【期末模拟检测】人教A版(2019)数学选择性必修第一册-高二上学期——期末模拟题（一）

高二上册数学期末模拟题（一）-人教A版（2019）新高考

一、单选题

1．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

2．若直线与圆相切，则（    ）

A． B．或2 C． D．或

3．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ）

A． B． C．27 D．40

5．若，则的切线的倾斜角满足（    ）

A．一定为锐角 B．一定为钝角

C．可能为直角 D．可能为0°

6．如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

8．设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（    ）

A．(–，0) B．(–，0]

C．(–，0]∪(1，+∞) D．(–，1)

二、多选题

9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（    ）

A．22 B．24

C．26 D．28

10．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（    ）

A． B． C．4 D．5

11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则

B．若直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则

C．若直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则

D．若两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则

12．已知双曲线的两个顶点分别是，，两个焦点分别是，.是双曲线上异于，的任意一点，则有（    ）

A．

B．直线，的斜率之积等于

C．使得为等腰三角形的点有8个

D．若，则

三、填空题

13．直线与直线间的距离为__________.

14．，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，从任一焦点向中的的外角平分线引垂线，垂足为，则点的轨迹方程为______．

15．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为________.

16．如果数列满足：，且对于任意，存在实数使得是方程的两个根，则的所有可能值构成的集合是____________．

四、解答题

17．设函数其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；

（2）求函数的单调区间．

18．在等差数列中，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求．

19．已知圆：，直线：（）.

（1）判断直线与圆的位置关系；

（2）若圆C上有三个不同的点到直线的距离为，求此时的直线方程.

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，⊥底面，分别为的中点，，，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的正弦值．

21．在平面直角坐标系中，已知圆：，，动圆经过点且与圆相外切，记动圆的圆点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）试问，在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于，两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

22．已知函数，其中.

（1）当时，讨论在上的单调性；

（2）若对任意都有，求实数的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．

故选：B

2．D

【分析】

根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.

【详解】

由圆可得圆心，半径，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

整理可得：，所以或，

故选：D.

3．D

【分析】

先将抛物线的方程化为标准形式，从而得出其准线方程.

【详解】

由抛物线，则其标准方程为

所以其准线方程为

故选：D

4．D

【分析】

由条件可得成等比数列，，首先解出，然后可得答案.

【详解】

因为等比数列的前项和为，，，

所以成等比数列，

所以，即，解得（负值舍去）

所以，所以

故选：D

5．A

【分析】

求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．

【详解】

，

设，则，

时，，递减，时，，递增，

而，所以时，，所以，

切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．

故选：A．

6．B

【分析】

设点的坐标为，设，连接，由线面平行的性质可得出，利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得出点的坐标.

【详解】

如图，设点的坐标为，设，连接，则，

又，，则，，

平面，平面，平面平面，则，即，

所以，，解得，所以，点的坐标为，

故选：B.

7．C

【分析】

设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由已知可得，由双曲线的定义可得，根据离心率的范围求出的范围，再由椭圆的离心率为即可求解.

【详解】

设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

因为是以线段为底边的等腰三角形，所以

由椭圆的定义可得即，

由双曲线的定义可得即，

双曲线的离心率，

即，整理可得，

可得，

椭圆的离心率为，

故选：C.

8．C

【分析】

根据导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出.

【详解】

当时，，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，

画出的函数图象如下：

函数有两个零点，等价于与的函数图象有两个交点，

由图可知或.

故选：C.

9．AD

【分析】

通过计算找到数列的周期，即得解.

【详解】

解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．

所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．

故选：AD

10．BC

【分析】

由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案.

【详解】

解：曲线表示圆在轴的上半部分，

当直线与圆相切时，，解得，

当点在直线上时，，

所以由图可知实数m的取值范围为，

故选：BC.

11．AD

【分析】

根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.

【详解】

对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，因为，所以或，故B错误；

对于C，因为，所以，故C错误；

对于D，因为，所以，故D正确．

故选：AD．

12．BCD

【分析】

根据双曲线定义，结合双曲线的几何性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断并选择.

【详解】

设点，

A：不妨取点满足双曲线方程，

此时：，故错误；

B：，又因为，

代入可得：，故正确；

C：分别以为圆心，以为半径作圆，与双曲线交于个点，如下所示：

故使得为等腰三角形的点有8个，正确；

D：因为，故可得，解得：；

又，正确；

综上所述，正确的选项是：.

故选：.

