江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题（二）及答案 (3)

这是一份江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题（二）及答案 (3)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，那么（    ）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，3．（    ）A． B． C． D．4．函数的零点所在的一个区间是（    ）A． B． C． D．5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．6．流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（    ）A．1.2 B．1.7 C．2.0 D．2.57．设，，，则（    ）A． B． C． D．8．函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．函数其中，，的部分图象如图所示，则（    ）A． B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称10．已知函数其中a为实数，则下列结论中一定成立的是（    ）A． B．C．函数一定不存在最大值 D．函数一定不存在最小值11．下列结论中，正确的是（    ）A．若，则函数的最小值为B．若，，则的最小值为8C．若x，，，则xy的最大值为1D．若，，，则xy的最大值为12．给出定义：若其中 m为整数，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是（    ）A．函数为的增函数B．函数为偶函数C．函数的最大值为D．函数有无数个解 三、填空题13．幂函数的图象过点，则__________.14．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则__________15．写出不等式成立的一个必要充分不条件__________. 四、双空题16．已知函数的定义域为R.当时，；当时，；当时，，则__________；__________. 五、解答题17．求下列各式的值．(1)；(2)18．已知，.(1)若，求；(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式；(2)求方程在区间上所有解的和.20．在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：(1)若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?21．已知函数，，其中.(1)若函数在上单调递增，求的取值范围;(2)设，求函数的最小值.22．已知函数.（1）证明函数在上为减函数；（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.
参考答案：1．C【分析】利用整数集的意义化简集合，从而利用集合的交集运算即可求得所求.【详解】因为，，所以.故选：C.2．A【分析】利用存在量词命题的否定解答.【详解】解：由于存在量词命题的否定是全称量词的命题，命题“，”是存在量词的命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A3．C【分析】根据诱导公式先化简再求值即可．【详解】解：，故选：C．4．C【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，，，即，因此，函数的零点所在的一个区间是.故选：C.5．A【分析】判断函数奇偶性，可判断B；当时，，可判断C，当时，可推得，判断D,由此根据只有A中图象符合题意，可得答案.【详解】由题意知函数，满足，故为奇函数，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当且仅当时取等号，则，故D错误，只有A中图象符合题意，故选：A6．B【解析】根据所给模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案【详解】解：把代入，得，解得，所以，由，得，则，两边取对数得，，得，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题7．B【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以.故选：B8．A【分析】由对称性求得的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围；方法2：直接画的图象研究交点个数可得m的范围.【详解】∵ ，∴关于对称，∴，，解得：，，又∵ ， ∴，∴方法1：， ，即：，，设， 则在有两个实根，即：在有两个交点，如图所示，当时，，∴ ，即：，故选：A.方法2：∵在有两个实根， ∴在有两个交点，如图所示，当时， ∴，即：即：，故选：A.9．AD【分析】根据图象求得，再逐一判断即可.【详解】解：由题意可得，，所以，即，所以，所以， 代入及可得：，所以，所以对于A，，故A正确；对于B，函数的最小正周期，故B错误；对于C，因为，故错误；对于D，因为，取最大值，故正确.故选：AD.10．ABC【分析】对的值进行分类讨论，结合分段函数解析式即可判断A、B选项的正误；结合分段函数每一段上的值域即可判断C、D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，，当时，，故A选项正确；对于B选项，当时，，当时，，故B选项正确；对于C选项，当时，函数的值域为，故函数一定不存在最大值，故C选项正确；对于D选项，当时，时，函数的值域为，，函数的值域为，故分段函数存在最小值，最小值为，故D选项错误.