河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案

河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

3．设的两根是、，则（    ）

A． B． C． D．

4．设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题不正确的是（    ）

A．函数的两个零点可以分别在区间和内

B．函数的两个零点可以分别在区间和内

C．函数的两个零点可以分别在区间和内

D．函数的两个零点不可能同时在区间内

6．函数与在上的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数为奇函数，则α的值可能为（    ）．

A．0 B． C． D．

8．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于x的方程解的个数为（    ）

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012

二、多选题

9．已知函数，则的化简的结果可能是（    ）

A． B． C． D．

10．（多选）已知函数，则的单调区间有（    ）

A． B． C． D．

11．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．的值大于零

C．若，则 D．若，，则

12．（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．当时，函数的定义域为

B．当时，函数的值域为

C．函数有最小值的充要条件为：

D．是偶函数的充要条件是

三、填空题

13．函数，的值域为______.

14．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是______.

15．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.

四、解答题

16．已知函数，则不等式在上的解集为______.

17．

(1)已知，求的值；

(2)计算：.

18．已知函数(，且)是指数函数.

(1)求k，b的值；

(2)求解不等式.

19．已知函数，.

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)当时，求的最小值以及取得最小值时x的值.

20．自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，）

21．设函数(且)是定义在上的奇函数.

（1）若，求使不等式对恒成立的实数的取值范围；

（2）设函数的图像过点，函数.若对于任意的，都有，求的最小值.

22．已知函数（，且）满足.

(1)求a的值；

(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.

参考答案：

1．D

【分析】先根据指数函数性质得函数过点,再根据题意列不等式，解得结果.

【详解】指数函数过点,则函数过点,

若图像不经过第二象限,则,

即,

故选：D

【点睛】本题考查指数函数图象及其应用，考查数形结合思想方法，属基础题.

2．B

【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，对于函数，由得，

所以不满足“区间上单调递减”，A选项错误.

B选项，对于函数，根据函数的图象可知，函数的最小正周期为，

且函数在区间上单调递减，符合题意，B选项正确.

C选项，对于函数，其在区间上单调递增，不符合题意，C选项错误.

D选项，对于函数，最小正周期，不符合题意，D选项错误.

故选：B

3．C

【分析】求得，结合对数运算求得正确答案.

【详解】由得或，

解得或，不妨设，

所以.

故选：C

4．D

【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.

【详解】因为，，，

又因为在上单调递增，所以，即，

因为，所以，

又因为在上单调递增，所以，即，

综上：.

故选：D.

5．C

【分析】对于A，令，，，即可判断；

对于B，令，，，即可判断；

对于C，假设函数的两个零点分别在区间和内，得到与矛盾的结论，即可判断；

对于D，假设函数的两个零点都在区间内，则会得与矛盾的结论，即可判断.

【详解】对于A，由，，令，，，则可得函数的两个零点可以分别在区间和内，故正确；

对于B，由，，令，，，则可得函数的两个零点可以分别在区间和内，故正确；

对于C，由，且函数的两个零点分别在区间和内，则必有，，与矛盾，故错误；

对于D，如果函数的两个零点都在区间内，又因为，则必有，，进而有，与矛盾，所以函数的两个零点不可能同时在区间内，故正确.

故选：C.

6．D

【分析】通过解三角方程求得的坐标，从而求得的面积.

【详解】依题意，，则

由，得，

，.

，，

解得，所以或（不妨设），

所以，

所以，线段中点坐标为，

所以.

故选：D

7．D

【详解】取x=0，f(0)=cosα+cos2α，

对于选项A，，

对于选项B，，

对于选项C，，

对于选项D，，

只有D选项符合奇函数的性质．

故选：D.

8．B

【分析】将在区间内关于x的方程解的个数，转化为的交点个数，根据已知条件可得函数是定义在上的偶函数，且周期为4，画出在区间的函数图像，数形结合即可求出交点个数.

【详解】解：已知函数是定义在上的偶函数，当时，，

则，，

又，则

即，可知函数的周期为4，值域为，

求在区间内关于x的方程解的个数，即为求的交点个数，

令，

有，，

由以上分析，画出函数和在区间的大致图像，如下图所示，

可得在区间有一个交点，区间有一个交点，以此类推，

所以在区间有个交点，

在区间内，，与函数无交点，

所以在区间内关于x的方程解的个数为1010，

故选：B.

9．AB

【分析】由题意可得，根据同解的平方关系可得，，于是有=，再分，去绝对值即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

即函数的定义域为：，

所以，

，

所以==.

故选：AB.