13．

【分析】

根据两平行线间的距离公式，即可求出结果.

【详解】

解：直线与直线间的距离为：

.

故答案为：.

14．.

【分析】

延长交的延长线于，由椭圆的定义得到,进而得到,结合圆的定义，即可求解.

【详解】

由题意，椭圆，可得，

如图所示，延长交的延长线于点，

因为为的外角平分线，且,可得，

由椭圆的定义，可得，即,

又由点分别为的中点，可得,

由圆的定义，可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

所以点点的轨迹方程为.

故答案为：.

15．##

【分析】

求出函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论．

【详解】

因为函数的导数为，

则函数在处的切线的斜率，

故切线方程为，整理得

故答案为：

16．

【分析】

根据一元二次方程的解法求出，可知或，先由判断出数列在前项中后一项比前一项小的项数，再根据数列的前项中后一项比前一项小的项数分类讨论，即可求出．

【详解】

因为方程的两个根为，

所以或，所以或．

当恒成立时，若，则，这与不符；

当恒成立时，若，则，这与不符；

当时，在数列的前项中，后一项比前一项大的有项， 后一项比前一项小的有项，所以有，，解得，，所以在数列的前项中，若没有后一项比前一项小的项，则；若后一项比前一项小的项只有一项，则；若后一项比前一项小的项有两项，则．故的所有可能值构成的集合是．

故答案为：．

17．（1）1；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题设得，求出即可知切线斜率；

（2）由题意，讨论的符号，即可求单调区间．

【详解】

（1）由题设，，则，

∴，故点处的切线斜率为1.

（2）由题设，，又，

∴，且，

当时，，单调递增；

当时，或，单调递减；

∴在上递增，在、上递减.

18．

（1）；

（2）1280.

【分析】

（1）利用可以求出公差，即可求出数列的通项公式；

（2）通过（1）判断的符号，进而去绝对值，计算可得结论.

（1）

设数列的公差为，又，

，

；

（2）

由（1）知，，当时，；当时，；

.

19．

（1）直线和圆相交；

（2）.

【分析】

（1）先求出直线经过的定点，再证明定点在圆内，即得解；

（2）由题得圆心到直线的距离为，求出的值，即得解.

（1）

解：，所以，

所以直线经过定点.

因为，所以定点在圆内，

所以直线和圆相交.

（2）

解：由题得圆的圆心为，半径为,

因为圆C上有三个不同的点到直线的距离为，

所以圆心到直线的距离为，

所以，

所以.

所以直线的方程为.

20．

（1）证明见解析；

（2）.

【分析】

（1）由已知条件证明四边形是矩形，进而得出，又由等腰三角形的性质和面面垂直的性质，证得，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理即可求证；

（2）由（1）可得：，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，，由空间向量夹角公式以及同角三角函数基本关系即可求解.

（1）

因为，为的中点，，所以，

所以四边形为平行四边形，

因为，所以平行四边形是矩形，所以，

因为，，所以，

又因为平面平面，平面平面，面，

所以平面，因为面，所以，

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）

由（1）可得：，，两两垂直，如图，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设平面的一个法向量，

由 则，令，则，所以，

设平面的一个法向量，

由，可得，令，则，

所以，

所以，

所以二面角的正弦值为，

21．

（1）（）

（2）不存在，理由见解析

【分析】

（1）根据点与圆和圆与圆的位置关系得到，再利用双曲线的定义求解；

（2）假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的方程为，与双曲线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解.

（1）

解：设动圆的半径长为，则，，

.

因此，圆心的轨迹为以、为焦点，实轴长为的双曲线的右支，

设的方程为（），

则根据双曲线定义，，

，

因此的方程为（）.

（说明：没写的范围扣1分）

（2）

不存在满足条件的点，理由如下：

假设存在满足条件的点，设点的坐标为，直线的斜率为，

则直线的方程为，

由消去并整理，得，

设、，则，，（*）

由，得，即，

将，代入上式并化简，

得.

将（*）式代入上式，有，

解得.

而当直线交于，两点时，必须有且.

当时，，，

由无解，

则当时，不符合条件.

因此，不存在满足条件的点.

22．

（1）在上单调递减，在上单调递增

（2）

【分析】

（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.

（1）

当时，，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.

所以，在上单调递减，在上单调递增.

（2）

令，则.

当吋，，所以.

当时，，故在上单调递增.

又，故.

当时，令，则，故在上单调递增.

故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，，故不符合 .

综上所述，的取值范围为.