第14讲二次函数的图象及其性质（导学案+教案+精炼）

第14讲二次函数的图象及其性质

一、知识梳理

二次函数的概念

二次函数的图象及画法

考点3   二次函数的性质

用待定系数法求二次函数的解析式

二、题型、技巧归纳

考点1二次函数的定义

例1若是二次函数，则m＝(　　)

A．7            B．－1  

C．－1或7      D．以上都不对

技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.

考点2二次函数的图象与性质

例2 

(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；

(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；

(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1<x2<1，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果)；

(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．

技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为.

(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．

考点3二次函数的解析式的求法

例3   已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解析式．

技巧归纳：

二次函数的关系式有三种：

1．一般式y＝ax2＋bx＋c；

2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；

3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．

三、随堂检测

1、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

2、设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)

A．y1＞y2＞y3  B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y2＞y1  D．y3＞y1＞y2

3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=4.9t一3.5t2 (t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是   (    ) 

A. 0．71 s             B 0．70 s　　　　   C. 0．63 s         D 0．36 s

4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是        cm2．

5、二次函数的最小值是         .

6、函数取得最大值时，______．

7、 已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为         .

参考答案

例1、A

例2、解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.

(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：

描点作图如下图．

(3)y1>y2.

(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋3＝2的根

例3、∵抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x＝＝－2，∴抛物线的顶点为P，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P，设一般式，设y＝ax2＋bx＋c，把A(－5，0)，B(1，0)，P的坐标代入，得

∴  解得

∴ 所求抛物线的关系式为y＝－x2－2x＋.

随堂检测

1、A

2、A

3、B

提示：利用顶点公式求解

4、12.5

提示：设分成x和（20-x）两段，则边长分别是和，得函数求最大值

5、－4

提示：利用顶点公式求解

6、

提示：先化为一般形式，再用顶点公式求解

7、

提示：由得，，，再利用顶点公式求解