2022年上海中考数学终极押题密卷1

这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷1，共31页。试卷主要包含了计算，在实数范围内分解因式，不等式组的解集是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022年上海中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•唐山期末）下列根式为最简二次根式的是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（4分）（2022•雁塔区校级三模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．4a2•3a3＝12a6 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
3．（4分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
5．（4分）（2022•沈河区校级模拟）杨倩是获得东京奥运会中国首金的选手，她的十米气步枪比赛的最后五枪的成绩如下（单位：环）10.5，10.7，10.6，10.7，9.8，则这组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．10.7环，10.6环 B．10.7环，10.5环
C．10.7环，9.8环 D．10.6环，10.7环
6．（4分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•通道县期末）计算：＝　 　．
8．（4分）（2022•涡阳县二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　 　．
9．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果＝，那么向量＝　 　（用向量表示）．

10．（4分）（2022•巴彦县二模）不等式组的解集是　 　．
11．（4分）（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵数为初一、初二平均每人植树的棵数之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵数都有所降低，高一年级平均每人植树的棵数降低50%，高二年级平均每人植树的棵数降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵数不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵数为整数，则四个年级全天一共植树 　 　棵．
12．（4分）（2022•新抚区模拟）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝1，则图中三个阴影部分的面积和为　 　．

13．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于 　 　；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长an＝　 　．（n为正整数）

14．（4分）（2022春•洪泽区期中）王老师为了解本班学生对新冠病毒防疫知识的掌握情况，对本班45名学生的新冠病毒防疫知识进行了测试，并把测试成绩分为5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频率是 　 　．
15．（4分）（2021秋•玄武区期末）已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 　 　．
16．（4分）（2021秋•东莞市期末）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　 　．
17．（4分）（2022春•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　 　．

18．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为48°．点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝　 　°．

三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•新田县期末）计算：
+2sin45°．
20．（10分）（2020•长清区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（10分）（2022春•泾阳县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．
（1）求DE的长；
（2）求的值．

22．（10分）（2021秋•平阴县期末）如图，连接A市和B市的高速公路是AC高速和BC高速，现在要修一条新高速AB，在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）

23．（12分）（2021秋•柯桥区期末）已知：如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．
求证：∠BDA＝∠BAC．

24．（12分）（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点G是抛物线上第一象限内的一点，连接AG、CG、BG，AG与BC交于点H，当△BHG与△AHC的面积差为1时，求点G的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．

25．（14分）（2021秋•金湖县期末）苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BE＝CF，连接BE、CF交于点M，求证：BE⊥CF．请你先帮小明加以证明．

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时间为t秒．
（1）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 　 　cm．
（2）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆⊙O上；
②若①中的⊙O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．

2022年上海中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•唐山期末）下列根式为最简二次根式的是（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】分母有理化；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A选项，2是最简二次根式，符合题意；
B选项，原式＝，不是最简二次根式；
C选项，原式＝，不是最简二次根式；
D选项，原式＝2，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（4分）（2022•雁塔区校级三模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．4a2•3a3＝12a6 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：3a+2a＝5a，故选项A错误；
﹣8a2÷4a＝﹣2a，故选项B错误；
4a2•3a3＝12a5，故选项C错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
3．（4分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（4分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
k＝﹣6＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝3，即该函数过点（﹣2，3），故选项A不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
5．（4分）（2022•沈河区校级模拟）杨倩是获得东京奥运会中国首金的选手，她的十米气步枪比赛的最后五枪的成绩如下（单位：环）10.5，10.7，10.6，10.7，9.8，则这组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．10.7环，10.6环 B．10.7环，10.5环
C．10.7环，9.8环 D．10.6环，10.7环
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：将数据重新排列为9.8、10.5、10.6、10.7、10.7，
所以这组数据的众数为10.7环，中位数为10.6环，
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6．（4分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质得到AC＝2AO＝6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝6，
∵AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，
∴AC•BC＝48，
∴BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•通道县期末）计算：＝　x﹣1　．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
8．（4分）（2022•涡阳县二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　　．
【考点】实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【解答】解：2x2﹣6＝2（x2﹣3）＝2（x+）（x﹣）．
故答案为2（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
9．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果＝，那么向量＝　2　（用向量表示）．

