精品解析：北师大版九年级数学下册 第三章 圆 单元检验卷 （解析版）

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北师大版九年级数学下册 第三章 圆 单元检验卷
一、选择题
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )

A. 25π－6 B. －6 C. －6 D. －6
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD且OA=AC=×8=4，
OB=BD=×6=3，
由勾股定理得，AB=，
∴阴影部分的面积=•π（）2-×4×3=π-6．
故选：D．

2. 如图，半径为2cm，圆心角为的扇形中，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等．连接AB，OD，根据两半圆直径相等可知∠AOD＝∠BOD＝45°，故可得出绿色部分的面积＝S△AOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOB−S半圆−S绿色，故可得出结论．
【详解】解：整个扇形被分成和两个四部分，连接AB，OD，延长交圆弧于，如图所示：

∵扇形OAB的圆心角为90°，扇形半径为2，
∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），
，
，即，
∴SQ=SP，
∵两半圆的直径相等，
∴∠AOD=∠BOD=45°，
∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2），
∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查不规则图形面积的求法，涉及圆的面积、扇形面积公式，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
3. 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）

A. 15° B. 20° C. 30° D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC．∴∠OBC=90°．
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°．
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ( )

A. B. 2π C. D. 4π
【答案】B
【解析】
【详解】 ，故选B.
5. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出 ，得出答案即可；
(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；
(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；
(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.
【详解】（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
（），
，
与相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
（），
，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故（3）正确；
（4）四边形是菱形，，
，则，
，
故（4）正确；
正确个数有4个.

故选.
【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
6. 如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，

∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
【点睛】考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
7. 如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.

A. B. C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，

∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
8. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
详解】解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积计算，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形，然后判断出阴影部分的面积表示是解题的关键，属中档题．
9. 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）

A. 5：4 B. 5：2 C. ：2 D. ：
【答案】A
【解析】
【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【详解】如图1，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠ABO＝，AB＝BC＝CD＝1，
∵∠AOB＝，
∴OB＝AB＝1，
由勾股定理得：OD＝，
∴扇形的面积是；
如图2，连接MB、MC，

∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC＝，MB＝MC，
∴∠MCB＝∠MBC＝，
∵BC＝1，
∴MC＝MB＝，
∴⊙M的面积是，
∴扇形和圆形纸板的面积比是，
故选：A．
【点睛】本题考察圆内接四边形的性质、正方形的性质、扇形的面积公式，求出扇形和圆的面积是解题的关键．

10. 如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择的射门方式是( )

A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】设连接CQ，根据三角形外角的性质可得∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠PCQ=∠B＞∠A；又因点C到球门的距离比点B到球门的距离近，所以选择第三种射门方式更好，故选C.
二、填空题
11. 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

【答案】
【解析】
【详解】过D点作DF⊥AB于点F．

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=.
故答案为：.
12. 已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是_____cm，扇形的面积是_____cm2（结果保留π）．
【答案】 ①. 5π ②. 15π
【解析】
【详解】试题分析：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，
∴此扇形的弧长是：．
根据扇形的面积公式，得．
13. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____．

【答案】
【解析】
【详解】如图，连接AB，则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知：

阴影部分面积=
．
故答案是：．

14. 如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CD交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．

【答案】6
【解析】
【分析】先根据切线的性质得出∠OBC=90°，再设半径为R，表示出OC，根据勾股定理列出方程，求出解即可．
【详解】∵BC与⊙O相切于B点，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°．
设⊙O的半径是R，则OC=R+4，BC=8，OB=R，
在△OBC中，由勾股定理得：OB2+BC2=OC2，
即R2+82=（R+4）2，
R=6．
则圆得半径6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理求圆的半径，列出方程关于半径的方程是解题的关键．
15. 如果正三角形ABC的内切圆半径为1，那么三角形的边长为__________．
【答案】2
【解析】
【详解】如图，过O点作OD⊥AB，则OD=1．
∵O是△ABC的内心，
∴∠OAD=30°；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，
∴AD== ，
∴AB=2AD=2．

点睛：本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质，关键在于作辅助线构建直角三角形．
16. 如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为______s时，BP与⊙O相切．

【答案】1或5##5或1
【解析】
【详解】解：连接OP，

∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=3cm，
∴，
∴圆的周长为6π，
∴点P运动的距离为π或6π-π=5π；
∴当t=1或5时，有BP与⊙O相切，
故答案为：1或5
17. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为______cm

