2022年南京中考数学终极押题密卷3

这是一份2022年南京中考数学终极押题密卷3，共35页。
2022年南京中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•玄武区二模）8的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．22 D．±22
2．（2分）（2022•宁波模拟）计算（﹣a2）3÷a2的结果是（　　）
A．﹣a4 B．﹣a3 C．a4 D．a3
3．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2分）（2021•秦淮区一模）2020年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实现经济正增长．根据国家统计局发布的数据，2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势
C．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2017年
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年
5．（2分）（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2分）（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90−12m）° C．（90﹣m）° D．（90−32m）°
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•鼓楼区二模）2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是 　 　人．
8．（2分）（2021•秦淮区一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50μm（1μm＝10﹣6m），用科学记数法表示50μm是　 　m．
9．（2分）（2021•玄武区二模）计算2712−3的结果是　 　．
10．（2分）（2021•南京二模）方程组x−2y=32x−y=9的解是 　 　．
11．（2分）（2022•息县模拟）式子x−1x−2在实数范围内有意义，则x的范围是 　 　．
12．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝5，AD＝3，则DB＝　 　．

13．（2分）（2021•玄武区二模）如图，A、B分别是反比例函数y1=−2x（x＜0），y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是　 　．

14．（2分）（2021•南京二模）如图，正五边形ABCDE的边为2，对角线BD、CE相交于点F，则DF•BD的值为　 　．

15．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为 　 　．

16．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•玄武区二模）解下列方程．
（1）x2+6x+2＝0；
（2）2x2−1+1=xx−1．
18．（7分）（2021•南京二模）解不等式组4−3x≥−52x−13＞x−22．并写出该不等式组的最小整数解．
19．（7分）（2021•鼓楼区二模）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　 　．
20．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．
（1）甲检查初一年级的概率为　 　；
（2）求他们都不检查自己所在年级的概率．
21．（8分）（2021•玄武区二模）某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班．
（1）求甲恰好是连续的两天值班的概率；
（2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是　 　．
22．（8分）（2021•南京二模）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．

23．（8分）（2021•鼓楼区二模）如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．
（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是 　 　，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是 　 　；（用含α的式子表示）
（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是 　 　．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

24．（8分）（2021•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
25．（8分）（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是　 　km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）

26．（10分）（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5000元；
线下销售：单件利润500元．另需支付其它成本12500元．
注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本．
（1）线上销售100件的净利润为　 　元；线下销售100件的净利润为　 　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，⽐较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
27．（9分）（2021•鼓楼区二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 　 　．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=ADA′D′，∠A＝∠A′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是 　 　．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．


2022年南京中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•玄武区二模）8的值等于（　　）
A．4 B．±4 C．22 D．±22
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据ab=a•b（a≥0，b≥0）化简即可．
【解答】解：8
=4×2
=4×2
＝22，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的化简，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
2．（2分）（2022•宁波模拟）计算（﹣a2）3÷a2的结果是（　　）
A．﹣a4 B．﹣a3 C．a4 D．a3
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：（﹣a2）3÷a2＝（﹣a6）÷a2＝﹣a4．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形．
【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是36°，
∴n＝360°÷36°＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．
4．（2分）（2021•秦淮区一模）2020年是新中国历史上极不平凡的一年，我国经济运行逐季改善，在全球主要经济体中唯一实现经济正增长．根据国家统计局发布的数据，2016﹣2020年国内生产总值及其增长速度如图所示．

