2022年哈尔滨中考数学终极押题密卷3

这是一份2022年哈尔滨中考数学终极押题密卷3，共28页。

2022年哈尔滨中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2017•德州）﹣2的倒数是（　　）
A．−12 B．12 C．﹣2 D．2
2．（3分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）

A．45° B．30° C．25° D．15°
4．（3分）（2022•松北区一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）（2022•道外区一模）已知反比例函数y=k−1x，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k≤1 D．k＜1
6．（3分）（2022•道外区一模）将二次函数y＝3（x﹣4）2+5的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣10）2+5 B．y＝3（x+2）2+5
C．y＝3（x﹣4）2+11 D．y＝3（x﹣4）2﹣1
7．（3分）（2022•哈尔滨模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
8．（3分）（2022•哈尔滨模拟）如图，如果D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列条件中可以推出DE∥BC的有（　　）

A．ADBD=CEAE B．ADBD=DEBC C．ABBD=ACCE D．ADAB=DEBC
9．（3分）（2022•松北区一模）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（　　）
A．37 B．47 C．34 D．12
10．（3分）（2022•哈尔滨模拟）将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（　　）
A．y＝﹣2 B．y＝2 C．y＝﹣3 D．y＝3
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）（2022•道外区一模）计算27−13=　 　．
12．（3分）（2022•南岗区模拟）将129000000用科学记数法表示为 　 　．
13．（3分）（2022•松北区一模）在函数y=xx−5中，自变量x的取值范围是 　 　．
14．（3分）（2022•松北区一模）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是　 　．
15．（3分）（2022•哈尔滨模拟）不等式组x−1≤22x+5＞1的解集是　 　．
16．（3分）（2022•南岗区模拟）反比例函数y=k+3x的图象经过点（1，﹣2），则k的值是　 　．
17．（3分）（2021•饶平县校级模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 　 　．
18．（3分）（2022•哈尔滨模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为　 　．
19．（3分）（2022•松北区一模）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝AC，若tan∠CAD=43，△ABC的面积为20，则线段AB的长为 　 　．

20．（3分）（2022•南岗区模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，△ABC的面积为123，则∠A＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2022•道外区一模）先化简，再求值．
aa2−1÷（1+1a−1），其中a＝2cos30°﹣tan45°．
22．（7分）（2022•道外区一模）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
23．（8分）（2022•哈尔滨模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）画出一个以AB为一直角边的Rt△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE＝45°；
（2）画出一个以CD为一边的菱形CDMN，点M、N均在小正方形的顶点上，且菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍，连接EN，请直接写出线段EN的长．

24．（8分）（2022•南岗区模拟）为了解某校九年级学生数学期末考试情况，随机抽取了部分学生的数学成绩（分数都为整数）为样本，分为A（120～108分）、B（107～96分）、C（95～72分）、D（71～0分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）该校九年级共有学生300人，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为A等级的学生人数有多少人？

25．（10分）（2022•松北区一模）已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．
（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；
（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．

26．（10分）（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为AD上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH=10，求线段BD的长．


27．（10分）（2022•南岗区模拟）已知：在平面直角坐标系中，直线y＝kx+5分别交x轴负半轴、y轴于点A、B，且OA＝OB．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点C为点A关于y轴的对称点，点E是∠BAC的内部一点，四边形BECD为平行四边形，且点D在线段AE的延长线上，求∠CAD的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AE﹣ED＝CD，求点D的坐标．



2022年哈尔滨中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2017•德州）﹣2的倒数是（　　）
A．−12 B．12 C．﹣2 D．2
【考点】倒数．
【专题】常规题型．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是−12．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（3分）（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（　　）

A．45° B．30° C．25° D．15°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC＝AC′，又∠CAC′＝90°，根据△CAC′的特性解题．
【解答】解：由旋转的性质可知，AC＝AC′，
又∠CAC′＝90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
所以，∠CC′A＝45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′＝∠AB′C′＝∠B＝60°，
∴∠CC′B′＝15°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角．
4．（3分）（2022•松北区一模）七个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体三视图的画法，画出这个组合体的左视图即可．
【解答】解：这个组合体的左视图如下：