【考点】*平面向量．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求出BC＝2ED即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∴ED＝，
∵，
∴，
故答案为：2
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
10．（4分）（2022•巴彦县二模）不等式组的解集是　x≥2　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1
由②得，x≥2；
∴不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11．（4分）（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵数为初一、初二平均每人植树的棵数之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵数都有所降低，高一年级平均每人植树的棵数降低50%，高二年级平均每人植树的棵数降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵数不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵数为整数，则四个年级全天一共植树 　1224　棵．
【考点】分式方程的应用．
【分析】通过设未知数，根据题意列方程，根据实际情况取整，解出答案．
【解答】解：设
年级
初一
初二
高一
高二
抽调植树的人数（人）
5x
3x
4y
3y
上午平均每人植树棵数（棵）
m
n
m
2（m+n）
下午平均每人植树棵数（棵）
m
0
（1﹣50%）m
×2（m+n）
∵上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，
∴3＜m＜10．
∵上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，
∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，
即30＜4m+3n＜40，
∴20＜3m+3n＜37．
又∵下午四个年级平均每人植树的棵数为整数，
∴（m+n）为5的倍数，m为2的倍数，
∴m+n＝10．
∴m取4或6或8．
∵上午四个年级一共植树714棵，
∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．
当m＝4时，代入得38x+76y＝714，两边同时除以38，
x+2y不是整数，所以m＝4舍去；
当m＝6时，代入得42x+84y＝714，两边同时除以42，
x+2y＝17．
当m＝8时，代入得46x+92y＝714，两边同时除以46，
x+2y不是整数，所以m＝8舍去；
所以m＝6．
则下午一共植树5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．
∴四个年级全天一共植树714+510＝1224（棵）．
【点评】本题考查了方程和不等式相结合解决实际问题，要考虑实际取整，通过分类讨论达到解答的目的，综合性比较强．
12．（4分）（2022•新抚区模拟）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝1，则图中三个阴影部分的面积和为　13　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠HFE，BC＝CE＝EF，
∴AC∥DE∥HF，
∴＝，＝＝，
∴KE＝2PC，HF＝3PC，
又∵DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，
∴△DQK≌△CQP（相似比为1）
设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，
则xh＝1，整理得xh＝2，
S△BPC＝x•2h＝xh＝2，
S四边形CEKQ＝×3x•2h﹣2＝3xh﹣2＝3×2﹣1＝6﹣1＝5，
S△EFH＝×3x•2h＝3xh＝6，
∴三个阴影部分面积的和为：2+5+6＝13．
故答案为13．
【点评】本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键．
13．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于 　2　；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长an＝　　．（n为正整数）

【考点】相似三角形的判定与性质；规律型：图形的变化类．
【专题】图形的相似．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．
【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，
∴EF＝FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝2，
故答案是：2；
（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，
∴IH＝ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，
第4的个正方形的边长为：＝，
…
第n个内接正方形的边长an＝，
故答案为：＝．


【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．
14．（4分）（2022春•洪泽区期中）王老师为了解本班学生对新冠病毒防疫知识的掌握情况，对本班45名学生的新冠病毒防疫知识进行了测试，并把测试成绩分为5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频率是 　0.2　．
【考点】频数与频率．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】先计算出第5组的频数是45﹣（12+10+6+8）＝4，再根据频率＝频数÷总数即可求解．
【解答】解：∵有45个数据，共分成5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，
∴第5组的频数是45﹣（12+10+6+8）＝9，
∴第5组的频率是＝0.2．
故答案为0.2．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
15．（4分）（2021秋•玄武区期末）已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 　　．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】先求出边长为2的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．
【解答】解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，BC＝2，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，BD＝1，
∴OB＝＝，
∴能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：π×（）2＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，掌握正三角形的性质、利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．（4分）（2021秋•东莞市期末）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　　．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【解答】解：如图所示：连接中心和顶点，作出边心距．
则AC＝1，∠O＝＝60°．
那么外接圆半径OA＝＝＝；
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质；熟记等边三角形的性质是解决问题的关键．
17．（4分）（2022春•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　3　．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
则C△ABD﹣C△ACD
＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD
＝AB﹣AC
＝8﹣5
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
18．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为48°．点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝　66或114　°．

【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OB、OC，分点A在优弧BC上、点A在劣弧BC上两种情况，根据切线的性质定理、圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OB、OC，

∵PB、PC是⊙O的两条切线，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠BOC＝180°﹣∠P＝132°，
当点A在优弧BC上时，∠BAC＝∠BOC＝66°，
当点A′在劣弧BC上时，∠BA′C＝180°﹣66°＝114°，
∴∠BAC的度数为66°或114°，
故答案为：66或114．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•新田县期末）计算：
+2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣+3+
＝1+3
＝4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）（2020•长清区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由四边形OABC是矩形，得到BC＝OA，AB＝OC，根据tan∠COD＝，设OC＝3x，CD＝4x，求出OD＝5x＝5，OC＝3，CD＝4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．
（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；
（3）分类讨论：当∠OPD＝90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP＝90°时，根据射影定理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，
∵tan∠COD＝，
∴设OC＝3x，CD＝4x，
∴OD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴OC＝3，CD＝4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；

（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC＝8，AB＝3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE＝BD•BE＝＝3；