根据图中提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势
C．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2017年
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年
【考点】折线统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据条形统计图和折线统计图中的数据，结合各选项逐一分析判断可得答案．
【解答】解：A．2020年末，中国的国内生产总值迈上百万亿元新的大台阶，此选项正确，不符合题意；
B．2016年至2020年，国内生产总值呈递增趋势，此选项正确，不符合题意；
C．2017年相比较上一年增加：832036﹣746395＝85641，
2018年相比较上一年增加，919281﹣832036＝87245，
2019年相比较上一年增加，986515﹣919281＝67234，
2020年相比较上一年增加，1015986﹣986515＝29471，
∴2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增加最多的是2018年，此选项错误，符合题意；
D．2017年至2020年，相比较上一年，国内生产总值增长速度最快的是2017年，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查条形统计图和折线统计图，解题的关键是根据条形统计图和折线统计图得出解题所需的具体数据．
5．（2分）（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a≠0），当x＝1时，y＞0，则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝ax2﹣2ax，该函数的对称轴为直线x＝1，即可求解．
【解答】解：y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝ax2﹣2ax，
该函数的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y＞0，
故顶点在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6．（2分）（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90−12m）° C．（90﹣m）° D．（90−32m）°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，证明△CEF≌△BDG、△DEF≌△ADG，从而证明△CDE≌△ADB，得到∠EDC＝∠BAD，再利用等边对等角，用m表示出∠AED和∠CED，再利用平角的定义即可表示出∠BAD的度数．
【解答】解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∠EFC=∠DGB∠C=∠BCE=BD
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
DE=ADEF=DG
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（180−m2）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180−180−m2）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180−180−m2+m）°＝（90−32m）°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，能够根据线段相等等已知条件构造全等三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021•鼓楼区二模）2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是 　1.07×106　人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：107万＝1070000＝1.07×106．
故答案为：1.07×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
8．（2分）（2021•秦淮区一模）“沉睡数千年，一醒惊天下”．三星堆遗址在5号坑提取出仅1.4cm的牙雕制品，最细微处间隔不足50μm（1μm＝10﹣6m），用科学记数法表示50μm是　5×10﹣5　m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：50μm＝50×10﹣6m＝5×10﹣5m，
故答案为：5×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（2分）（2021•玄武区二模）计算2712−3的结果是　3　．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并，然后约分即可．
【解答】解：原式=3323−3
=333
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．（2分）（2021•南京二模）方程组x−2y=32x−y=9的解是 　x=5y=1　．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：x−2y=3①2x−y=9②，
②×2﹣①得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：5﹣2y＝3，
解得：y＝1，
则方程组的解为x=5y=1．
故答案为：x=5y=1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2分）（2022•息县模拟）式子x−1x−2在实数范围内有意义，则x的范围是 　x≥1且x≠2　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子x−1x−2在实数范围内有意义，
∴x−1≥0x−2≠0，解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
12．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD＝∠B，AC＝5，AD＝3，则DB＝　163　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由题目所给条件可证得△ACD∽△ABC，可得到AD：AC＝AC：AB，从而可求得AB的长，即可求解DB．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2＝AD•AB，
∵AC＝5，AD＝3，
∴AB=AC2AD=253，
∴DB＝AB﹣AD=253−3=163，
故答案为：163．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
13．（2分）（2021•玄武区二模）如图，A、B分别是反比例函数y1=−2x（x＜0），y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是　4　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
【专题】数形结合；应用意识．
【分析】设点A的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点B的纵坐标，再代入y2的解析式求出点B的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：点A在y1=−2x（x＜0）上，
故设A（a，−2a），
∵AB∥x轴，
∴yB＝yA=−2a；
∵点B在y2=kx（k＞0，x＞0）上，即kx=−2a，
则xB=−ak2，
∴AB＝xB﹣xA=−ak2−a=−a(k+2)2，
∴S△ABC=12×AB×yA
=12×[−a(k+2)2]×（−2a）
＝3，
即k+22=3，
解得k＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
14．（2分）（2021•南京二模）如图，正五边形ABCDE的边为2，对角线BD、CE相交于点F，则DF•BD的值为　4　．

【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】又正五边形的性质得到BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，而证得∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE，根据相似三角形的判定证得△BCD∽△CFD，根据相似三角形的性质即可求出结果．
【解答】解：如图所示：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE=(5−2)×180°5=108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE=180°−108°2=36°，
在△BCD和△CFD中，
∠CBD＝∠DCF，∠BDC＝∠CDF，
∴△BCD∽△CFD，
∴BDCD=CDDF，
∴DF•BD＝CD2，
∵正五边形ABCDE的边为2，
∴CD＝2，
∴DF•BD＝4，
故答案为4．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质证得DF•BD＝CD2是解决问题的关键．
15．（2分）（2021•鼓楼区二模）如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为 　8+82　．