10．ACD

【分析】化简的解析式，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.

【详解】

，

所以在区间、上单调递增；

在区间上单调递减.

由于，，

所以在区间上单调递减.

故选：ACD

11．AD

【分析】利用诱导公式化简得，可求的值，根据奇函数的定义即可判断是否为奇函数，构造齐次式方程，代入，即可求出的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出，再根据三角函数值的正负，即可求出结果.

【详解】解：，

则，

的定义域为R，，

且，

为奇函数，A选项正确；

，B选项错误；，C选项错误；

若，

则，即，

，，

而，，

则，D选项正确；

故选：AD.

12．BCD

【分析】结合对数函数的性质、充要条件、偶函数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】当时，，

由解得或，

所以的定义域为或，A选项错误.

由于的范围是，所以的值域为，B选项正确.

由于，

所以函数有最小值，整理得，C选项正确.

由于偶函数的图象关于轴对称，若函数是偶函数，则；

若，，定义域为，且，即为偶函数，

所以是偶函数的充要条件是，D选项正确.

故选：BCD

13．

【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.

【详解】令，由于，所以.

则，

根据二次函数的性质可知，当时，；当时，，

所以函数，的值域为.

故答案为：

14．

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.

【详解】令，则开口向上，对称轴为，

因为在上单调递减，

所以在上只有一个单调区间，则在上单调递增，

故，即，

又由对数函数的定义域可知在上恒成立，则，

即，故，

又因为在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，故，

综上：，即.

故答案为：.

15．

【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.

【详解】解：过作于，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，

扇形BAC的面积，

莱洛三角形的面积为：，

故答案为：.

16．

【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可.

【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，

当时，函数在上单调递增，且，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

又因为不等式，也即，

所以，则，因为，

所以，

故答案为：.

17．(1)6

(2)3

【分析】（1）根据指数与根式的互化，以及指数的运算法则，即可求值；

（2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.

【详解】（1）解：已知，即，

，

即，

所以，

则.

（2）解：原式.

18．(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；

（2）分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.

【详解】（1）解：因为(，且)是指数函数，

所以，，

所以，；

（2）解：由（1）得(，且)，

①当时，在R上单调递增，

则由，

可得，解得；

②当时，在R上单调递减，

则由，

可得，解得，

综上可知，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

19．(1)最小正周期为，单调递增区间是，

(2)最小值为，此时.

【分析】（1）利用三角函数最小正周期公式求得的最小正周期；利用整体代入法求得的单调递增区间.

（2）根据三角函数最值的求法求得在区间上的最小值以及此时对应的的值.

【详解】（1）依题意，，所以最小正周期；

由，解得，，

所以在区间，上单调递增.

（2），，

所以，所以，

所以函数在区间上的最小值为，

由可求得此时.

20．(1)函数更合适，解析式为

(2)14

【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断；

（2）设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．

【详解】（1）若选，将，和，代入可得，

，解得，

故，

将代入，，不符合题意，

若选，将，和，代入可得，

，解得，故，

将代入

可得，符合题意，

综上所述，选择函数更合适，解析式为.

（2）设至少需要个单位时间，

则，即，

两边同时取对数可得，，

则，

∵，∴的最小值为14，

故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．

21．（1）；（2）最小值为.

【解析】（1）根据是奇函数可求得，由可得，继而判断是增函数，将不等式化为，利用单调性可得对恒成立，即可求解；

（2）由点求得，可判断在上单调递增，进而可得，求出的最大最小值即可.

【详解】解：（1）∵是定义在上的奇函数，

∴，∴，解得，

则，此时，满足题意，

而等价于，

若，则，结合且，解得，

则为增函数，

结合，可得，

根据题意，对恒成立，

则，解得；

（2）∵函数的图像过点，∴，

解得(不符，舍去)或，

∴，

在上单调递增，

在上单调递增，

∵对于任意的，都有，

且在区间上恒有，∴，

则，，

则，即的最小值为.

【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为，利用单调性求解.

22．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，即求；

（2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得.

【详解】（1）因为，

所以，

即，

解得.

（2）由题意可知函数的图象在上连续不断.

①当时，因为与在上单调递增，

所以在上单调递增.

又因为，

所以.

根据函数零点存在定理，存在，使得，

所以在上有且只有一个零点.

②当时，，所以，

所以在上没有零点.

③当时，，所以，

所以在上没有零点.

综上所述，在定义域上有且只有一个零点.

因为，即.

所以，

又因为在上单调递减，

所以，

即.

【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有零点；③当时，函数没有零点.