2023年中考数学专题13 圆（原卷版）

这是一份2023年中考数学专题13 圆（原卷版），共13页。试卷主要包含了圆的有关概念，垂径定理及其推论，圆心角，圆周角定理及其推论，与圆有关的位置关系，切线的性质与判定，三角形与圆，正多边形的有关概念等内容，欢迎下载使用。
专题13 圆一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角． 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．考向一 圆的基本认识及垂径定理1．A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　）A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤102．已知，如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则OB的长度为（　　）A． B． C． D．53．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）A．50m B．40m C．30m D．25m4．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三时寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则r＝　   　cm．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．5．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围． 考向二 弧、弦、圆心角、圆周角6．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝　   　度．9．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE． 考向三 点、直线与圆的位置关系10．已知⊙O的半径为8cm，如果一点P和圆心O的距离为8cm，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定11．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切12．如图，圆的直径是10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么该直线和圆的位置关系是　   　．13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．  考向四 切线的性质与判定14．如图，已知AB是⊙O的切线，切点为A，OA＝3，，则扇形OAC的面积为（　　）A． B．3π C．π D．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若∠D＝110°，则∠AEC的度数为（　　）A．55° B．50° C．45° D．40°16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，点D为AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，与边BC相交于点F，连接EF，则EF的长为　   　．17．如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．  考向五 正多边形与圆、弧长和扇形面积18．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）A．2：3 B．：1 C．： D．1：19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（　　）A． B． C．2 D．20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．21．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为60°，则扇形的面积为（　　）A．π B．π C．2π D．3π22．如图，有一块半径为1米的扇形铁皮OCD，取弧CD的中点B，连接BD，若OC∥BD，则这块扇形铁皮的面积为　   　平方米．23．如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB、CD相交成90°角，∠AOE＝40°，OF是∠BOE的平分线．①求∠COF的度数；②求扇形COF的面积．  1．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（　　）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O半径为（　　）A．6 B．5 C．4 D．33．如图，在⊙O中，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（　　）A．40° B．50° C．55° D．60°4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°5．如图所示，⊙O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tan∠CDB＝（　　）A． B． C．2 D．1+6．如图，从一块直径是4m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（　　）A．3m B．m C．m D．m7．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么tan∠AEB＝　   　．8．如图，已知AB为⊙O直径，若CD是⊙O内接正n边形的一边，AD是⊙O内接正（n+4）边形的一边，BD＝AC，则n＝　   　．9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P是上的一点，则∠CPD的度数是　   　度．10．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆（与三边都相切），切点分别为D，E，F且∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则⊙O的半径为　   　．11．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．求证：DE为⊙O切线．  12．如图，M是⊙O的半径OA的中点，弦BC⊥AO于点M，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，连接AC．（1）求∠OAC的值；（2）求证：CD是⊙O的切线．  13．如图，AD是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接OP，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，连接PB并延长交AD的延长线于点E，连接BD．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若BD＝6，AB＝8，求sin∠E． 14．如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点D的⊙O的切线与BC的延长线垂直于点E．（1）求证：点D是的中点；（2）若BC＝6，tan∠DAB＝2，求AD的长．  15．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，AD平分∠BAC，过点D作AC的垂线，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求的长；（3）延长AB交ED的延长线于点F，若⊙O半径的长为3，tan∠AFE＝，求CE的长．