第2讲整式与因式分解

第2讲:整式与因式分解

一、复习目标

1、在识记整式和因式分解知识点的基础上理解并能熟练的应用整式和因式分解知识点。 

2、能结合具体情境创造性的综合应用因式分解解决问题。

二、课时安排

1课时

三、复习重难点

1、分解因式及利用因式分解法解决问题。 

2、整式的合并及变形计算。 

四、教学过程

(一)知识梳理

整式的有关概念

单项式定义：数与字母的________的代数式叫做单项式，单独的一个________或一个________也是单项式

单项式次数：一个单项式中，所有字母的________             叫做这个单项式的次数

单项式系数：单项式中的            叫做单项式的系数

多项式定义：几个单项式的________叫做多项式

多项式次数：一个多项式中，_____________        _的次数，叫做这个多项式的次数

多项式系数：多项式中的每个________叫做多项式的项

整式：________________统称整式

同类项、合并同类项

同类项概念：所含字母________，并且相同字母的指数也分别________的项叫做同类项，几个常数项也是同类项

合并同类项概念：把        中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的        ，且字母部分不变

整式的运算

整式的加减实质就是____________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项

幂的运算 ：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：am·an＝________(m，n都是整数)

幂的乘方 ，底数不变，指数相乘. 即：(am)n＝________(m，n都是整数)

积的乘方 ，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：(ab)n＝________(n为整数)

同底数幂相除，底数不变，指数相减. 即：am÷an＝________(a≠0，m、n都为整数)

整式的乘法 ：

单项式与单项式相乘，把它们的              分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝               

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝                         

整式的除法：

单项式除以单项式 ，          与        分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别         这个单项式，然后把所得的商相加

乘法公式 ：

平方差公式 ：(a＋b)(a－b)＝________

完全平方公式 ：(a±b)2＝________

常用恒等变换 ：(1)a2＋b2＝____________＝____________

(2)(a－b)2＝(a＋b)2－                 

因式分解的相关概念及分解基本方法

公因式定义：一个多项式各项都含有的        的因式，叫做这个多项式各项的公因式

提取公因式法定义：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即ma＋mb＋mc＝________

运用公式法：

平方差公式a2－b2＝___________

完全平方公式a2＋2ab＋b2＝________ ，a2－2ab＋b2＝________

二次三项式x2+(p+q)x+pq=________

（二）题型、方法归纳

考点一  整式的有关概念

技巧归纳：注意单项式次数、单项式系数的概念

考点二 同类项、合并同类项

技巧归纳：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．

考点三 整式的运算

技巧归纳：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆 (3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义， 一定不能把同底数幂的指数相除．（4）整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．

考点四  因式分解的相关概念及分解基本方法

技巧归纳：

(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．

(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换

(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．

(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．

（三）典例精讲

1、如果□×3ab=3a2b，则□内应填的代数式是（    ）

A.ab         B.3ab           C.a          D.3a

答案：C

2、在下列代数式中，次数为3的单项式是(　　)

A．xy2  B．x3－y3

C．x3y  D．3xy

[解析]由单项式次数的概念可知次数为3的单项式是xy2. 所以本题选项为A.

3、如果单项式是同类项，那么a，b的值分别为(　　)

A．2，2  B．－3，2  C．2，3  D．3，2

[解析] 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得 D

点析：(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．

(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．

4、下列运算中，正确的是(　　)

A．a2·a3＝a6  B．a3÷a2＝a

C．(a3)2＝a9  D．a2＋a2＝ a5

[解析]因为a2·a3＝a2＋3＝a5，a3÷a2 ＝a3－2＝a，(a3)2＝a3×2＝a6，a2＋a2＝ 2a2.故选B.

点析：(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．

(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5 ＝a8和a3＋a3＝2a3. (am)n和an·am也容易混淆．

(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3, 一定不能把同底数幂的指数相除．

5、先化简，再求值：

(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－

[解析] 按运算法则化简代数式，再代入求值．

解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5，

当x＝－时，原式＝(－)2－5＝3－5＝－2.

点析： 整式的运算顺序是：先计算乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项，其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算．

6、分解因式(x－1)2 －2(x－1)＋1的结果是(　　)

A．(x－1)(x－2)     B. x2     C．(x＋1)2          D. (x－2)2

[解析] 首先把x－1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解．(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.

点析： (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．

(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.

(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．

(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．

7、 ①是一个长为2m，宽为2n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图3－1②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(　　)

A．2mn      B．(m＋n)2         C．(m－n)2      D．m2 －n2

[解析] 中间空的部分的面积是(m＋n)2－2m·2n＝(m＋n)2－4mn＝(m－n)2.

点析：(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键要能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．

（四）归纳小结

本部分内容要求熟练掌握整式、同类项、合并同类项的有关概念及整式的运算、因式分解的相关概念及分解基本方法。

（五）随堂检测

1、把分解因式，结果是（     ）

2、若(2x)n－81＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n的值是(   )

3、多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（   ）

4、能被下列数整除的是（   ）

5、若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．

6、当x=90.28时，8.37x+5.63x－4x=____       _____.

7、.

8、多项式24ab2－32a2b提出公因式是            .

9、已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3求：(1)ab的值；(2)a2＋b2的值．

五、板书设计

概念      法则     公式

六、作业布置

完成整式与因式分解课时作业

七、教学反思

借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。