2023江苏省新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考数学试题含答案

2023届新高考基地学校高三第三次大联考

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知是单位向量，若，则（    ）

A.    B.    C.8    D.

4.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”·刘徽从圆内㧍正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正1536边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.若函数的极大值点为，则的值为（    ）

A.    B.    C.或    D.或

6.设椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点.若，则的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若函数的最小正周期为，则（    ）

A.

B.是图象的对称轴

C.是图象的对称中心

D.在上单调递增

10.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（    ）

A.甲､丁两队比赛，甲队胜

B.丁队至少积1分

C.乙､丙两队比赛，丙队负

D.甲､丙两队比赛，双方战平

11.已知正四棱锥的所有棱长都相等，分别是侧面，侧面和底面的中心，则（    ）

A.    B.平面

C.    D.平面

12.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设等差数列的前项和为，若，则__________.

14.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为__________.

15.设抛物线和的焦点分别为，点在上，轴，线段交于点，且为的中点，则的值为__________.

16.已知圆柱的轴截面是边长为8的正方形，是圆上两点，是圆上两点，且，则四面体的外接球的表面积为__________，四面体的体积为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

记的内角所对边分别为，已知.

（1）证明：；

（2）若，求的面积.

18.（12分）

已知数列满足.

（1）设，证明：是等比数列；

（2）记数列的前项和为，求.

19.（12分）

已知函数.

（1）设，求在区间上的最值；

（2）讨论的零点个数.

20.（12分）

如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，，点在上.

（1）若平面，求；

（2）若是的中点，求二面角的正弦值.

21.（12分）

已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，

（1）设直线的斜率分别为，求的值；

（2）若，求的面积.

22.（12分）

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，证明：.

2023届新高考基地学校高三第三次大联考

数学-答案与解析

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】或，选.

2.【答案】A

【解析】，则

选.

3.【答案】B

【解析】，即，，选B.

4.【答案】B

【解析】正边形圆心角，

正边形圆心角，

5.【答案】

【解析】，或，

由选项知，则在，

极大值为，即，即.

6.【答案】A

【解析】令则，

中，，

，Rt中，，选A.

7.【答案】D

【解析】，

，

选D.

8.【答案】B

【解析】，

，

，选B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】BD

【解析】

则关于对称，，

错.

，

是图象的对称轴，B对.

时，，

不是对称中心，C错.

的一个单调增区间，

在单调增，D对，选BD.

10.【答案】ACD

【解析】甲队积7分胜两场平一场；

乙队积6分，胜两场负一场，负的一场一定是负给甲的，

乙队胜了丙､丁两队，对.

两队积了4分，胜平负各一场，负是输给乙

当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，芮胜甲不可能.

甲丙平，甲胜丁，AD对，选ACD.

11.【答案】BCD

【解析】取中点中点分别为的中心

，又平面对.

平面对.

设，则，

，

平面，

平面平面对，选BCD.

12.【答案】ACD

【解析】是偶函数关于对称，关于对称，

为奇函数，，

，

对，B错.

对.

，D对.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】

【解析】

14.【答案】

【解析】时，切点，

切线过，

时，，切点，

切线过，

.

15.【答案】

【解析】在上，

解得

16.【答案】；

【解析】方法一：圆柱外接球半径，

圆上取两点使得，

圆上取两点使得，

直四棱柱的体积，

.

方法二：（1）显然圆柱底面半径为4，高为8，取中点，则为四面体球心，

.

（2）过作于点四边形为平行四边形，

.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】

（1）因为，所以，

因为，所以，

所以，由正弦定理，得.

（2）由①得，①

由余弦定理，得，②

由①②解得.

所以的面积为.

18.【解析】

（1）因为，

所以

.

又因为，

所以数列是以2为首项2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，，所以，

所以，

所以.

两式相减，得

，

所以.

19.【解析】

（1）因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时，取最大值；

当时，取最小值.

（2）先讨论在上的零点个数，

由（1）可知，在上递减，，

所以在上递减，因为，

所以以在上有唯一零点，

因为是偶函数，所以在上有两个零点.

20.【解析】

（1）取中点，连结，过点作交于点，连结.

因为是正三角形，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以，

所以，所以四点共面，

因为平面平面，

面平面，所以.又因为，

所以四边形是平行四边形.

所以，所以是三角形的中位线，

所以.

（2）如图，以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，

因为，所以，

所以，

设平面的一个法向量，则

即令，则，所以.

又平面的一个法向量，

设二面角所成角的大小为，所以，

所以.即二面角的正弦值为.

21.【解析】法一：

（1）因为，所以，令得，

所以，解得，所以的方程为

显然直线与轴不垂直，设其方程为，

联立直线与的方程，消去得，，

当时，，

设，则.

因为，

所以

.

（2）因为，所以，

又因为，所以，即，（※）

将代入（※）得，，

因为在轴上方，所以，所以直线方程为，

联立与直线方程，消去得，，

解得或（舍），所以，

代入，得，所以直线方程为，

联立与直线方程，消去得，，

解得或，

所以的面积为.

法二：

（1）由题意得双曲线的方程为.

设方程为，

，

，

.

（2）设，由

方程，

同理联立，

.

22.【解析】法一：

（1）因为，

①当时，在上递增；

②当时，由得，，

i）当时，，

当时，；当时，，

所以在上递减，在上递增.

ii）当时，，

当时，；

当时，，

所以在上递增，在上递减，在上递增.

综上，当时，单调减区间为，单调增区间为；

当时，单调减区间为，单调增区间为和；当时，单调增区间为，无减区间.

（2）设，

因为

.

因为时，，

所以在上递减，所以.

设，

则

所以，即.

解析二：（1），令.

①当，即时，在上的单增区间为，无单减区间.

②当，即时，

（i）若时，令，

的单增区间为，单减区间为.

（ii）若时，令的单增区间为单减区间为.

（2）分析：要证，

，

先证，

令，

对恒成立，

，

，证毕!