北京市第四中学2023届高三上学期12月阶段性测试数学试题及答案

这是一份北京市第四中学2023届高三上学期12月阶段性测试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，若且三点共线（该直线不过原点），则
A．B．C．D．
5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
6．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A．B．C．D．
8．过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是
A．
B．
C．
D．
9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克
10．下列关于函数的判断正确的是（ ）
①的解集是； ②是极小值，是极大值；
③没有最小值，也没有最大值； ④有最大值，没有最小值.
A．①③B．①②③C．②④D．①②④
二、填空题
11．向量，，若，则_________.
12．已知函数若是函数的最小值，则实数的取值范围为______．
13．若在是减函数，则a的最大值是_____.
14．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
三、双空题
15．抛物线的准线方程是__________；该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则__________．
四、解答题
16．已知函数.
（1）当时，求的值；
（2）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求在区间上的最小值；②求的单调递增区间；③若，求的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.
17．已知椭圆的焦点为，，且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线：与曲线交于，两点，求四边形面积的最大值.
18．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围？
（2）若的长度不少于米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？请求出最小面积.
19．已知抛物线：过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求的值.
20．设函数，其中．
（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；
（Ⅱ）若，证明：当时，；
（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
21．已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
参考答案：
1．D
【分析】直接根据集合并集运算的定义进行求解即可.
【详解】已知，，
所以或.
故.
故选：D
2．A
【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若直线与直线垂直，则，
即，解得或，
因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】求得的定义域，结合复合函数的单调性，即可求得结果.
【详解】，即，解得，即的定义域为；
又在单调递减，在单调递增，在为单调增函数，
故在单调递减，在单调递增.
故选：D.
4．A
【详解】试题分析：因为三点共线，所以，故，选A.
考点：1.向量中，三点共线性质；2.等差数列的前项和公式.
5．A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
6．B
【详解】因为，所以，
因此复数在复平面内所对应的点在第二象限.
故选：B.
7．C
【详解】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有
所以，所以
又因为，所以，，所以
所以答案选C.
考点：椭圆的简单几何性质.
8．A
【详解】试题分析：由题可知A（－1，0），所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=－bx或y=bx，
联立y=x+1和y=－bx得B的横坐标为，
同理得C的横坐标为，
∵|AB|=|BC|，∴B为AC中点，
有，
即有－，解得b=3或0（舍去0）
所以e=，故选A．
点评：中档题，结合图形特征，分析得到坐标关系，从而建立了b的方程，使问题得解．
9．D
【详解】M'（t）=M0×，
M'（30）=M0×=﹣10ln2，
∴M0=600．
∴．
故选D．
10．D
【分析】令可解x的范围确定①正确；对函数进行求导，利用导数判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性结合最值的定义分析判断③、④的正误，从而得到答案．
【详解】对①：
∵，若，则，解得，
∴的解集是，①正确；
对②：
又∵，
令，则，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
则是极小值，是极大值，②正确；
对③④：
∵，则，
∴当时，在上单调递减，则，
故无最小值；
又∵，
当时，则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则；
综上所述：对，，即为的最大值；
故③错误，④正确；
故选：D.
11．
【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.
【详解】向量，，
所以，
又因为，
所以，即，
解得，故答案为.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
12．
【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.
【详解】当时，，
任设，则，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
又因为是的最小值，所以且，解得.
故答案为：.
13．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【详解】解：f（x）＝csx﹣sinx＝﹣（sinx﹣csx），
由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故答案为．
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
14．5
【分析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.
【详解】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当取得最小值.
故答案为：5
【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.
15． ##
【分析】根据抛物线的准线方程、结合抛物线的定义求解即可.
【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则，准线方程为，
根据抛物线定义到准线的距离等于，
∴，解得．
故答案为：；2
16．（1）2；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据，由求解.
（2）利用辅助角法得到，再根据函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，得到，进而得到，选①：由，得到，再利用正弦函数的性质求解；选②：利用正弦函数的性质，令求解；选③：将，转化为，利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）当时，.
（2）.
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得.
所以.
选①：因为，所以.
当，即时，
在区间上有最小值为.
选②：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
选③：因为，所以.
所以.
解得.
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）设椭圆的方程为，求出得解；
（2）将代入方程，得到韦达定理，设，、，，求出和的范围即得解.
【详解】（1）解：设椭圆的方程为，
所以，
所以，
所以椭圆E的标准方程为.
（2）将代入方程，得．
设，、，，
①，②，③，
由①得，
．
所以当时，四边形面积的最大值为 .
18．（1）（单位：米）；（2）米时，取得最小值27平方米
【分析】（1）设（）米，由平行线性质求得后可得矩形面积，由面积大于32可解得的范围；
（2）由单调性定义确定函数的单调性的可得最小值．
【详解】（1）设（）米，由得，，即，，
，由，解得或，
所以或．
（2）（）
设，则，
设，，．
则，，
在上是增函数，
所以时，．
所以米时，取得最小值27平方米．
19．(1)答案见详解；
(2).
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可求出抛物线的标准方程，进而写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，求出点、的坐标，然后结合韦达定理证明出点、的纵坐标之和为点纵坐标的两倍，即可证明出点为线段的中点，从而推出的值.
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，
因此，抛物线的标准方程为.
则抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
（2）设直线的方程为，
设点、，，.
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，
，则且.
由韦达定理得，.
直线的方程为，联立，得点，
直线的方程为，因为，所以直线的方程为，
联立，得点.
又点的坐标为，
，则，
因此，为线段的中点，所以.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义，化简后可得实数的值；
（Ⅱ）利用导数分析函数在上的单调性，进而可证得；
（Ⅲ）令得，令，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）函数为偶函数，所以，即，
整理得对任意的恒成立，；
（Ⅱ）当时，，则，
，则，，，
所以，函数在上单调递增，
当时，；
（Ⅲ）由，得，设函数，，
则，令，得．
随着变化，与的变化情况如下表所示：
所以，函数在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，且，如下图所示：
所以，当时，方程在区间内有两个不同解，
因此，所求实数的取值范围为．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题.
21．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列;
(3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为.
【详解】解：（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若A是等差数列，设公差为d．
因为数列A是递增数列，所以．
则当时，，
所以，．
必要性：若．
因为A是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以A为等差数列．
（3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和．
共个不同的值；且对任意的，
m和这两个数中至少有一个在集合T中．
又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以．
综上，，且．
设数列：，此时．
现对数列分别作如下变换：
把一个1移动到2，3之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到3，4之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到，n之间得到数列：，
此时，．
把一个1移动到n，之间，得到数列：，
此时，．
再对数列依次作如下变换：
把一个1移为的后一项，得到数列：，
此时，；
再把一个2移为的后一项：得到数列：，
此时，；
依此类推
最后把一个n移为的后一项：得到数列：，
此时，．
综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为．
【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同.
极大值