【答案】6
【解析】
【详解】试题解析：如图所示，过P作PH⊥BC于H，

根据正六边形的性质可知，∠BPC=60°，
即∠BPH=∠BPC=×60°=30°，BH=BC=×2=1cm；
∴PH=
∴正六边形各边的距离之和=6PH=6×=6cm．
考点：正多边形和圆．
18. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为_______cm．

【答案】2
【解析】
【详解】解：如图，连接OB

∵
∴
∵在⊙O中，CD直径，弦ABCD
∴AE=BE，且△OBE是等腰直角三角形
∵AB=cm
∴BE=cm
∴OB=2 cm
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键．

19. 如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=_______．

【答案】
【解析】
【详解】分析：如图，延长ME交⊙O于G，过点O作OH⊥MN于H，连接MO，

∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，．
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA﹣AE=×6－×6=3﹣2=1，OM=×6=3．
∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=1×=．
在Rt△MOH中，，
根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN=．
20. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是_______．

【答案】①③⑤.
【解析】
【详解】试题分析：①连接CD，如图1所示，∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，∴∠F=∠CDF，∴CD=CF，∴CE=CD=CF，∴结论“CE=CF”正确；

②当CD⊥AB时，如图2所示，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=．∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=BC=．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴线段EF的最小值为．∴结论“线段EF的最小值为”错误；

③当AD=2时，连接OC，如图3所示，∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形，∴CA=CO，∠ACO=60°，∵AO=4，AD=2，∴DO=2，∴AD=DO，∴∠ACD=∠OCD=30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DCA，∴∠ECA=30°，∴∠ECO=90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切，∴结论“EF与半圆相切”正确；

④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示，∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC，∴∠AGD=90°，∴∠AGD=∠ACB，∴ED∥BC，∴△FHC∽△FDE，∴FH：FD=FC：FE，∵FC=EF，∴FH=FD，∴FH=DH，∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°，∴BF=BD，∴∠FBH=∠DBH=30°，∴∠FBD=60°，∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴∠FAB=30°，∴FB=AB=4，∴DB=4，∴AD=AB﹣DB=4，∴结论“AD=”错误；

⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称，∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分，∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=4×=，∴EF扫过的面积为，∴结论“EF扫过的面积为”正确．
故答案为①③⑤．

考点：1．圆的综合题；2．等边三角形的判定与性质；3．切线的判定；4．相似三角形的判定与性质．

三、解答题
21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．

（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1） ∠C=30°
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=，OF=，
∴AB=，
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××π﹣．
【点睛】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
22. 如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，通过，即可证明；
（2）连接，通过证明OD是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键．

23. 如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作ACBD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

【答案】（1）证明见解析；（2）6πcm2．
【解析】
【分析】连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；
（2）证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．
【详解】（1）如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．

根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，
∵ACBD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O切线；
（2）由（1）知，AC为⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵ACBD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=BD=3．
在Rt△OBM中，
∠COB=60°，OB==6．
在△CDM与△OBM中
，
∴△CDM≌△OBM（ASA），
∴S△CDM=S△OBM
∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．
【点睛】考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算．
24. 在ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.
(1)求圆心O到CD的距离；

(2)求由弧AE，线段AD，DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留π和根号)
【答案】（1）5（2）25+-．
【解析】
【详解】试题分析：(1)、连接OE，根据切线可得OE⊥CD，根据AB求出OE的长度，即圆心到CD的距离；(2)、根据平行四边形得出∠C=120°，∠BOE=90°，作EF∥CB，根据Rt△OEF求出OF的长度，然后得出EC和DE长度，从而求出梯形OADE的面积和扇形OAE的面积，从而得出阴影部分的面积.
试题解析：(1)、连接OE．
∵边CD切⊙O于点E．∴OE⊥CD 则OE就是圆心O到CD的距离，则圆心O到CD的距离是×AB=5．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形． ∴∠C=∠DAB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BOE=360°-90°-60°-120°=90°， ∴∠AOE=90°，
作EF∥CB，∴∠OFE=∠ABC=60°， 在直角三角形OEF中，OE=5，
∴OF=OEtan30°=．EC=BF=5-． 则DE=10-5+=5+，
则直角梯形OADE的面积是：（OA+DE）×OE=（5+5+）×5=25+．
扇形OAE的面积是：． 则阴影部分的面积是：25+-．
考点：(1)、扇形的面积计算；(2)、平行四边形的性质；(3)、三角函数.
25. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质以及，即可证得，然后根据等边对等角即可证得；
（2）过点作于点，则利用垂径定理即可求得的长，然后在直角中利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

是的切线，
，
又，
，
，
，

，
即平分．
（2）解：过点作于点，则，
在中，．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，解题的关键是得到．