故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的前提．
5．（3分）（2022•道外区一模）已知反比例函数y=k−1x，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k≤1 D．k＜1
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】根据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=k−1x中，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
6．（3分）（2022•道外区一模）将二次函数y＝3（x﹣4）2+5的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣10）2+5 B．y＝3（x+2）2+5
C．y＝3（x﹣4）2+11 D．y＝3（x﹣4）2﹣1
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝3（x﹣4）2+5的图象向上平移6个单位后得到的函数解析式为y＝3（x﹣4）2+5+6，即：y＝3（x﹣4）2+11．
故选：C．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（3分）（2022•哈尔滨模拟）下列计算正确的是（　　）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：∵（x﹣8y）（x﹣y）＝x2﹣9xy+8y2，故选项A错误；
∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；
∵﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3﹣x2+x，故选项C错误；
∵（6xy+18x）÷x＝6y+18，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
8．（3分）（2022•哈尔滨模拟）如图，如果D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列条件中可以推出DE∥BC的有（　　）

A．ADBD=CEAE B．ADBD=DEBC C．ABBD=ACCE D．ADAB=DEBC
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由ADBD=CEAE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；
B．由ADBD=DEBC不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；
C．由ABBD=ACCE，能得到DE∥BC，故本选项合题意；
D．由ADAB=DEBC，能得到DE∥BC，故本选项符不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
9．（3分）（2022•松北区一模）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（　　）
A．37 B．47 C．34 D．12
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是红球的有4种结果，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为47，
故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．（3分）（2022•哈尔滨模拟）将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（　　）
A．y＝﹣2 B．y＝2 C．y＝﹣3 D．y＝3
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
【解答】解；将y＝﹣（x+4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x+4﹣2）2+1﹣3，即y＝﹣（x+2）2﹣2．
所以其顶点坐标是（﹣2，﹣2）．
由于该函数图象开口方向向下，
所以，所得函数的最大值是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）（2022•道外区一模）计算27−13=　833　．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．
【解答】解：原式＝33−33=833．
故答案为：833．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
12．（3分）（2022•南岗区模拟）将129000000用科学记数法表示为 　1.29×108　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：129000000＝1.29×108．
故答案为：1.29×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2022•松北区一模）在函数y=xx−5中，自变量x的取值范围是 　x≠5　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣5≠0，
∴x≠5．
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
14．（3分）（2022•松北区一模）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是　﹣3　．
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（2，﹣3），也就是当x＝2时，函数有最大值﹣3．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴此函数的顶点坐标是（2，﹣3），且抛物线开口方向向下，即当x＝2时，函数有最大值﹣3．
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
15．（3分）（2022•哈尔滨模拟）不等式组x−1≤22x+5＞1的解集是　﹣2＜x≤3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：x−1≤2①2x+5＞1②
∵解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3，
故答案为：﹣2＜x≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
16．（3分）（2022•南岗区模拟）反比例函数y=k+3x的图象经过点（1，﹣2），则k的值是　﹣5　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将点（1，﹣2）代入y=k+3x，即可求出k的值．
【解答】解：将点（1，﹣2）代入y=k+3x得，k+3＝1×（﹣2），
解得k＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
17．（3分）（2021•饶平县校级模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 　14　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
∴恰好均为正面向上的概率是14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（3分）（2022•哈尔滨模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为　11或10　．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【解答】解：当角B翻折时，B点与D点重合，DE与EC的和就是BC，也就是说等于8，CD为AC的一半，故△CDE的周长为8+3＝11；
当A翻折时，A点与D点重合．同理DE与EC的和为AC＝6，CD为BC的一半，所以CDE的周长为6+4＝10．故△CDE的周长为10或11．
【点评】本题考查图形的翻折变换．
19．（3分）（2022•松北区一模）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝AC，若tan∠CAD=43，△ABC的面积为20，则线段AB的长为 　65　．

