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2022年江西中考数学终极押题密卷2
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这是一份2022年江西中考数学终极押题密卷2，共31页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
2022年江西中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2015•巴中）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．﹣2
2．（3分）（2018•德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）（2022•滨海新区一模）计算4m+3m+1−4mm+1的结果为（ ）
A．1 B．3 C．3m+1 D．m+3m+1
4．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
5．（3分）（2022•高安市一模）如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（ ）
A．高 B．同 C．创 D．安
6．（3分）（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．3 C．3−3 D．1+3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2021•成都）因式分解：x2﹣4＝ ．
8．（3分）（2012•盐城）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 ．
9．（3分）（2022•瑞金市模拟）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为 ．
10．（3分）（2022•乐安县一模）如图，将一张边长为1的正方形的纸片（图①），将其沿虚线对折一次得图②，再沿图②中的虚线对折得图③，然后用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形的面积为 ．
11．（3分）（2022•吉安一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），点D在直线BC上，BD＝1，点P是y轴上一动点，若AP⊥DP，则点P的坐标是 ．
12．（3分）（2022•高安市一模）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•寻乌县模拟）解不等式组2x+1≥−33(x−1)+1＜2，并在数轴上表示出解集．
14．（6分）（2022•高安市一模）计算：
（1）（−12）0+|3−2|+tan60°；
（2）2m−4m2−4÷m−1m+2−1m−1．
15．（6分）（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．
16．（6分）（2022•乐安县一模）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
17．（6分）（2022•吉安一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
18．（8分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
19．（8分）（2017•台州）家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ ，n＝ ；
②补全条形统计图；
③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
20．（8分）（2022•乐安县一模）如图，反比例函数y1=kx（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
21．（9分）（2022•高安市一模）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD=3，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
22．（9分）（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=13x2+bx−32的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（12分）（2022•乐安县一模）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 ；
②AGBE的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
2022年江西中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2015•巴中）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．﹣2
【考点】倒数．
【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是−12．
【解答】解：﹣2的倒数是−12．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2018•德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，此选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项错误；
C、（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9，此选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
3．（3分）（2022•滨海新区一模）计算4m+3m+1−4mm+1的结果为（ ）
A．1 B．3 C．3m+1 D．m+3m+1
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据同分母的分式减法法则求出即可．
【解答】解：4m+3m+1−4mm+1
=4m+3−4mm+1
=3m+1，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
4．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，
A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为83+852=84，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为82+82+83+85+86+926=85，
所以方差为16×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意；
D、由C选项知此选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
5．（3分）（2022•高安市一模）如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（ ）
A．高 B．同 C．创 D．安
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；几何直观．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
【解答】解：有“三”字一面的相对面上的字是：高，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．3 C．3−3 D．1+3
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】设C'D'与AD交于M，连接BM，边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，可得AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，从而有△ABM≌△C'BM（HL），即得∠ABM＝∠C'BM＝30°，AM=AB3=1，可得S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，故S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3．
【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：
∵边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，
∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△C'BM（HL），
∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=AB3=1，
∴S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，
∴S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3，
故选：C．
【点评】本题考查正方形中的旋转，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2021•成都）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
8．（3分）（2012•盐城）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（3分）（2022•瑞金市模拟）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为 10 ．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．