【考点】正多边形和圆；全等图形．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝2，根据由正八边形的特点求出∠AOB的度数，过点B作BD⊥OA于点D，根据勾股定理求出BD的长，由三角形的面积公式求出△AOB的面积，进而可得出结论．
【解答】解：设正八边形的中心为O，
连接OA，OB，如图所示，
∵正方形的面积为4，
∴AB＝2，
∵AB是正八边形的一条边，
∴∠AOB=360°8=45°．
过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝x，则OD＝x，OB＝OA=2x，
∴AD=2x﹣x，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
即x2+（2x﹣x）2＝22，
解得x2＝2+2，
∴S△AOB=12OA•BD=12×2x2=2+1，
∴S正八边形＝8S△AOB＝8×（2+1）＝82+8，
故答案为：82+8．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，正方形的性质，三角形面积的计算，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．（2分）（2021•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，则AC的最大值是　3+1　．

【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】以AB为边作等边△ABE，连结EC，根据题意得到△DCB为等边三角形，∠ADB＝90°，进而利用SAS证明△ABD≌△EBC，得出∠ADB＝∠ECB＝90°，从而得出动点C在以BE为直径的⊙O上，连结AO并延长交⊙O于点C′，得出AC′是AC的最大值，在等边△ABE中，根据三线合一的性质求出AO的长，进而得到AC′．
【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，连结EC，

∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠EAB＝∠AEB＝60°，
∵BC＝BD，∠DCB＝60°，
∴△DCB为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD，∠DCB＝∠CDB＝∠DCB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
在△ABD和△EBC中，
AB=EB∠ABD=∠EBC=60°−∠DBEBD=BC，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠ADB＝∠ECB＝90°，
在△EBC中，EB＝AB＝2，∠ECB＝90°，
以BE为直径作⊙O，则半径为12BE＝1，
∴动点C在以BE为直径的⊙O上，连结AO并延长交⊙O于点C′，
∴AC≤AC′＝AO+OC′＝AO+1，
在等边△ABE中，AB＝2，O为BE的中点，
∴AO=AB2−BO2=22−12=3，
∴AC′=3+1，
即AC的最大值为3+1，
故答案为：3+1．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质及确定AC′是AC的最大值是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2021•玄武区二模）解下列方程．
（1）x2+6x+2＝0；
（2）2x2−1+1=xx−1．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+2＝0，
∴x2+6x＝﹣2，
则x2+6x+9＝﹣2+9，即（x+3）2＝7，
∴x+3＝±7，
∴x1＝﹣3+7，x2＝﹣3−7；

（2）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2+（x+1）（x﹣1＝x（x+1），
解得x＝1，
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（7分）（2021•南京二模）解不等式组4−3x≥−52x−13＞x−22．并写出该不等式组的最小整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可．
【解答】解：4−3x≥−5①2x−13＞x−22②，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣4，
所以不等式组的解集是﹣4＜x≤3，
所以不等式组的最小整数解是﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（7分）（2021•鼓楼区二模）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　12　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，再由概率公式求解即可；
（2）直接由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，
∴拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率为1012=56；
（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是24=12，
故答案为：12．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2021•秦淮区一模）某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到．某天由甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级．
（1）甲检查初一年级的概率为　13　；
（2）求他们都不检查自己所在年级的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列举出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有3个年级，分别是初一，初二，初三，
∴甲检查初一年级的概率为13．
故答案为：13．