【考点】解直角三角形；三角形的面积．
【专题】解直角三角形及其应用．
【分析】过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AG⊥BC于点G，根据已知条件求出AD，AH和CH的值，再根据勾股定理求出CD的长，根据三角形的面积求出AG，再根据勾股定理求AB即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AD于点H，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：

则有∠AHC＝∠AGD＝90°，
∵tan∠CAD=43，
∴CH：AH＝4：3，
设CH＝4x，AH＝3x，
根据勾股定理得AC＝5x，
∵△ABC的面积为20，且AD为BC边上的中线，
∴△ADC的面积为10，
∵AD＝AC＝5x，
∴S△ADC=12⋅5x⋅4x=10，
解得x＝1，
∴CH＝4，AH＝3，AD＝AC＝5，
∴DH＝5﹣3＝2，
根据勾股定理得CD=25，
∵AD＝AC，
∴DG=5，
∴BG＝35，
又∵△ADC的面积=12AG⋅DC，
∴AG=25，
根据勾股定理，得AB=65，
故答案为：65．
【点评】本题考查了解直角三角形，涉及三角形的面积公式，勾股定理以及三角函数，三角形中线的性质等，本题综合性较强．
20．（3分）（2022•南岗区模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，△ABC的面积为123，则∠A＝　60°或120°　．
【考点】解直角三角形；三角形的面积．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】分两种情形：∠A的锐角或钝角，分别求解
【解答】解：如图1中，当∠A是锐角时，过点B作BH⊥AC于H．
∵S△ABC=12•AC•BH，
∴BH=2438=33，
∴sinA=BHAB=336=32，
∴∠A＝60°，
如图2中，当∠A是锐角时，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于H．
同法可得sin∠BAH=32，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：60°或120°．

【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2022•道外区一模）先化简，再求值．
aa2−1÷（1+1a−1），其中a＝2cos30°﹣tan45°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：aa2−1÷（1+1a−1）
=a(a+1)(a−1)÷a−1+1a−1
=a(a+1)(a−1)•a−1a
=1a+1，
∵a＝2cos30°﹣tan45°
＝2×32−1
=3−1，
∴当a=3−1时，原式=13−1+1=13=33．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22．（7分）（2022•道外区一模）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用．
【分析】（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据“若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，乙种纪念品花了（140a﹣45）元，根据“两种纪念品的总资金不超过8355元”，列出关于a的一元一次不等式，解之，取最大值，再代入140a−4515，如果为整数，即为所求答案．
【解答】解：（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意得：
x+2y=1702x+y=295，
解得：
x=140y=15，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
（2）设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，
乙种纪念品花了（140a﹣45）元，
根据题意得：
140a+（140a﹣45）≤8355，
解得：a≤30，
∵a为整数，
∴a最大为30，
当a＝30时，乙种纪念品的件数为：140×30−4515=277，是整数，
∴a最大为30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）正确找出等量关系，列出二元一次方程组，（2）正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
23．（8分）（2022•哈尔滨模拟）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）画出一个以AB为一直角边的Rt△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE＝45°；
（2）画出一个以CD为一边的菱形CDMN，点M、N均在小正方形的顶点上，且菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍，连接EN，请直接写出线段EN的长．

【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；尺规作图；推理能力．
【分析】（1）画出一个以AB为一直角边的Rt△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE＝45°即可；
（2）画出一个以CD为一边的菱形CDMN，点M、N均在小正方形的顶点上，且菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍即可．根据勾股定理即可直接写出线段EN的长．
【解答】
解：如图所示：
（1）Rt△ABE即为所求作的图形，且∠BAE＝45°；
（2）菱形CDMN即为所求作的图形，且菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍．
连接EN，线段EN的长为5．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理及其逆定理．解决本题的关键是菱形CDMN的面积是△ABE面积的4倍．
24．（8分）（2022•南岗区模拟）为了解某校九年级学生数学期末考试情况，随机抽取了部分学生的数学成绩（分数都为整数）为样本，分为A（120～108分）、B（107～96分）、C（95～72分）、D（71～0分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题：
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）该校九年级共有学生300人，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为A等级的学生人数有多少人？

