天津市第二中学2022-2023学年高二上学期12月学情调查数学试题及答案

这是一份天津市第二中学2022-2023学年高二上学期12月学情调查数学试题及答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市第二中学2022-2023学年高二上学期12月学情调查数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（    ）A． B． C．1 D．22．已知数列满足，则（    ）A． B．1 C．4043 D．40443．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（    ）A． B． C． D．4．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到其另一个焦点的距离等于（    ）A．2 B．3 C．1 D．5．双曲线的渐近线方程是（      ）A． B．C． D．6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）A．2 B．3 C．6 D．97．设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为A． B． C． D．8．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．9．已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（    ）A． B． C． D．210．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为A． B． C． D．11．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D． 二、填空题12．在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于______．13．等差数列的首项，公差，则使数列的前项和最大的正整数的值是__________14．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝______．15．已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.16．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________. 三、解答题17．设数列前n项和为，，求数列的通项公式．18．设正项数列满足，且.(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，求证：数列的前项和.19．已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于、两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个值，若不存在说明理由.20．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．
参考答案：1．C【解析】根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】因为是公差为d的等差数列，且，所以，解得，故选：C2．A【分析】由递推式得到，从而得到，由此再结合即可求得的值.【详解】由得，两式相加得，即，故，所以.故选：A．3．B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求得正确答案.【详解】，由题意可得.故选：B4．C【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得的值，由椭圆的定义可得椭圆上一点到它的2个焦点的距离之和为，结合题意即可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆的标准方程为：，则其焦点在轴上，且，若椭圆上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离为，故选：C．【点睛】本题考查椭圆的定义，关键是从椭圆的方程中求出的值，属于基础题．5．C【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C6．C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.7．B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n.【详解】抛物线,,焦点坐标为椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同椭圆的半焦距,即，，椭圆的标准方程为，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定. 8．A【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．B【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，当时，，得，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：B10．C【详解】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4． 11．B【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，则，故.故选：B.12．4【分析】利用等差数列前项和公式和等差中项求解即可.【详解】因为等差数列前5项的和，所以，所以故答案为：413．5【分析】根据等差数列的求和公式及二次函数的性质即得.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以，所以时，数列的前项和最大.故答案为：5.14．180【分析】根据等差数列前项和的性质进行求解即可.【详解】由等差数列前项和的性质得：，，成等差数列，所以，得，解得.故答案为：15．【分析】利用分组求和直接计算.【详解】由，当时，，当时，，所以，故答案为：.16．2【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得.所以，经过点的双曲线方程为：，故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，所以，焦点到一条渐近线的距离是，故答案为：17．【分析】利用，求得数列的通项公式【详解】解：由，当时，；当时，，∵不适合上式，所以数列的通项公式18．(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得；（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可证得.【详解】（1）因为，所以，又，故，所以是首项为，公差为的等差数列，故，则，因为数列是正项数列，所以.（2）由（1）得，当时，；当时，，所以；综上：.19．（1）；（2）存在，.【解析】（1）解方程组即可得的值，进而可得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程消元可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，用表示且，解方程，若有解说明存在，否则说明不存在.【详解】（1）由题得可得解得，，，所以椭圆的方程为.（2）假设实数，使以为直径的圆过定点，直线与椭圆相交于、两点设，联立  ，得：，，（*）若以为直径的圆过定点则，则：将（*）代入此式，解得：，满足【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是直径所对的圆周角是直角得出，即，再利用向量数量积的坐标表示.20．(1)；(2). 【分析】（1）由题意结合几何关系可求得，.则椭圆的方程为；（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，解出，或.经检验的值为.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，椭圆的方程为．（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．因为，所以有，，，所以，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，由可得，，不合题意，舍去；当时，由可得，，.所以，.