辽宁省实验中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案

辽宁省实验中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

3．使成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．或

4．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（    ）（参考数据）

A．10 B．12 C．14 D．16

6．若定义在R上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

7．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知小于2的正数x，y满足关系式，则+的最小值为（　　　）

A．4 B． C． D．

二、多选题

9．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．该函数在定义域上是偶函数

B．对定义域上任意实数，，且，都有

C．对定义域上任意实数，，且，都有

D．对定义域上任意实数，，都有

10．设函数的定义域为，为偶函数，则下列正确的是（    ）

A． B．

C．关于直线对称 D．

11．已知定义域在上的函数同时满足以下性质：①当，；②，则下列说法正确的是（    ）

A．的图像关于原点对称 B．

C．在单调递减 D．不等式的解集为

12．下列说法正确的是（    ）

A．“且”是“”的充要条件

B．若，，则

C．方程有一正一负根的充要条件是

D．若实数满足，则的最小值为2

三、填空题

13．若函数是函数（且）的反函数，则函数的图象一定经过定点________．

14．已知函数，则函数的值域是______.

15．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.

16．已知函数，若存在（），使，则的取值范围是______.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

18．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.

(1)求m和n的值；

(2)求满足不等式的a的取值范围.

19．已知函数是定义域为的奇函数.

(1)求实数b的值；

(2)已知当时，，求实数k的取值范围.

20．二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)求在上的最小值.

21．已知是偶函数.

(1)求的值；

(2)设的最小值为，则实数的值.

22．对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得 恒成立，称函数具有性质 ．

(1)判别函数 和 是否具有性质 ，请说明理由；

(2)函数，若函数 具有性质，求a满足的条件；

(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为 ，存在常数  且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据一元二次不等式的解法、对数函数的单调性，结合集合相等定义、子集的定义、集合交集、集合并集的定义逐一判断即可.

【详解】由，或，

由，

显然，，

，，

故选：C

2．A

【分析】根据全称命题的否定直接求解判断即可.

【详解】解：命题“”的否定是“”.

故选：A.

3．D

【分析】解绝对值不等式可得或，根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关系即可.

【详解】由，可得或，

所以是的充分不必要条件，

是的既不充分也不必要条件，

或是的充要条件，

或是的必要不充分条件.

故选：D

4．B

【分析】根据指数函数和对数函数单调性，以及函数的单调性，即可比较大小.

【详解】是上的单调减函数，故，

是上的单调减函数，故，，故；

令，则在恒成立，故在单调递增；

则，即，故，即；

综上所述，.

故选：B.

5．C

【分析】由指数、对数的运算性质求解即可

【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，

则，即，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以的最小值为14，则至少要过滤14次．

故选：C.

6．C

【分析】令得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.

【详解】对任意，有，

令，得.

令，，得.

整理得，故为奇函数.

故选：C

7．A

【分析】由函数的单调性求解即可

【详解】因为，

，

由，

得

因为单调递减，

所以单调递减，

又时，在上单调递减；

所以，

解得，

所以实数的取值范围为，

故选：A

8．A

【分析】构造函数，则原式等价于，利用复合函数单调性分析可得在单调递增，即，转化，结合均值不等式，即得解.

【详解】由题意，

即，

记函数，

由于二次函数在单调递增，在单调递增，故在单调递增，且在单调递增，故在单调递增，

故，由于，故，即，

则，

当且仅当，即时等号成立.

故选：A

9．BC

【分析】求出函数，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数为增函数，即可判断选项B；作差判断符合，即可判断选项C；计算与，即可判断选项D．

【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，所以，

所以，定义域为,，为非奇非偶函数，故A错误；

由幂函数的性质可知在,上为增函数，所以对任意实数，,，不妨设，则，所以，，所以，故B正确；

任意实数，,，不妨设，则，又，所以，即，所以，故C正确．

，，所以与不一定相等，故D错误．

故选：BC．

10．BCD

【分析】利用为偶函数，判断A和B，再利用函数图像平移的相关性质判断C，最后利用为偶函数的性质，得到，进而进行化简转换，可判断D.

【详解】对于A和B，为偶函数，故，故A错，B对；

对于C，令，，则，是向右平移一个单位后的图像，因为为偶函数，故关于直线对称，故C对；

对于D，，取，则有，故必有成立.