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据C等级的人数是20，所占的百分比是50%，即可求得总人数；
（2）利用总人数减去其它各组的人数，即可求得B级的人数，从而补全统计图；
（3）利用总人数300乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有人数是：20÷50%＝40（人）；
（2）B等级人数：40﹣6﹣20﹣4＝10（人），
补图如下：
；
（3）根据题意得：
300×640=45（人）．
答：这次九年级学生期末数学考试成绩为A等级的学生有45人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（10分）（2022•松北区一模）已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．
（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；
（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．

【考点】矩形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）证明△ADF≌△CEF（AAS），得AD＝CE，再证四边形AECD为平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AE⊥BC，则∠AEC＝90°，即可得出结论；
（2）先证S△CEF＝S△BEF，再证S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF，然后由矩形的性质得EF＝DF，则S△AEF＝S△ADF，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠FCE，∠FDA＝∠FEC，
在△ADF和△CEF中，
∠FAD=∠FCE∠FDA=∠FECAF=CF，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AB＝AC，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD为矩形；
（2）解：图2中与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．理由如下：
∵点E为BC的中点，
∴S△CEF＝S△BEF，
∵AF＝CF，
∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF，
由（1）可知，四边形AECD是矩形，
∴EF＝DF，
∴S△AEF＝S△ADF，
∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，
即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
26．（10分）（2022•南岗区模拟）已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点E，AC平分∠BAD．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接OC交BD于点F，点G为AD上一点，AG＝BC，求证：∠GAB＝∠ACO+90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线交DG的延长线于点H，若∠HAB＝135°，EF＝1，GH=10，求线段BD的长．


【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；
（2）连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，利用圆周角定理和平行线的判定定理可得AC∥DG，再利用等腰梯形的性质和直角三角形的性质即可得出结论；
（3）通过证明△AGH≌△DCE可得CE＝HG=10，利用勾股定理可得CF；利用切线的性质定理和（2）的结论通过计算可得∠OAB＝45°．，利用圆周角定理可得∠ACB＝45°，设BE＝x，则BF＝x+1，BM=BE2−EM2=x2−5，则BC＝BM+CM=x2−5+5，利用勾股定理列出方程即可求得x值，最后利用垂径定理可得BD＝2BF．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC．
∴BC=CD．
∴BC＝CD．
（2）证明：连接DG，OD，过点O作OH⊥CD于点H，如图，

∵OC＝OD，OH⊥CD，
∴∠COH=12∠COD．
∵∠CAD=12∠COD，
∴∠COH＝∠CAD．
∵AG＝BC，BC＝CD，
∴BC＝CD＝AG．
∴BC=CD=AG．
∴∠BAC＝∠CAD＝∠ADG＝∠COH．
∵∠CAD＝∠ADG，
∴AC∥DG．
∵AG＝CD，
∴四边形ACDG为等腰梯形．
∴∠GAC＝∠DCA，
∵∠DCA＝∠ACO+∠OCD，
∴∠GAC＝∠ACO+∠OCD．
∵OH⊥CD，
∴∠COH+∠OCD＝90°．
∴∠OCD+∠BAC＝90°．
∴∠BAG＝∠BAC+∠CAG＝∠BAC+∠ACO+∠OCD＝90°+∠ACO．
（3）解：连接OA，OB，过点E作EM⊥BC于点M，如图，