【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，
所以n为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
10．（3分）（2022•乐安县一模）如图，将一张边长为1的正方形的纸片（图①），将其沿虚线对折一次得图②，再沿图②中的虚线对折得图③，然后用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形的面积为 89 ．
【考点】剪纸问题．
【专题】推理填空题；操作型；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．进而即可求出打开后的几何图形的面积．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，如图所示，
用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形如图所示：
∵MN∥AB，
∴MNAB=13，
∴MN=13AB=13，
∴打开后的几何图形的面积＝12﹣（13）2=89．
故答案为：89．
【点评】本题主要考查剪纸问题，解决本题的关键是考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
11．（3分）（2022•吉安一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），点D在直线BC上，BD＝1，点P是y轴上一动点，若AP⊥DP，则点P的坐标是 （0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先由已知得出D1（﹣1，﹣4），D2（1，﹣4），然后由D点的位置分类讨论，再设点P（0，y），从而根据勾股定理列出方程，求出每种情况下点P的坐标．
【解答】解：∵B，C两点的坐标分别为B（0，﹣4），C（4，﹣4）
∴BC∥x轴，
∵点D在直线BC上，BD＝1
∴D1（1，﹣4），D2（﹣1，﹣4）
设点P（0，y），则AP=16+y2，
如图1，当点D在D1处时，AD=41，DP=1+(y+4)2，
∵AP⊥DP，
∴∠APD＝90°，
∴AD2＝AP2+DP2，即41＝16+y2+1+（y+4）2，
解得：y＝﹣2+22或y＝﹣2﹣22，
∴P1（0，﹣2+22）或P2（0，﹣2﹣22）；
如图2，当点D在D2处时，AD＝5，DP=1+(y+4)2，
∵AP⊥DP，
∴∠APD＝90°，
∴AD2＝AP2+DP2，即25＝16+y2+1+（y+4）2，
解得：y＝﹣2，
∴P3（0，﹣2）；
综上所述：点P的坐标为（0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角画出图形，找到对应的点P个数．
12．（3分）（2022•高安市一模）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 6+2 ．
【考点】勾股定理；一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=2．
令y＝0，则x=−2，
则A（−2，0），B（0，2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(2)2+(2)2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=3+1，
∴AC=2x=2（3+1）=6+2，
故答案是：6+2．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•寻乌县模拟）解不等式组2x+1≥−33(x−1)+1＜2，并在数轴上表示出解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x+1≥﹣3，得：x≥﹣2，
解不等式3（x﹣1）+1＜2，得：x＜43，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜43，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（6分）（2022•高安市一模）计算：
（1）（−12）0+|3−2|+tan60°；
（2）2m−4m2−4÷m−1m+2−1m−1．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）先去绝对值、计算零指数幂、把特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）将除化为乘，分子分母分解因式，约分后再计算加减法．
【解答】解：（1）原式＝1+2−3+3
＝3；
（2）原式=2(m−2)(m+2)(m−2)•m+2m−1−1m−1
=2m−1−1m−1
=1m−1．
【点评】本题考查实数计算及分式化简，解题的关键是掌握去绝对值法则、零指数幂计算、特殊角三角函数值及分式的约分等知识．
15．（6分）（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据全等三角形的判定，证得△AEF≌△DCE，再根据全等三角形的性质，证得ED＝AF，进而得证；
（2）根据全等三角形的判定方法，证明△AEF≌△BHF，进而求得HB＝AB＝AE＝4，再利用勾股定理求出AH的值即可．
【解答】（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC，
∵AE＝DC，
∴△AEF≌△DCE．
∴ED＝AF，
∵AE＝DC＝AB＝2DE，
∴AB＝2AF，
∴F为AB的中点；
（2）解：由（1）知AF＝FB，且AE∥BH，
∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，
∴HB＝AE，
∵ED＝2，且AE＝2ED，
∴AE＝4，
∴HB＝AB＝AE＝4，
∴AH2＝AB2+BH2＝16+16＝32，
∴AH=42．
【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的综合应用，解决此类问题的关键是能灵活运用相关的性质找出相等的线段．
16．（6分）（2022•乐安县一模）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 13 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小颖从A测温通道通过的概率为13，
故答案为：13；
（2）列表格如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小明从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小颖和小明从同一个测温通道通过的概率为39=13．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）（2022•吉安一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且互相平分且相等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）结合（1）根据正方形的性质可得△ABE≌△ADM，可得AE＝AM，即可在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，四边形AECF即为所求；
（2）如图，三角形AEM即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，
依题意得：6x+5y=1143x+7y=111，
解得：x=9y=12．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，
依题意得：9×9×m10+8×12×m10=141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．（8分）（2017•台州）家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ③ ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ 20 ，n＝ 6 ；
②补全条形统计图；
③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【考点】条形统计图；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．
（2）①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%＝1000（户），
m%=2001000=20%，m＝20，
n%=601000=6%，n＝6．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）＝100，
条形统计图补充如下：
③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④180×10%＝18（万户）．
若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
20．（8分）（2022•乐安县一模）如图，反比例函数y1=kx（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，得出△BNC∽△AMC，根据相似三角形的性质求得AM＝9，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1=kx（x＞0）过点B（3，3），
∴k＝3×3＝9，
∴反比例函数解析式为y=9x；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，
∴△BNC∽△AMC，
∴BNAM=BCAC，
∵点B（3，3），
∴BN＝3，
∵AB＝2BC，
∴BNAM=BCAC=13，
∴AM＝9，
∴A的纵坐标为9，
把y＝9代入y=9x得，x＝1，
∴A（1，9），
把A、B代入y2＝ax+b得a+b=93a+b=3，
解得a=−3b=12，
∴直线AB解析式为y＝﹣3x+12；
