吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题及答案

这是一份吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的准线方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
A．B．C．D．
4．若直线过第一､二､三象限，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．若为椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线的两个焦点分别是，双曲线上一点到的距离是12，则到的距离是（ ）
A．17B．7C．7或17D．2或22
9．已知、是两个平面，直线，，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
A．①③②；①②③B．①③②；②③①
C．①②③；②③①D．①③②；①②③；②③①
10．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于（ ）
A．B．C．16D．或16
11．一束光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则入射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．经过点且与直线平行的直线方程为______．
14．在正方体中，过三点的平面与底面的交线为，则直线与的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）
15．已知抛物线的弦的中点的横坐标为2，则的最大值为__________．
16．如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.
三、解答题
17．如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
18．已知直线.
（1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
19．已知直线，，且垂足为．
（1）求点的坐标；
（2）若圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为2，求圆的标准方程．
20．如图，在多面体中，已知四边形为矩形，为平行四边形，平面的中点为的中点为，且.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
21．已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：（）与曲线有（）个公共点.
(1)若，求的最小值；
(2)若，记这个交点为，，，其中在第一象限，，证明：
22．已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案：
1．A
【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.
【详解】由题设方程，椭圆焦点在x轴上且，
∴焦点坐标为.
故选：A.
2．C
【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是，所以，
所以.
故选：C
3．C
【详解】，故，即，故渐近线方程为.
【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.
4．C
【分析】将直线过第一､二､三象限，转化为直线在轴上的截距为负，在轴上的截距为正，可得答案.
【详解】将直线化为，又直线过第一､二､三象限，
所以它在轴上的截距为负，在轴上的截距为正，
所以，．
所以.
故选：C.
5．B
【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，
所以体积为.
故选：B
6．D
【分析】先求得，由此求得的最大值.
【详解】，，，
即.
所以的最大值为.
故选：D
7．B
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】由于平面，平面，
所以，故是与平面所成角，
由于正方形的边长为，所以，
所以.
故选：B
8．D
【分析】讨论点位置，结合求.
【详解】当在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得，
解得，
当在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得，
解得，
因为，所以满足题意.
所以或，
故选:D.
9．A
【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.
【详解】（1）证明：①②③为真命题
因为，，设平行于内一条直线，所以，
根据面面垂直的判定定理可知：，所以①②③为真命题；
（2）证明：①③②为真命题
因为，，所以或，
又因为，所以，所以①③②为真命题；
（3）证明：②③①为假命题
作出正方体如下图所示：
记直线为，平面为，平面为，
所以，，但，所以②③①为假命题；
故选：A.
【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.
10．D
【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.
【详解】依题意，，不妨设，
对于直角三角形，
若，
由，整理得,
所以.
若或为直角，
由得，
所以.
所以，的面积等于或16.
故选：D
11．C
【解析】设入射光线所在的直线方程为，根据对称性可知，直线与圆关于x轴的对称圆相切，即可求出斜率k.
【详解】由题意可知，点在入射光线上，
设入射光线所在的直线方程为，即.
圆关于轴对称的圆为，
则入射光线与该圆相切.
由相切的性质可得，
化为，解得或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.
12．B
【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】由双曲线的定义得，又，
，即，
因此，即，则，
解得，（舍去），
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.
13．．
【解析】设经过点且与直线平行的直线方程为，然后将求解.
【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为，
把代入，得：，
解得，
∴经过点且与直线平行的直线方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.
14．平行
【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.
【详解】根据正方体的性质可知：，
由于平面，平面，所以平面，
由于平面平面，平面，
所以.
故答案为：平行
15．6
【分析】利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，
那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，
所以|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，
当AB过焦点 F时取最大值为6．
16．
【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.
【详解】球的体积为，则两个圆锥的体积之和为，
设两个圆锥的高分别为，则，
设圆锥底面圆半径为，则，
解得：，即，
所以，
所以这两个圆锥的高之差的绝对值为
故答案为：
17．（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积
【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线．
∴该圆锥的表面积．
（2）在中，，
∵是PO的中点，∴．
∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
∴截得的圆台的体积．
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）将含有a的项整理在一起，令a的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；
（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.
【详解】（1）直线化为，令
即直线恒过定点，直线l总经过第一象限.
（2）直线化为，当时，得，直线经过第二象限；
要使l不经过第二象限，须有，解得.
19．（1）；（2）．
【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得直线的方程，联立两个直线的方程，解可得的坐标，即可得答案．
（2）根据题意，分析可得圆心在直线上，设的坐标为，将其代入直线的方程，计算可得的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．
【详解】解：（1）根据题意，直线，，
若，则有，解可得，
则直线的方程为，即；
联立两直线的方程：，解可得，即的坐标为；
（2）根据题意，若圆与直线相切于点且且垂足为，
则圆心在直线上，设的坐标为，则有，解可得，
则圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的标准方程为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明、来证得平面；
（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥的体积.
【详解】（1）因为平面平面，
所以平面平面.
因为四边形是矩形，所以.
又平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形为平行四边形，，所以.
又为中点，所以.易知，所以.
又平面，所以平面.
（2）因为平面的中点为为平行四边形，，
所以三棱锥的高为.
又的面积，
所以三棱锥的体积.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立与，，故与抛物线恒有两个交点.所以与，至少有一个交点，故令，可求得的最小值；
（2）由（1）知，，可求得，，，即可证明.
【详解】（1）联立与，得，
∵，∴与抛物线恒有两个交点；
联立与，得，
∵直线与曲线有个公共点，且，∴与抛物线至少有1个交点，
∴，∵，∴，
∴的最小值为
（2）由（1）知，，
且，∴，∴，
∴，∴，故，
易知为抛物线的焦点，则，
设，，由可得，，
∴，，
∴，
∵，∴
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】(1)分别讨论即可确定在上，即可求解；(2)利用点差法表示出的斜率，再表示出的直线方程，即可求出定点.
【详解】（1）显然不能同时在上，
若在上，则.
故在上，则，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设.
当时，设，显然.
联立，则，即.
又为线段的中点，故直线的斜率为.
又，所以直线的方程为，
即，显然恒过定点.
当时，过点.
综上所述，恒过定点.