重庆市渝中区求精中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份重庆市渝中区求精中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
重庆市渝中区求精中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（满分48分）
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（　　）
A．直线x＝a B．直线x＝2a C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
2．下列关于防范“新冠肺炎”的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．有症状早就医
C．勤洗手勤通风 D．少出门少聚集
3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　）
A．1 B．±1 C．﹣1 D．0
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
5．如图，在⊙O中，∠C＝20°，∠B＝35°，则∠A等于（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
6．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1 B．45°， C．60°， D．120°，2
8．下列事件属于确定事件的为（　　）
A．氧化物中一定含有氧元素 B．弦相等，则所对的圆周角也相等
C．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎 D．物体不受任何力的时候保持静止状态
9．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
10．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，并且选择每条路径的可能性相等，则它获得食物的概率是（　　）

A． B． C． D．
11．如图1，矩形ABCD绕点A逆时针旋转180°，在此过程中A、B、C、D对应点依次为A、E、F、G，连接DE，设旋转角为x，y＝DE2，y与x的函数图象如图2，当x＝30°时，y的值为（　　）

A． B． C．3 D．4

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴的交点在（0，2）上方，有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＜0；④0＜＜1；⑤a﹣b＜m（am+b）（m＞1），其中正确的结论个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（共24分）
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
14．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a的值约为　 　．
15．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　 　米．

16．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 　 　dm2．

17．将抛物线y＝x2+4x+3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 　 　．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 　 　cm．

三.解答题（共78分）
19．解下列方程：
（1）x2+4x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
20．“一方有难，八方支援”．武汉新冠病毒牵动着全国人民的心，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援武汉．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）∠OAA1＝　 　；
（3）求旋转过程中，点A经过的路径有多长．


22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，AC平分∠DAE．
（1）DE与⊙O有何位置关系？请说明理由．
（2）若AB＝6，CD＝4，求CE的长．

23．函数的图象在探索函数的性质中有着非常重要的作用，小林同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象和性质．
（1）下表给出了部分x、y的取值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣2
2
4
4
2
1
0
﹣1
…
由上表可知，a＝　 　，b＝　 　．
（2）用你喜欢的方法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+b+x|x﹣2|的图象，并写出函数的一条性质：　 　．

（3）若方程ax2+b+x|x﹣2|＝﹣x+m恰有两个不同的实数解，请直接写出m的取值范围是：　 　．


24．每年的2月到6月是鱼类的产卵期的繁殖期，为了对鱼类的繁殖，生长进行保护，每年的3月1日至6月三十日是长江鱼类的禁渔期，2017年初，由于禁渔期内禁止一切野生鱼的捕捞，导致重庆人工养殖的草鱼价格出现了较大波动．
（1）从2017年3月1日至4月30日，重庆某人工养殖的草鱼价格不断走高，3月1日该草鱼的价格为10元/千克，4月30日的价格比3月1日的价格上涨50%，某市民在今年3月1日和4月30日分别购买了相同质量的该草鱼，且4月30日所花费的钱至少比3月1日多20元，则该市民4月30日购买了该草鱼至少多少千克？
（2）为稳定该草鱼的价格，某农贸市场从外地调运此种草鱼以平衡市场价格，5月1日外地调运的草鱼投运市场，并在4月30日价格的基础上下调a%出售，某鱼店按规定价出售一批外运草鱼，该鱼店在非外运草鱼的价格仍在4月30日价格的情况下，该天的两种草鱼总销量比4月30日增加了2a%，且外运草鱼的销量占总销量的，两种草鱼销售的总金额比4月30日提高了a%，求a的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．


参考答案
一、选择题（满分48分）
1．解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，
故选：C．
2．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝1，
而m+1≠0，即m≠﹣1．
所以m＝1．
故选：A．
4．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，
∴∠CDA＝∠CAD＝50°，
∴∠BAD＝80°，
故选：A．
5．解：设AC交OB于点F．

∵∠AFB＝∠B+∠C，∠C＝20°，∠B＝35°，
∴∠AFB＝20°+35°＝55°，
∵∠AOB＝2∠ACB＝40°，∠AFB＝∠A+∠AOB，
∴∠A＝55°﹣40°＝15°，
故选：B．
6．解：设正方形的边长为xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故选：B．
7．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．

8．解：A、氧化物中一定含有氧元素是确定事件，故本选项正确；
B、在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，属于不确定事件，故本选项错误；
C、戴了口罩不一定不会感染新冠肺炎，属于不确定事件，故本选项错误；
D，物体不受任何力的作用时，物体可以处于静止也可以做匀速直线运动，属于不确定事件，故本选项错误
.故选：A．
9．解：当a＞0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、三、四象限；
当a＜0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、二、四象限；
故选项A、B、D不可能，
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，对称轴x＝﹣＜0，和x轴的正半轴相交，故选项C正确；
故选：C．
10．解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是：＝，
故选：A．
11．解：如图，连接BD，过点E作EH⊥AD于H．