（3）由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标以及数形结合是解题的关键．
21．（9分）（2022•高安市一模）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD=3，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）①连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，于是得到结论；
②根据矩形的性质得到EF＝CD，根据勾股定理得到AE＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）解：直线CD与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵EC=BC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：∵EC=BC，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
②解：∵四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD=3，
∴BE＝23，
∴AE=AB2−BE2=42−(23)2=2，
∴AE=12AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵EC=BC，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE=33CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×3×3−60⋅π×22360=332−2π3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（9分）（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=13x2+bx−32的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA＝CK，OB＝AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH求解即可；
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴13x2+bx−32=1，解得：b=−16，
∴二次函数的解析式为y=13x2−16x−32
y=13x2−16x−32=13（x2−12x+116−116）−32=13（x−14）2−7348
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2=13m2−16m−32，解得m＝﹣3（舍去）或m=72．
∴AB=OB2+AO2=5．
∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH=72×2+12×5×5=9.5
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
23．（12分）（2022•乐安县一模）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 正方形 ；
②AGBE的值为 2 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据正方形的判定和性质解决问题即可；
（2）结论：AG=2BE．证明△ACG∽△BCE，可得AGBE=CGEC=2；
（3）结论：AG⊥GE，证明∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，可得结论．
【解答】解：（1）①正方形 ②2．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC=2BC，CG=2EC，
∴AG＝AC﹣CG=2（BC﹣EC）=2BE，
∴AGBE=2．
故答案为：正方形，2．
（2）结论：AG=2BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ACBC=2，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴CGCE=2，
∴ACBC=CGEC=2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CGEC=2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2BE；
（3）结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、正确寻找相似三角形解决问题
2022年江西中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2015•巴中）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．﹣2
2．（3分）（2018•德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）（2022•滨海新区一模）计算4m+3m+1−4mm+1的结果为（ ）
A．1 B．3 C．3m+1 D．m+3m+1
4．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
5．（3分）（2022•高安市一模）如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（ ）
A．高 B．同 C．创 D．安
6．（3分）（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．3 C．3−3 D．1+3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2021•成都）因式分解：x2﹣4＝ ．
8．（3分）（2012•盐城）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 ．
9．（3分）（2022•瑞金市模拟）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为 ．
10．（3分）（2022•乐安县一模）如图，将一张边长为1的正方形的纸片（图①），将其沿虚线对折一次得图②，再沿图②中的虚线对折得图③，然后用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形的面积为 ．
11．（3分）（2022•吉安一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），点D在直线BC上，BD＝1，点P是y轴上一动点，若AP⊥DP，则点P的坐标是 ．
12．（3分）（2022•高安市一模）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 ．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•寻乌县模拟）解不等式组2x+1≥−33(x−1)+1＜2，并在数轴上表示出解集．
14．（6分）（2022•高安市一模）计算：
（1）（−12）0+|3−2|+tan60°；
（2）2m−4m2−4÷m−1m+2−1m−1．
15．（6分）（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．
16．（6分）（2022•乐安县一模）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
17．（6分）（2022•吉安一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
18．（8分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
19．（8分）（2017•台州）家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ ，n＝ ；
②补全条形统计图；
③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
20．（8分）（2022•乐安县一模）如图，反比例函数y1=kx（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
21．（9分）（2022•高安市一模）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD=3，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
22．（9分）（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=13x2+bx−32的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．（12分）（2022•乐安县一模）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 ；
②AGBE的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
2022年江西中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2015•巴中）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．﹣2
【考点】倒数．
【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是−12．
【解答】解：﹣2的倒数是−12．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2018•德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（﹣2a2）3＝﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式．