（2）设甲，乙，丙分别来自于初一，初二，初三3个年级．甲，乙，丙3名同学各自检查一个年级，所有可能出现的结果共有6种，
即（初一，初二，初三）、（初一，初三，初二）、（初二，初一，初三）、（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）、（初三，初二，初一），
这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足他们都不检查自己所在年级（记为事件A）的结果有2种，即（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二），
所以P（A）=26=13．
【点评】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键，概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）（2021•玄武区二模）某学校护学岗值班，每天只需要一名家长．甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班．
（1）求甲恰好是连续的两天值班的概率；
（2）甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是　13　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）根据（1）得出的所有等可能的情况数，找出甲、乙恰好都是连续的两天值班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中甲恰好是连续两天值班的有6种，
则甲恰好是连续的两天值班的概率是612=12；

（2）共有12种等可能的情况数，其中甲、乙恰好都是连续两天值班的有4种，
则甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是412=13．
故答案为：13．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2021•南京二模）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）（2021•鼓楼区二模）如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．
（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是 　∠BED　，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是 　25cosα　；（用含α的式子表示）
（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是 　FD长度或F到DE的距离　．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出AB的长．
（2）测得∠BED＝a，解直角三角形ABE求得BE，进而解直角三角形BED求得DE，最后在Rt△CED中，由正切可求CD；
（3）测得FD长度或F到DE的距离即可通过计算求得CD．①测得FD＝m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD＝DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD＝DE•tan27°求得CD，
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan39°=ABBE，即BE=ABtan39°，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，
∴tan53°=ABBF，即BF=ABtan53°，
∵EF＝20米，
∴ABtan39°−ABtan53°=20，
∴AB=20tan53°⋅tan39°tan53°−tan39°≈40（米），
答：铁塔AB的高度为40米；
（2）在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED，
在Rt△ABE中，BE=ABtan39°=50，
在Rt△BED中，DE=BEcosα=50cosα，
在Rt△CED中，CD＝DE•tan27°=12×50cosα=25cosα，
故答案为∠BED，25cosα；
（3）在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度，
①测得FD＝m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD＝DE•tan27°求得结果，
②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD＝DE•tan27°求得CD；
故答案为FD长度或F到DE的距离．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题需要同学们理解仰角、俯角的定义，根据实际构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解．
24．（8分）（2021•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】（1）由b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，即可求解；
（2）求出函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25．（8分）（2021•玄武区二模）小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅，稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第xmin时，与餐厅的距离为y1km，小明爸爸与餐厅的距离为y2km．y1，y2与x之间的函数关系如图②所示．
（1）小明的速度是　0.2　km/min；
（2）求线段MN所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）设小明与爸爸之间的距离为Skm，在图③中画出S与x之间的函数图象．（标明必要的数据）

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（2）先求出点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）根据题意找到图象的折点即可．
【解答】解：（1）小明的速度是：6÷30＝0.2（km/min），
故答案为：0.2；
（2）6﹣0.2×18＝2.4，
∴点M（18，2.4），
设线段MN对应的函数表达式为y2＝kx+b（k，b为常数），
∵线段经过M（18，2.4）和点N（30，12），
∴18k+b=2.430k+b=12，
解得k=0.8b=−12，
∴线段MN对应的函数表达式为y2＝0.8x﹣12；
（3）如图所示：

【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
26．（10分）（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5000元；
线下销售：单件利润500元．另需支付其它成本12500元．
注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本．
（1）线上销售100件的净利润为　45000　元；线下销售100件的净利润为　37500　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，⽐较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】(1)根据题意分别列式计算即可解答；
(2)分别求出两种销售方式的净利润的函数关系式，再分三种情况求出x的取值范围即可；
（3）设线上销售a件，售完后的净利润是m元，根据题意列出m关于a的关系式，根据二次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）线上销售100件的净利润为：（600﹣100）×100﹣5000＝45000（元），
线下销售100件的净利润为：500×100﹣12500＝37500（元），
故答案为：45000，37500；
（2）设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，
则y1＝x(600﹣x)﹣5000＝﹣x2+600x﹣5000，
y2＝500x﹣12500，
当y1＞y2时，
﹣x2+600x﹣5000＞500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：0＜x＜150，
当y1＝y2时，
﹣x2+600x﹣5000＝500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：x＝150，
当y1＜y2时，
﹣x2+600x﹣5000＜500x﹣12500（0＜x≤600），
解得：150＜x≤600，
∴当0＜x＜150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，当x＝150时，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，当150＜x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；
（3）设线上销售a件，售完后的净利润是m元，
m＝a(600﹣a)﹣5000+500(400﹣a)﹣12500＝﹣a2+100a+182500＝﹣(a﹣50)2+185000，
∵﹣1＜0，
∴当a＝50时，m有最大值185000，
400﹣50＝350（件），
答：售完后的最大净利润是185000元，此时线上销50件、线下销售350件．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出函数关系式是本题的关键．
27．（9分）（2021•鼓楼区二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 　正方形和菱形　．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=ADA′D′，∠A＝∠A′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是 　③　．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．

