等式.【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，，定义域为，.函数为奇函数.（Ⅱ）在上单调递增.证明：任取，且，则.，，，，，即，函数在区间上是增函数.（Ⅲ），即，函数为奇函数在上为单调递增函数，， ，解得：.故不等式的解集为：【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.22．（2021·重庆南开中学高一期末）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【分析】（1）代入公式中直接计算即可（2）由题意得，，则，求出的范围即可【详解】（1），（2），.因为要使火箭的最大速度至少增加，所以，即：，所以，即，所以，因为，所以.所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题