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，此选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项错误；
C、（a﹣3）（3+a）＝a2﹣9，此选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
3．（3分）（2022•滨海新区一模）计算4m+3m+1−4mm+1的结果为（ ）
A．1 B．3 C．3m+1 D．m+3m+1
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据同分母的分式减法法则求出即可．
【解答】解：4m+3m+1−4mm+1
=4m+3−4mm+1
=3m+1，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
4．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，
A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为83+852=84，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为82+82+83+85+86+926=85，
所以方差为16×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意；
D、由C选项知此选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
5．（3分）（2022•高安市一模）如图，是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“三”字一面的相对面上的字是（ ）
A．高 B．同 C．创 D．安
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；几何直观．
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
【解答】解：有“三”字一面的相对面上的字是：高，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．3 C．3−3 D．1+3
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】设C'D'与AD交于M，连接BM，边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，可得AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，从而有△ABM≌△C'BM（HL），即得∠ABM＝∠C'BM＝30°，AM=AB3=1，可得S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，故S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3．
【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：
∵边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，
∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△C'BM（HL），
∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=AB3=1，
∴S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，
∴S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3，
故选：C．
【点评】本题考查正方形中的旋转，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2021•成都）因式分解：x2﹣4＝ （x+2）（x﹣2） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
8．（3分）（2012•盐城）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（3分）（2022•瑞金市模拟）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为 10 ．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．
【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，
所以n为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
10．（3分）（2022•乐安县一模）如图，将一张边长为1的正方形的纸片（图①），将其沿虚线对折一次得图②，再沿图②中的虚线对折得图③，然后用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形的面积为 89 ．
【考点】剪纸问题．
【专题】推理填空题；操作型；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．进而即可求出打开后的几何图形的面积．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，如图所示，
用剪刀沿图③中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形如图所示：
∵MN∥AB，
∴MNAB=13，
∴MN=13AB=13，
∴打开后的几何图形的面积＝12﹣（13）2=89．
故答案为：89．
【点评】本题主要考查剪纸问题，解决本题的关键是考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
11．（3分）（2022•吉安一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），点D在直线BC上，BD＝1，点P是y轴上一动点，若AP⊥DP，则点P的坐标是 （0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先由已知得出D1（﹣1，﹣4），D2（1，﹣4），然后由D点的位置分类讨论，再设点P（0，y），从而根据勾股定理列出方程，求出每种情况下点P的坐标．
【解答】解：∵B，C两点的坐标分别为B（0，﹣4），C（4，﹣4）
∴BC∥x轴，
∵点D在直线BC上，BD＝1
∴D1（1，﹣4），D2（﹣1，﹣4）
设点P（0，y），则AP=16+y2，
如图1，当点D在D1处时，AD=41，DP=1+(y+4)2，
∵AP⊥DP，
∴∠APD＝90°，
∴AD2＝AP2+DP2，即41＝16+y2+1+（y+4）2，
解得：y＝﹣2+22或y＝﹣2﹣22，
∴P1（0，﹣2+22）或P2（0，﹣2﹣22）；
如图2，当点D在D2处时，AD＝5，DP=1+(y+4)2，
∵AP⊥DP，
∴∠APD＝90°，
∴AD2＝AP2+DP2，即25＝16+y2+1+（y+4）2，
解得：y＝﹣2，
∴P3（0，﹣2）；
综上所述：点P的坐标为（0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2+22）或（0，﹣2﹣22）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角画出图形，找到对应的点P个数．
12．（3分）（2022•高安市一模）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为 6+2 ．
【考点】勾股定理；一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=2．
令y＝0，则x=−2，
则A（−2，0），B（0，2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(2)2+(2)2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=3+1，
∴AC=2x=2（3+1）=6+2，
故答案是：6+2．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2022•寻乌县模拟）解不等式组2x+1≥−33(x−1)+1＜2，并在数轴上表示出解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x+1≥﹣3，得：x≥﹣2，
解不等式3（x﹣1）+1＜2，得：x＜43，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜43，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（6分）（2022•高安市一模）计算：
（1）（−12）0+|3−2|+tan60°；
（2）2m−4m2−4÷m−1m+2−1m−1．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）先去绝对值、计算零指数幂、把特殊角三角函数值代入，再计算即可；
（2）将除化为乘，分子分母分解因式，约分后再计算加减法．
【解答】解：（1）原式＝1+2−3+3
＝3；
（2）原式=2(m−2)(m+2)(m−2)•m+2m−1−1m−1
=2m−1−1m−1
=1m−1．
【点评】本题考查实数计算及分式化简，解题的关键是掌握去绝对值法则、零指数幂计算、特殊角三角函数值及分式的约分等知识．
15．（6分）（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据全等三角形的判定，证得△AEF≌△DCE，再根据全等三角形的性质，证得ED＝AF，进而得证；
（2）根据全等三角形的判定方法，证明△AEF≌△BHF，进而求得HB＝AB＝AE＝4，再利用勾股定理求出AH的值即可．
【解答】（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC，