故选：ABC11．BCD【分析】A.函数变形为，再利用基本不等式求最值；B.首先条件变形为，再利用“1”的妙用，求最值；C.利用基本不等式，将等式变形为，再解不等式，求最值；D.将等式变形为，再利用基本不等式转化求的最大值.【详解】A.,因为，所以，则，当，即时，等号成立，所以函数的最大值为，故A错误；B.因为，所以，且，那么，当，即，再联立，解得时，等号成立，所以的最小值为8，故B正确；C.因为，所以，所以，当时，等号成立，设，则，解得：，因为，所以，所以的最大值是1，即xy的最大值为1，故C正确；D. 因为，，，所以，即，整理为，，解得 ，或，解得：，所以，即，得，当时等号成立，所以xy的最大值为，故D正确.故选：BCD12．ACD【分析】根据新定义得出函数解析式，再取几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断【详解】由题意可得，即，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，画出图像，由是将在轴下方的图像翻折上去，可以判断函数在不断上升，满足在递增，所以A正确，函数图像可得，，即，则不是偶函数，所以B错误，当，由图像可得，所以选项C正确，画出，与在轴右侧图像有交点，令，，当，时，，，，即，根据零点存在定理，时，一定有零点，故函数有无数个解，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：本题属于函数新定义题型，涉及到的方法有：(1)函数零点可利用零点存在定理，也可利用图像转化为两个函数的交点求解(2)奇偶性的判断除了使用定义外，也可利用函数对称性来判断(3)分段函数的单调性结合图像判断，同时满足各个区间段上单调和区间分段点上函数单调13．【分析】将点坐标代入函数解析式，解出.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，即，得.故答案为：.14．【分析】根据题意，列出与，根据诱导公式，化简求解即可.【详解】由已知得，，， 故答案为：15．(不唯一)【分析】解不等式得到充要条件，再根据必要不充分条件的定义即可得答案.【详解】解：由可得，解得，所以不等式成立的一个必要充分不条件可以是:.故答案为：(不唯一)16．     0     【分析】赋值法求出；利用当时，，得到，求出，得到答案.【详解】因为当时，，令得：，因为当时，，故，所以，则；因为当时，，所以，其中，故，所以.故答案为：0，.17．(1)(2) 【分析】(1)利用指数幂和根式的运算即可求解；(2)利用对数的运算法则即可求解.【详解】（1）；（2）.18．(1)(2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合.【详解】（1）解：当时，，又因为，故.（2）解：若选①，当时，，则，满足，当时，，若，则或，解得或.综上所述，；若选②，，则.当时，，满足；当时，，因为，则或，解得或.综上所述，；若选③，当时，，满足；当时，则，因为，则或，解得或.综上所述，.19．(1)(2) 【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；（2）将代入方程，求得，从而确定方程的实数根，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②中的最大值不一样，所以互相矛盾，故③为函数满足的条件之一，由③可知，，所以，故②不合题意，所以函数满足的条件为①③；由①可知，所以；（2）因为，所以，所以或，所以或，又因为，所以x的取值为所以方程在区间上所有的解的和为.20．(1)，(2)长度不能超过米 【分析】（1）由题意分别表示出，，，，根据，即可求解.（2）由题意可知对任意角，平板车的长度，记 ，利用函数的单调性即可求出最值.【详解】（1），，，，                                    所以，（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度，记 ，则=，又则，所以，所以，即，则记，，则，函数因为在上都递增，所以在上都递增，所以在上的单调递减；当时取得最小值.所以长度不能超过米21．(1);(2) 【解析】（1）由抛物线的对称轴小于等于2，即可得答案；（2）由题意得再分别求出两段函数的最小值，再对求得的最小值作差比较大小，进而得到函数的最值；对分、、三种情况分类讨论，即可得答案.【详解】(1)由得，所以的取值范围;(2)①若即，当时递减，且，当时最小值为，此时有，所以;②若即时，当时在时取得最小值，当时在时取得最小值为，若，则，此时，若，则，此时;③若即，当时在时取得最小值，当时，递增，此时有，所以;综上，【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、分段函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意注意对函数进行多级的讨论.22．（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的取值范围.【详解】（1），，， 又，因为，，，故，，，故即，所以函数在上为减函数. （2）的满足的不等关系有：即，故，解得，故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称.令又，故为奇函数.（3）令，因为，故.故在上不等式能成立即为存在，使得，所以在上能成立，令，则且，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，所以a的取值范围为.【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.