∵AH是⊙O的切线，
∴∠HAG＝∠ADG．
∵AG＝BC，
∴∠ADG＝∠BDC．
∴∠HAG＝∠BDC．
∵∠AGD+∠ACD＝180°，∠AGH+∠AGD＝180°，
∴∠AGH＝∠ACD．
在△AGH和△DCE中，
∠HAG=∠BDCAG=CD∠AGH=∠ACD，
∴△AGH≌△DCE（ASA）．
∴GH＝EC=10．
∵BC=CD，
∴OF⊥CD．
∴CF=CE2−FE2=10−1=3．
∵AH是⊙O的切线，
∴OA⊥AH．
∴∠OAH＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠HAC＝∠HAO+∠CAO＝90°+∠ACO．
∵∠GAB＝∠ACO+90°，
∴∠HAC＝∠GAB．
∴∠BAC＝∠HAG．
∵∠HAB＝135°，
∴∠OAB+∠OAH＝135°．
∴∠OAB＝45°．
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°．
∵EM⊥BC，
∴EM＝MC=22CE=22×10=5．
设BE＝x，则BF＝x+1，BM=BE2−EM2=x2−5．
∴BC＝BM+CM=x2−5+5．
在Rt△BCF中，
∵BF2+CF2＝BC2，
∴(x+1)2+32=(x2−5+5)2．
解得：x＝5或−52．
经检验它们都是原方程的根，但x=−52不合题意舍去，
∴x＝5．
∴BF＝BE+EF＝6．
∵OF⊥BD，
∴BF＝FD=12BD．
∴BD＝2BF＝12．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰梯形的判定与性质．连接圆的半径，利用同圆的半径相等是解决此类问题常添加的辅助线．
27．（10分）（2022•南岗区模拟）已知：在平面直角坐标系中，直线y＝kx+5分别交x轴负半轴、y轴于点A、B，且OA＝OB．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点C为点A关于y轴的对称点，点E是∠BAC的内部一点，四边形BECD为平行四边形，且点D在线段AE的延长线上，求∠CAD的正切值；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AE﹣ED＝CD，求点D的坐标．


【考点】一次函数综合题．
【专题】待定系数法；一次函数及其应用；几何直观；推理能力；应用意识．
【分析】（1）首先求出A点坐标，运用待定系数法求解即可；
（2）连接BC，由四边形BECD为平行四边形可得ED和BC互相平分，所以直线AD经过BC的重点，接着求出直线AD的解析式即可求出∠CAD的正切值；
（3）利用辅助线证明△BAF和△BCD全等，然后再利用△AGD和△DGC相似，利用对应边成比例表示出相关的边即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+5分别交x轴负半轴、y轴于点A、B，
∴B点坐标为（0，5），
∵OA＝OB，
∴A（﹣5，0），
将A（﹣5，0）代入，
得0＝﹣5k+5，
解得k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+5；
（2）如图，连接BC，与ED交点K，过点K作KL⊥x轴于L，

∵四边形BECD为平行四边形，点C为点A关于y轴的对称点，
∴ED与BC互相平分，点C的坐标为（5，0），
∴K为BC中点，
∴KL为Rt△BOC的边BO的中位线，
∴KL=12OB=52，OL=12OC=52，
∴AL＝AO+OL=152，
∴tan∠CAD=KLAL=13；
（3）如图，在AD的延长线取一点H使DH＝CD，连接OE，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BE于点N，过点D作DK⊥AC于点K，

∵AE﹣ED＝CD，
∴AE＝EH，
∵AO＝OC，
∴OE∥CH，
∴∠AEO＝∠AHC，
∵∠AEN＝∠ADC＝2∠AHC，
∴∠AEO＝∠OEN，
∴△OME≌△ONE（AAS），
∴OM＝ON，
∵OA＝OB，∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴△AMO≌△BNO（HL），
∴∠OAM＝∠OBN，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
由（2）可知：
BK=12BC=12AB，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ABC＝90°
∴tan∠BAE=BKAB=12，
∵AB＝52，
∴BE=10，
∴CD＝BE=10，
∵∠CAD+∠ADK＝∠CDK+∠ADK＝90°，
∴tan∠CDK＝tan∠CAD=13，
∴CK＝1，DK＝3，
∴AK＝9，
∴OK＝4，
∴D（4，3）．
【点评】本题考查一次函数相关知识点，涉及平行四边形，全等三角形以及锐角三角函数，综合性比较强，解题的关键是利用辅助线推导出∠ADC＝90°，属于中考必考题型