【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出△ABD∽△A'B'D，得出∠ABD＝∠A'B'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，ABA′B′=BDB′D′=ADA′D′，进而得出△BCD∽△B'C'D'，得出∠C＝∠C'，∠CDB＝∠C'D'B'，∠CBD＝∠C'B'D'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【解答】（1）解：∵正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
∴“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：分别连接BD，B'D'，

∵ABA′B′=ADA′D′，∠A＝∠A′，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠ABD＝∠A'B'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，ABA′B′=BDB′D′=ADA′D′，
∴BDB′D′=BCB′C′=CDC′D′，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴∠C＝∠C'，∠CDB＝∠C'D'B'，∠CBD＝∠C'B'D'，
∴∠ABC＝∠A'B'C'，∠CDA＝∠C'D'A'，
∵ABA′B′=BDB′D′=BCB′C′=CDC′D′，∠A＝∠A'，∠C＝∠C′，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'；
（3）解：①如图，四边形ABCD∽四边形A′B'CD'，以A'为圆心，AD'为半径作圆交C′D'延长线于点D'′，

则AD″＝AD′，AD″AD=AD′AD=A′B′AB=B′C′BC，∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，但四边形A'B'C′D″不与四边形ABCD相似；
②如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，以C′为圆心、C′D′为半径作圆交过点D′且和A′B′平行的直线相交于点D″．过D″作D'A'∥DA交A′B′于点A″，则C′D'＝C′D″，四边形A′D′D″A″为平行四边形．则A″D″AD=A′D′AD=B′C′BC=C″D″CD=C′D′CD，即A″D″AD=B′C′BC=C′D″CD，∠B′A″D″＝∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，但四边形A″B'C′D″不与四边形ABCD相似；

③已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
证明：连接BD，B′D′．

∵∠BCD＝∠B′C′D′，且BCB′C′=CDC′D′，
∴△BCD∽△B′C′D′，
∴∠CDB＝∠C′D′B′，∠C′B′D′＝∠CBD，BDB′D′=BCB′C′，
∵ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′，
∴BDB′D′=ABA′B′，
∵∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴ADA′D′=ABA′B′，∠A＝∠A′，∠ADB＝∠A′D′B′，
∴ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=ADA′D′，∠ADC＝∠A′D′C′，∠A＝∠A′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似；
④如图，四边形ABCD∽四边形A'BCD'，以C为圆心，CA'为半径作圆交A'B′于点A″，在CA″左侧作△C'A″D'′≌△C′A'D′，则C″D″＝C'D'＝kCD，A″D″＝A′D'＝kAD，B′C′＝kBC，∠D″＝D，∠B′＝∠B，但四边形A″B′C′D″不与四边形ABCD相似．

故选：③；
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，ABA′B′=ADA′D′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
证明：连接BD，B′D′．

∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
∴∠D＝∠D′．
∵ABA′B′=ADA′D′，∠A＝∠A′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，ABA′B′=BDB′D′，
∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝∠C′D′A′﹣∠A′D′B′＝∠C′D′B′，
∵∠C＝∠C′，
∴△BCD∽△B′C′D′，
∴BCB′C′=CDC′D′=BDB′D′=ADA′D′=ABA′B′，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
【点评】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题