（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP＝4，
∴P（4，0），
当∠ODP＝90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2＝OH•OP，
∴OP＝＝．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，O），（，O）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，特别是（3）注意分类讨论，不能漏解．
21．（10分）（2022春•泾阳县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．
（1）求DE的长；
（2）求的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△ABC∽△BEC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（2）利用相似三角形的性质可得出，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，
∴，
解得：DE＝；
（2）∵△ABC∽△BEC，
∴，
∵AC＝6，BC＝5，
∴＝（）2＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ABC∽△BEC是解题关键．
22．（10分）（2021秋•平阴县期末）如图，连接A市和B市的高速公路是AC高速和BC高速，现在要修一条新高速AB，在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△ACD中，解直角三角形求出AD，再求出BD，进而求出答案．
【解答】解：（1）作CD⊥AB于D点，
由题意可知：BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°，
∴CD＝BC＝40千米，
∵∠A＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝40千米，
∴AC＝CD＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40（千米），
即开通隧道前，汽车从A地到B地要走（80+40）千米；
（2）由（1）知CD＝40千米，
∵CD⊥AB，∠A＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝40千米，
∵∠B＝30°，
∴BD＝（千米），
∴AB＝40+40（千米），
答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以走（40+40）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（12分）（2021秋•柯桥区期末）已知：如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．
求证：∠BDA＝∠BAC．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】利用已知的条件可证得△ABD∽△CBA，再利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝4，BC＝8，BD＝2．
∴，，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BDA＝∠BAC．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性，熟记两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
24．（12分）（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点G是抛物线上第一象限内的一点，连接AG、CG、BG，AG与BC交于点H，当△BHG与△AHC的面积差为1时，求点G的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
（2）设G（x，﹣x2+3x+4），根据S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，分两种情况，根据△BHG与△AHC的面积差为1，即可求解；
（3）过点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，证明△EMC≌△END（AAS），根据全等三角形的性质得CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4），即4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，
∴．
解得：．
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）设G（x，﹣x2+3x+4），
∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，
∵A（﹣1，0）、B（4，0），
∴AB＝5，
①当S△BHG﹣S△AHC＝1时，
S△BHG﹣S△AHC＝S△ABG﹣S△ABH﹣S△ABC+S△ABH＝S△ABG﹣S△ABC＝1，
∴×5×（﹣x2+3x+4）﹣×5×4＝1，
∴x＝，
∴点G的坐标为（，）或（，）；
②当S△AHC﹣S△BHG＝1时，
S△AHC﹣S△BHG＝S△ABC﹣S△ABH﹣S△ABG+S△ABH＝S△ABC﹣S△ABG＝1，
∴×5×4﹣×5×（﹣x2+3x+4）＝1，
∴x＝或（负值不合题意，舍去），
∴点G的坐标为（，）；
综上，点G的坐标为（，）或（，）或（，）；

（3）∵y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，
，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，

∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，
∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，
∴∠CED＝90°，
∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，
∴∠CEM＝∠DEN，
∴△EMC≌△END（AAS），
∴CM＝DN，
设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），
∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，
∴m＝或（不合题意，舍去），
∴点E的横坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（14分）（2021秋•金湖县期末）苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BE＝CF，连接BE、CF交于点M，求证：BE⊥CF．请你先帮小明加以证明．

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时间为t秒．
（1）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 　　cm．
（2）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆⊙O上；
②若①中的⊙O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】【问题提出】利用HL证明△ABE≌△BCF，得∠ABE＝∠BCF，从而证明结论；
【问题探究】（1）由【问题提出】知，∠CMB＝90°，则点M在以CB为直径的圆上，找到起点和终点时点M的位置，从而解决问题；
（2）①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OM＝OC＝OE＝OD，则点D、C、M、E在同一个圆（⊙O）上；
②当⊙O与AB相切时，⊙O与正方形的各边共有5个交点，如图5，则有6个交点，所以“当⊙O与AB相切时”是临界情况，当⊙O与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，则CH＝3，设⊙O的半径为R．由题意得：在Rt△CHO中，32+（6﹣R）2＝R2，则，可知，从而解决问题．
【解答】【问题提出】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△ABE与Rt△BCF中，AB＝BC，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（HL），
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBM＝90°，
∴∠BCF+∠CBM＝90°，
∴∠CMB＝90°，
∴BE⊥CF；
【问题探究】解：（1）由【问题提出】知，∠CMB＝90°，
∴点M在以CB为直径的圆上，
当t＝0时，点M与点B重合；如图2，

当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长，
故答案为：；
（2）①如图3．

由【问题提出】可知：∠CME＝90°，
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，
则，
在Rt△CDE中，∠D＝90°，O是CE的中点，
∴，
∴OM＝OC＝OE＝OD，
∴点D、C、M、E在同一个圆（⊙O）上，
即点D在△CME的外接圆⊙O上；
②如图4，当⊙O与AB相切时，⊙O与正方形的各边共有5个交点，

如图5，则有6个交点，所以“当⊙O与AB相切时”是临界情况，

当⊙O与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，
∵AB与⊙O相切，
∴OG⊥AB，
又∵AB∥CD，
∴OH⊥CD，
∴，
设⊙O的半径为R．由题意得：
在Rt△CHO中，32+（6﹣R）2＝R2，
解得，
∴，
∴，
即
∴如图5，当时，⊙O与正方形的各边共有6个交点．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质等知识，找到临界状态是解题的关键