∵AE＝DC，
∴△AEF≌△DCE．
∴ED＝AF，
∵AE＝DC＝AB＝2DE，
∴AB＝2AF，
∴F为AB的中点；
（2）解：由（1）知AF＝FB，且AE∥BH，
∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，
∴HB＝AE，
∵ED＝2，且AE＝2ED，
∴AE＝4，
∴HB＝AB＝AE＝4，
∴AH2＝AB2+BH2＝16+16＝32，
∴AH=42．
【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的综合应用，解决此类问题的关键是能灵活运用相关的性质找出相等的线段．
16．（6分）（2022•乐安县一模）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 13 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小颖从A测温通道通过的概率为13，
故答案为：13；
（2）列表格如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小明从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小颖和小明从同一个测温通道通过的概率为39=13．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）（2022•吉安一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且互相平分且相等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
（2）结合（1）根据正方形的性质可得△ABE≌△ADM，可得AE＝AM，即可在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
【解答】解：（1）如图，四边形AECF即为所求；
（2）如图，三角形AEM即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，
依题意得：6x+5y=1143x+7y=111，
解得：x=9y=12．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，
依题意得：9×9×m10+8×12×m10=141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．（8分）（2017•台州）家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是 ③ ．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m＝ 20 ，n＝ 6 ；
②补全条形统计图；
③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【考点】条形统计图；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调查的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．
（2）①抽样调查的家庭总户数为：80÷8%＝1000（户），
m%=2001000=20%，m＝20，
n%=601000=6%，n＝6．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）＝100，
条形统计图补充如下：
③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④180×10%＝18（万户）．
若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
20．（8分）（2022•乐安县一模）如图，反比例函数y1=kx（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，得出△BNC∽△AMC，根据相似三角形的性质求得AM＝9，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1=kx（x＞0）过点B（3，3），
∴k＝3×3＝9，
∴反比例函数解析式为y=9x；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，
∴△BNC∽△AMC，
∴BNAM=BCAC，
∵点B（3，3），
∴BN＝3，
∵AB＝2BC，
∴BNAM=BCAC=13，
∴AM＝9，
∴A的纵坐标为9，
把y＝9代入y=9x得，x＝1，
∴A（1，9），
把A、B代入y2＝ax+b得a+b=93a+b=3，
解得a=−3b=12，
∴直线AB解析式为y＝﹣3x+12；
（3）由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标以及数形结合是解题的关键．
21．（9分）（2022•高安市一模）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC=BC，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，若AB＝4，CD=3，
①求证：四边形DEFC是矩形；②求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据EC=BC，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）①连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，于是得到结论；
②根据矩形的性质得到EF＝CD，根据勾股定理得到AE＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）解：直线CD与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵EC=BC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：∵EC=BC，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
②解：∵四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD=3，
∴BE＝23，
∴AE=AB2−BE2=42−(23)2=2，
∴AE=12AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵EC=BC，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE=33CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×3×3−60⋅π×22360=332−2π3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（9分）（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=13x2+bx−32的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA＝CK，OB＝AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH求解即可；
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴13x2+bx−32=1，解得：b=−16，
∴二次函数的解析式为y=13x2−16x−32
y=13x2−16x−32=13（x2−12x+116−116）−32=13（x−14）2−7348
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2=13m2−16m−32，解得m＝﹣3（舍去）或m=72．
∴AB=OB2+AO2=5．
∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH=72×2+12×5×5=9.5
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
23．（12分）（2022•乐安县一模）综合与实践
如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
【证明与推断】
（1）①四边形CEGF的形状是 正方形 ；
②AGBE的值为 2 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据正方形的判定和性质解决问题即可；
（2）结论：AG=2BE．证明△ACG∽△BCE，可得AGBE=CGEC=2；
（3）结论：AG⊥GE，证明∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，可得结论．
【解答】解：（1）①正方形 ②2．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC=2BC，CG=2EC，
∴AG＝AC﹣CG=2（BC﹣EC）=2BE，
∴AGBE=2．
故答案为：正方形，2．
（2）结论：AG=2BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ACBC=2，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴CGCE=2，
∴ACBC=CGEC=2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CGEC=2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2BE；
（3）结论：AG⊥GE，
理由：如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、正确寻找相似三角形解决问题
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