故选：BCD

11．BCD

【分析】由①得到函数单调递增，再由②利用赋值法得到函数的奇偶性，最后利用单调性可解不等式；

【详解】解：由①得：当时，，所以函数在单调递增；

由②，令得：，令得：，所以函数为偶函数；故A错误.

所以，在单调递减，故B正确，C正确；

因为，解得：，故D正确；

故选：BCD

12．CD

【分析】特例可判断AB，根据一元二次方程根的分布可判断C，利用均值不等式可判断D．

【详解】当 时满足，但不满足且，故A错误；

当，，时，满足，，但，故B错误；

方程有一正一负根的充要条件是，解得：，故C正确；

因为，，，所以

，

所以

，

当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故D正确．

故选：CD．

13．

【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，再利用反函数的性质结合图象变换可得函数的图象所过定点的坐标.

【详解】因为，即函数的图象过定点，故函数的图象过定点，

而函数的图象可在函数的图象上先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，

故函数的图象过定点.

故答案为：.

14．

【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，

因为，所以，则有，

当且仅当，即时取等号，

所以，

因为，所以，则函数的值域为，

故答案为：.

15．

【分析】根据，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转化到已知区间，即可得解.

【详解】解：当时，，

则，，

因为，

所以，

所以函数是以8为周期的周期函数，

则，

由，得，

所以.

故答案为：.

16．

【分析】先画函数的图象，结合图象判断，再利用函数的单调性即得.

【详解】作出的大致图象，

由图可知，关于轴对称，即，

由，可得，

所以，

则，

因为，

所以，又当，单调递减，

所以，

即的取值范围是.

故答案为：.

17．(1)9

(2)4

【分析】（1）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

.

18．(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得m,结合幂函数的性质即可求得n的值;

（2）根据（1）的结论，可得，利用函数的性质，可得关于a的不等式，求得答案.

【详解】（1）∵是幂函数，

∴，解得m=3.

由在上单调递增得，解得.

∵，

∴或.

当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.

当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.

综上，，.

（2）由（1）得，，∴.

∵函数在和上均单调递减，

∴当时，，当时，.

∴满足不等式的条件为或或，

解得或，

∴满足不等式的的取值范围.

19．(1)；

(2).

【分析】（1）根据定义域为的奇函数的性质，即可求解；

（2）由化简得到（），利用基本不等式即可得到的取值范围.

【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，

经检验当时，函数为奇函数，满足题意，

故实数b的值为.

（2）由（1）可知，函数，

当时，，

即，

因为，所以，则

当且仅当，即时等号成立，即；

所以实数k的取值范围为.

20．(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；

（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．

【详解】（1）解：设，因为，所以，

即，

根据，即，

解得，，所以；

（2）解：函数，其对称轴为，

当即时，区间为减区间，

最小值为；

当，即时，取得最小值1；

当，即时，区间为增区间，

取得最小值．

综上可得时，最小值为；

时，最小值为1；

时，最小值为．

21．(1)

(2)

【分析】（1）已知是偶函数，在定义域上符合，利用等式即可求出的值；

（2）由可得函数，则，令，设函数，根据一元二次函数在定义域范围内最值，讨论参数，即可求出的值.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

因为函数是偶函数，所以，

又，

，

所以，

所以；

（2）解：由（1）知，，

所以，

所以，

令，

当且仅当，即时等号成立，

设函数，

其图像是开口向上，对称轴方程为的抛物线，

当时，即时，

，解得，

当时，即时，

，

解得（舍去），

综上可知，.

22．(1)不具有性质P（2）；具有性质P（2）

(2)a＝0

(3)具有性质，理由见解析

【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；

（2）根据已知条件有对任意恒成立，讨论 判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；

（3）由的性质可得 ，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质．

【详解】（1）∵,

所以 ，则 ，故不具有性质；

∵，

∴恒成立，故具有性质．

（2）由 ，

则 ，

对任意恒成立，

显然时，上式不等式成立；

时， ，若 则，故不是对任意成立，舍去；

综上，．

（3）因为具有性质，所以 ，

因为函数的值域为，所以 ， ，

则

∴ ，

∴ ．

∵

∴ ，

所以 ，即具有性质．