吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题及答案

这是一份吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．不在同一条直线上的三点确定一个平面
C．梯形不一定是平面图形
D．平面和平面一定有交线
3．下列关于向量的说法中正确的是（ ）
A．向量且，则向量与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，则向量与的长度相等且方向相同或相反
D．对任意的向量满足
4．下列各组事件中，是对立事件的是（ ）
A．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到红心和方片
B．从装有2个白球和2个红球的盒子里摸两个球，这两个球都是白球和都是红球
C．一个射手进行一次射击，命中环数大于等于5与命中环数小于5
D．小李和小王下象棋，小李胜和败
5．三张卡片上分别写上字母A，M，N，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词MAN的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）
A．10%B．8%C．5%D．4%
7．吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式.开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高.从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为、、、、、.则这组数据的中位数是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．不能确定
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是这九个数据的中位数，且这五个数据的平均数为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点到平面的距离
B．直线与平面所成的角
C．的面积
D．三棱锥的体积
12．在中,内角所对的边分别为,且,若为锐角,则的最大值为
A．B．
C．D．
二、填空题
13．已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则________.
14．某初中共有学生1000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率0.05，相关信息如下表：
现用分层抽样的方法在全校抽取50名学生参加社区服务，则初一年级应抽到的人数为_______________．
15．如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为2，与底面所成角的余弦值为，则该直四棱柱的体积为___________.
16．已知菱形的边长为4，且.若沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为__________.
三、解答题
17．已知复数且为虚数单位，当为何值时：
(1)复数是实数；
(2)复数是虚数；
(3)复数是纯虚数.
18．已知：三点,其中.
（1）若三点在同一条直线上，求的值；
（2）当时，求．
19．在 中，内角 的对边分别为，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 边上的高.
20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，．
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求英语成绩在的人数．
21．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？
(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.
22．如图，在正四棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
年级
初一
初二
初三
男生（人数）
x
250
240
女生（人数）
40
y
60
分数段
参考答案：
1．C
【分析】由题知，再根据几何意义求解即可.
【详解】解：由题知，
所以，在复平面内，对应的点的坐标是
故选：C
2．B
【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误.
【详解】解：对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A错误;
对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B正确;
对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C错误;
对于选项D,若平面和平面平行,则其没有交线,故D错误;
故选:B.
3．A
【分析】根据向量的概念，数量积的运算律依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，向量且，故向量与共线，且均为非零向量，故向量与的方向相同或相反，故A选项正确；
对于B，向量的模有大小，向量不能比较大小，故B选项错误；
对于C，只能说明模相等，无法说明方向的关系，故C选项错误；
对于D，向量数量积没有结合律，故D选项错误.
故选：A
4．C
【分析】根据对立事件的概念逐个分析可得答案.
【详解】A选项：还可能取到黑桃和梅花，属于互斥事件，但不对立；
B选项：还可能摸到1个白球、1个红球，属于互斥事件，但不对立；
C选项：根据对立事件的概念可知，命中环数大于等于5与命中环数小于5是对立事件；
D．还有可能和棋，属于互斥事件，但不对立．
故选：C
5．C
【分析】列出基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】包括的基本事件为：AMN，ANM，MAN，MNA，NAM，NMA，
故恰好排成英文单词MAN的概率为.
故选：C
6．A
【分析】求出肉类开支为100元，占食品开支的，再由食品开支占总开支的，进而求得小张一星期的肉类开支占总开支的百分比.
【详解】由题图②知，小张一星期的食品开支为元，
其中肉类开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的，
所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为.
故选：A.
7．D
【解析】将个数据由小到大进行排列，根据中位数的定义可求得结果.
【详解】将个数据由小到大排列为：、、、、、，
则这组数据的中位数为，
故选：D.
8．A
【解析】根据题中条件，先得到，利用正弦定理，即可得出结果.
【详解】由可得，即，
因为为的内角，所以，，
因此，由正弦定得有，故为等腰三角形.
故选：A.
9．A
【解析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.
【详解】因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
10．C
【分析】由题知，，进而根据函数的单调性求值域即可.
【详解】解：因为是这九个数据的中位数，所以，
因为这五个数据的平均数为3，
所以，即，
所以，，，
因为函数在上均为减函数，
所以，，为单调递减函数，
因为
所以的取值范围为.
