上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题及答案

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题及答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．直线与直线所成夹角的余弦值等于______2．已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.3．两条直线和平行，则______4．下列四个条件中，能确定一个平面的是______（填编号）①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线5．已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为______.6．二次函数的图像是顶点在原点，对称轴为y轴，且开口向上的抛物线，其准线方程为______7．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为___________.8．已知圆的极坐标方程为，则在平面直角坐标系中圆的参数方程可以是______9．正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分10．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数b的取值范围是______11．已知实数x、y满足，则的取值范围是______12．在平面直角坐标系中，设是抛物线上过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点、、），若直线平分，则______ 二、单选题13．如图所示，用符号语言可表述为（　　）A．，，B．C．D．14．若直线l的参数方程是，则的法向量可以是（    ）A． B． C． D．15．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线16．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（    ）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题17．已知直线：与直线：，.(1)若，求m的值；(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程.18．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.19．已知抛物线的焦点F到准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)设点E是抛物线C上任意一点，求线段EF中点D的轨迹方程；(3)过点的直线与抛物线C交于、两个不同的点（均与点不重合），设直线、的斜率分别为、，求证：为定值.20．设、分别为椭圆的左、右两个焦点，且椭圆C上的点到、两点的距离之和等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P是椭圆C上的任意一点，点，求P、Q两点间的最大距离；(3)试确定实数的值，使得椭圆C上存在不同两点关于直线对称.21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．
参考答案：1．【分析】首先得到两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，依题意可得，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切代入计算可得.【详解】解：直线，即，则斜率，直线，即，则斜率，所以两直线关于轴对称，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，所以，则.故答案为：2．【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，又由，，则的斜率，则有．故答案为：.3．【分析】依题意可得，解得，再代入检验即可.【详解】解：因为直线和平行，所以，解得或，当时，，满足题意；当时，，即，两直线重合，故舍去；故答案为：4．②④【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．【详解】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误．对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确；对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误．对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，，则直线、唯一确定平面，即，，又，，所以，，又，，所以，即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确；故答案为：②④．5．【分析】由题意，可设双曲线的方程为：，代入点，即得解【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，故可设双曲线的方程为：代入点，可得：故答案为：6．【分析】根据抛物线的性质计算可得.【详解】解：抛物线，即，所以抛物线的准线方程为.故答案为：7．【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.【详解】解：在直观图中，，，故原平面图形的上底为 ，下底，高为所以这块菜地的面积为故答案为：8．（为参数）【分析】首先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程即可.【详解】解：因为圆的极坐标方程为，所以，又，所以，即，所以圆的参数方程可以为（为参数）.故答案为：（为参数）9．【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案.【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.故答案为：10．【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.【详解】解：由，则，所以，所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，集合表示直线上的点集，集合与集合都是点集，集合中有个元素，由，解得，由图可知，即.故答案为：11．【分析】讨论范围得到图像，根据图像考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围.【详解】实数满足，当时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分；当时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为，图象不存在，在同一坐标系中作出图象，如图所示：根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是，令，即直线与渐近线平行，当最大时，为图中①的情况， 即直线与椭圆相切，联立方程组， 可得，，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故，当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，此时，则，综上所述：的取值范围为，所以 的取值范围为，即的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.12．##【分析】设，，，，，，直线的方程为，与抛物线方程联立得到①，设该圆的方程为，与联立得到四次方程，有，，，0这四个不同的实根，进而得到②，由角平分线定理可知，，结合①②，有，整理得到，分类讨论即可求得答案．【详解】解：设，，，，，，由条件知，，两两不等且非零，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，，故①，注意到的外接圆过点，可设该圆的方程为，与联立可得，，该四次方程有，，，0这四个不同的实根，即上式等价于，故项的系数为0可得，，从而②，因平方，由角平分线定理可知，，结合①②，有，即，故，当时，即，故，此时与重合，与条件不符，当时，注意到①，有，因，故满足①以及的实数，存在，对应可得满足条件的点，，此时，结合①②知．故答案为：．【点睛】关键点点睛：这道题的关键是圆的方程与抛物线联立得到四次方程，结合有，，，0这四个不同的实根，可得到，然后再通过角平分线定理可知，，通过大量的计算可得到结果，考察学生的计算能力，分析能力13．A【分析】由题可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案.【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，故选：A.14．A【分析】直接求出直线的普通方程，然后求出的法向量．【详解】解：直线的参数方程是，它的普通方程为：，所以直线的法向量可以是．故选：A．15．A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，不妨设，，设，所以，因为，所以，即，所以点的轨迹为圆．故选：A．16．B【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.【详解】对于①，取直线,则对于任意的，有，故圆均在直线的下方，而对任意的，有，故圆均在直线的上方，而当时，表示原点，它在直线的下方，故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.所以①成立.对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.故选：B17．(1)或0；(2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值；（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解.【详解】（1）由题意得：，解得：或0，经检验，均满足要求，所以或0；（2）将点代入中，，解得：，因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得，此时直线l为；当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得，故此时直线l为；综上：直线l的方程为或.18．（1）；（2）或【分析】（1）首先求出过点且与直线垂直的直线，则圆心必在此直线上；与联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.【详解】（1）由题意得，过点且与直线垂直的直线方程为：由，解得：    圆心的坐标为圆的半径：圆的方程为：（2）因为直线被圆截得的张长为圆心到直线的距离：若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即由，整理得：解得：或直线的方程为：或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.19．(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义求解，得到抛物线方程．（2）利用代入法，即可求线段的中点的轨迹方程．（3）设，，，，直线的方程为，代入抛物线方程得．利用韦达定理，结合斜率乘积，化简求解即可．【详解】（1）解：由题意抛物线的焦点为，准线为，又焦点到准线的距离为，所以，即，所以抛物线方程为．（2）解：由（1）知，设，，则，即，而点在抛物线上，，，即，此即所求点的轨迹方程．（3）证明：设，，，，直线的方程为，代入抛物线方程得．所以，，．所以，所以是定值．20．(1)(2)(3) 【分析】（1）由椭圆的定义可得，再由在椭圆上，满足椭圆方程，解得，进而得到椭圆方程；（2）设出的坐标，由两点的距离公式，结合配方和二次函数的最值求法，可得最大值；（3）假设存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．设，，，，的中点，，因为在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，所以，再用点差法进行求解．【详解】（1）解：由题意，椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到、两点的距离之和是4，得，即．又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）解：设，则，即．，当时，．（3）解：假设存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．设，，，，的中点，，在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，，，，相减得，即，，，，而，在椭圆内部，则，即．故存在实数，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称．21．(1)(2)(3) 【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，两个条件，即可求得双曲线的方程．【详解】（1）由题意得解得故双曲线的焦点坐标为．（2）双曲线，可得设，直线的斜率为：设直线的方程为联立直线与双曲线的方程，消去得：由直线与双曲线有两个交点，则且，即可得，则，，可得：将代入上式，可得得，可得解得，即的斜率为．（3）右焦点为，设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，消去得：则由，得整理得，则即则整理得因为的斜率，所以，整理得则，，所以，由，得，即又则，解得所以，经检验所以双曲线的方程为．