由题意BD＝，AD＝AB+1，
设AB＝x，则AD＝x+1，
∴x2+（x+1）2＝（）2，
∴x2+x﹣2＝0，
∴x＝1或﹣2（舍弃），
∴AB＝1，AD＝2，
当∠EAB＝30°时，∵∠DAB＝90°，
∴∠EAH＝60°，
∴EH＝AE•sin60°＝，AH＝AE•cos60°＝，
∴DH＝AD﹣AH＝2﹣＝，
∴DE＝＝＝，
∴y＝DE2＝3，
故选：C．
12．解：由抛物线的开口向下可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，因此b＜0，而c＞2，
所以abc＞0，故①正确；
∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵b＞2a，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（1，0），及（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，
∴二次函数的对称轴﹣＜﹣＜0，
∴0＜＜1，故④正确；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
当x＝m＞1时，y＝am2+bm+c＜0，
∴a﹣b＞m（am+b）（m＞1），故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：B．
二.填空题（共24分）
13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，
∴m＜且m≠1，
故答案为：m＜且m≠1．
14．解：由题意可得，＝0.3，
解得，a＝35，
经检验a＝15是原方程的根，
故答案为：35．
15．解：建直角坐标系，如图：

根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
16．解：连接AC，

∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝42，
∴AB＝BC＝2dm，
∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．
故答案为：2π．
17．解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2﹣2．
故答案是：y＝﹣（x﹣5）2﹣2．
18．解：取AB的中点H，连接HG、HF，如图：

∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，
设∠BCE＝∠ACD＝α，则∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
在四边形BCDF中，∠BFA＝360°﹣∠BCD﹣∠CDA﹣∠CBE＝360°﹣（90°+α）﹣2（90°﹣α）＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝5cm，
Rt△ABF中，HF＝AB＝cm，
∵HG是△ABC中位线，
∴HG＝AC＝cm，
而FG≤HF+HG＝4cm，
∴当F、H、G在一条直线上时，FG最大，最大值为HF+HG＝4cm，
故答案为：4．
三.解答题（共78分）
19．解：（1）∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x＝2，
则x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，
∴x+2＝，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），
∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
20．（1）从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，恰好选中医生甲的概率为；
（2）画树状图如下：

共有6个等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1个，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为．
21．解：（1）如图，△OA1B1即为所求；
（2）∵△OAA1是等腰直角三角形，
∴∠OAA1＝45°．
故答案为：45°
（3）∵OA＝＝
∴点A经过的路径的长＝＝π．

22．解：（1）相切
理由：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
则∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过C作CF⊥OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴CO＝AB＝3，
∴在△COD中，OC⊥DE，CD＝4，
代入OD2＝OC2+CD2得OD＝5
由等面积求得CF＝
∵CF⊥OD，AE⊥DE，AC平分∠EAB，
∴CE＝CF＝．
23．解：（1）将（0，4）、（1，4）代入函数表达式得，解得，
∴a＝﹣，b＝4；
（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：

从图象看，x＞2时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）由（1）知，函数的表达式为y＝﹣x2+4+x|x﹣2|，
当x＞2时，y＝﹣x2+4+x|x﹣2|＝﹣x+4，为一次函数，
当x≤2时，y＝﹣x2+4+x|x﹣2|＝﹣x2+4+x，为二次函数，
当直线y＝﹣x+m与直线y＝﹣x+4重合时（m＝4），即此时该函数和左侧抛物线有一个交点和直线y＝﹣x+4重合，是一个临界状态，
当直线y＝﹣x+m与左侧抛物线有一个交点（见上图，虚线l为直线y＝﹣x+m），是另外一个临界状态，
联立y＝﹣x2+4+x与y＝﹣x+m得：x2﹣2x+m﹣4＝0，
则Δ＝4﹣4（m﹣4）＝0，解得m＝5，
故m的取值范围是4＜m＜5，
故答案为4＜m＜5．
24．解：（1）设该市民4月30日购买了该草鱼至少x千克，由题意得：10（1+50%）x﹣10x≥20，
∴x≥4．
答：该市民4月30日购买了该草鱼至少4千克．
（2）该草鱼4月30日的价格为10（1+50%）＝15（元/千克），由题意得：
15（1﹣a%）×（1+2a%）+15×（1+2a%）＝15（1+%）
令a%＝y，原方程可化为：15（1﹣y）×（1+2y）+15×（1+2y）＝15（1+y），
整理得：10y2﹣y＝0，
∴y1＝0（舍），y2＝0.1．
∴a%＝0.1，
∴a＝10．
答：a的值为10．
25．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），

④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
26．解：（1）结论：EF＝BE+DF．
理由：延长FD至G，使DG＝BE，连接AG，如图①，

∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝ADG＝∠DAB＝90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE＝AG，∠DAG＝∠EAB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠DAF+∠DAG＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF＝45°，
∵AF＝AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF＝GF，
∴GF＝DF+DG＝DF+BE，
即：EF＝DF+BE．
故答案为：EF＝DF+BE．
（2）结论：EF＝DF﹣BE．
理由：在DC上截取DH＝BE，连接AH，如图②，

∵AD＝AB，∠ADH＝∠ABE＝90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH＝AE，∠DAH＝∠EAB，
∵∠EAF＝∠EAB+∠BAF＝45°，
∴∠DAH+∠BAF＝45°，
∴∠HAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF＝EF，
∵DF＝DH+HF，
∴EF＝DF﹣BE．
故答案为：EF＝DF﹣BE．
（3）①当MA经过BC的中点E时，设FD＝x，则FG＝EF＝2+x，FC＝4﹣x．
在Rt△EFC中，（x+2）2＝（4﹣x）2+22，
∴x＝，
∴EF＝x+2＝．
②当NA经过BC的中点G时，设BE＝x，则EC＝4+x，EF＝8﹣x，
∴CG＝BC＝2，CF＝AB＝4，
由勾股定理得到：（4+x）2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝，
∴EF＝8﹣＝．