故选：C
11．B
【分析】对ACD，根据面积表达式确定其面积，结合平面为确定的面判断即可；对B，根据为确定面，进而分析直线与平面所成的角是否变化即可；
【详解】对A，因为平面即平面为确定的面，且点为确定的点，故点到平面的距离为定值；
对B，易得平面为平面，且，平面，平面，故平面.因为，故到平面的距离为定值，又长度不为定值，故与平面所成的角的正弦不为定值，即与平面所成的角不确定；
对CD，因为到的距离为定值，故为定值，由A可得点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故的面积与三棱锥的体积均为定值；
故选：B.
12．A
【详解】分析：根据完全平方公式将化简，再利用余弦定理求出角C，进而由三角形内角和定理表示出B，代入的表达式，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简，求得其最大值.
详解：
，即
由余弦定理，得，代入上式，
，解得，
为锐角，，，，
，其中，
故选A.
点睛：本题考查两角差的正弦公式和辅助角公式，以及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力．解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
13．2
【解析】根据题意，作出图象，得，从而，从而求出答案．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则，属于基础题．
14．20
【分析】首先求，再根据抽样比，求初一年级应抽到的人数.
【详解】由条件可知初二女生公有人，即，再根据总人数1000人，则人，
则初一应抽取的人数为人．
故答案为：
15．
【分析】由面得到是与底面ABCD所成的角，进而根据条件求出，最后求出柱体的体积.
【详解】由题意面，则是与底面ABCD所成的角，由.
所以该直四棱柱的体积.
故答案为：.
16．
【分析】由题知三棱锥为正四面体，再计算体积即可.
【详解】易得是正三角形，
故三棱锥为正四面体，
所以，设的外心为，连接，
所以，由正四面体的性质可知，平面，
在等边中，取边中点，连接，
所以，三点共线，且
所以，，
所以，三棱锥的体积为
故答案为：
17．(1)或
(2)且且
(3)
【分析】（1）由题知，解方程即可得答案；
（2）由题知，再解不等式即可得答案；
（3）由题知，进而求解即可；
【详解】（1）解：当为实数时，有，解得或.
所以，或，复数是实数.
（2）解：当为虚数时，有，解得且且.
所以，当且且时，复数是虚数；
（3）解：当为纯虚数时，有，解得.
所以，当时，复数是纯虚数.
18．(1) .
(2) .
【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量共线得到的值；
(2)根据的值，再求．
【详解】（1）依题有，
共线， ， .
（2）由得 ，
.
又, ,
,
.
【点睛】（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果=,=，则||的充要条件是,则.
19．（1）见解析（2）
【详解】分析：(1)由，结合正弦定理可得，即；
（2）由，结合余弦定理可得，从而可求得 边上的高.
详解：（1）证明：因为，
所以 ，
所以 ，
故.
(2)解：因为，
所以.
又，所以，解得，
所以，
所以边上的高为.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
20．（1）（2）（3）
【分析】（1）由频率之和为1求解即可；
（2）由平均数的计算方法求解即可；
（3）求出数学成绩在的人数，再根据比例得出英语成绩在的人数，即可得出答案.
【详解】（1），
（2）这200名学生的平均分
（3）数学成绩在的人数分别为
设英语成绩在的人数分别为
则英语成绩在的人数为
【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算平均数等，属于中档题.
21．(1)选择方案一的概率为0.648，选择方案二的概率为0.36；
(2)选择方案一，具体见解析.
【分析】（1）若选方案一，根据独立事件求概率的方法即可求出答案；若选方案二，先求出三门课程选则某两门课程的概率，进而根据独立事件求概率的方法求出答案；
（2）分别算出选择两种方案的概率，进而通过作差法比较大小，进而求得答案.
【详解】（1）若选方案一：考试通过的概率，若选择方案二：三门课程选择某两门课程的概率为，则考试通过的概率.
（2）选择方案一的概率，
选择方案二的概率，
因为，所以，故选择方案一.
22．（1）证明见解析；（2）存在，.
【解析】（1）证明，结合利用线面垂直的判定即可证明；
（2）证明，可证平面；，可证平面，进而可证平面平面，所以平面，由，可得，设，利用三角形的边角关系求出，，进而可得比值.
【详解】（1）证明：设，

因为，，
所以，
∴
∵
∴
∵底面
∴
∵，，平面
∴平面
（2）连，相交于点，取的中点，
连，，，与相交于点，连
∵，，∴
∵，，∴
∵，平面，∴平面
同理，平面
∵，，平面
∴平面平面
∵平面
∴平面
在中，，
∴
记，在中，，
在中，
∴
∴
故存在点，且.
【点睛】本题主要考查了证明线面垂直，考查了补全线面平行的条件，属于中档题.