上海市进才中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题及答案

这是一份上海市进才中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市进才中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．若集合，则实数可取的值的全体所构成的集合为 __．2．已知，则的取值范围是__________.3．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______.4．已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为______.5．已知，实数的取值范围为__________.6．已知集合，且为奇函数，则集合的子集个数为______.7．函数，的反函数为______.8．函数的单词递增区间是_________.9．要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为：______.10．若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围为______.11．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后______的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”）12．已知函数为，其中，若对任意的恒成立，且函数存在零点，则的最小值为______. 二、单选题13．已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既不充分也不必要14．“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是（    ）A． B．C． D．15．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值是(　　)A．4 B．3 C．2 D．116．已知函数，，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，为其一个下界.类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个命题：①若函数有下界，则函数有最小值；②若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数；③对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数；④若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数.其中真命题的序号为（    ）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 三、解答题17．设全集，设函数的定义域为集合，函数的值域为集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．18．已知关于的不等式.(1)当时，解该不等式；(2)若该不等式的解集为，求常数的取值范围.19．某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系；(2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.20．已知函数满足且为奇函数.(1)求的值；(2)判断在区间上的单调性；(3)当时，若对于任意的，总有成立，求实数的取值范围.21．对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有.
参考答案：1．【分析】根据集合元素的互异性求解即可.【详解】解：∵ ，∴且 ；所以，实数可取的值的全体所构成的集合为；故答案为：2．【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.【详解】因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.3．【分析】由奇函数的定义可得的1个对称中心为，由函数图象的变换规律分析可得答案.【详解】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为，将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象，所以函数的图象的一个对称中心为；故答案为：.4．【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题.【详解】∵函数恰有一个零点在区间内，∴，∴，故答案为：.5．【分析】利用对数的性质得到，从而判断得的单调性，由此即可求得的范围.【详解】因为，，所以在上单调递减，则，得，即.故答案为：.6．4【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合，进而分析可得答案.【详解】根据题意，集合，且为奇函数，则，则集合有2个元素，所以集合的子集有个，故答案为：4.7．，【分析】先由二次函数的性质求得，即为反函数的定义域，再由，解得，从而求出反函数.【详解】解：函数的对称轴为，∴当时，单调递减，∴，由可得，解得，又∵，∴，∴函数，的反函数为，.故答案为：，8．【分析】先求的定义域，再通过的单调增区间求函数的单词递增区间．【详解】解：函数的定义域为，在区间内，由复合函数的单调性得函数的单词递增区间即为函数的单调增区间，即为，故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．9．，【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式.【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米,∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得：，,故答案为：，.10．【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】是上的严格减函数，，解得，实数的取值范围是.故答案为：.11．乙【分析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，可将甲乙2次购买的平均价格用，表示出来，再用基本不等式比较即可得答案.【详解】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，则甲的平均价格为：；乙的平均价格为：，因为，所以；,（当且仅当时取“=”号），所以（当且仅当时取“=”号），故乙的平均价格更低，故答案为：乙.12．【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得，由此可得，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，函数满足对任意的恒成立，且函数存在零点，必有，则有，则，又由，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为；故答案为：.13．C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案．【详解】解：根据题意，若是偶函数，即，必有成立，反之，若，当时，有，则函数为偶函数，故题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的充分必要条件，故选：C．14．D【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得的最小值，即可求得答案.【详解】对于任意的实数，不等式恒成立，，由，得，由，得，当时，；当时，，；当时，,综上，，.，“对于任意的实数，不等式恒成立”的一个充分必要条件是，.故选：.15．C【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值．【详解】 是方程的两个根，由韦达定理可得，可得 ，则故选C．【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题．16．B【分析】举特例说明①、④不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断②；根据已知推导出，即可判断③；【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可.对于①，设，则恒成立，即函数有下界，但函数没有最小值，故①错误；对于②，若定义在上的奇函数有上界，设上界为，则，根据题意有，，有成立.所以当，成立，则当时，有，则，即，则；当时，成立，则当时，，则，即，则；当时，由奇函数性质可得，所以.所以，当时，成立；当时，成立；当时，，显然满足.所以，都有成立，所以函数是有界函数，故②正确；对于③，对于函数，若函数有最大值，设，则，该函数是有界函数，故③正确； 对于④，令，则函数的定义域为闭区间，则函数的值域为，则只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误；所以真命题的序号为②③.故选：B.17．(1)(2) 【分析】（1）当时解不等式，再求即可；（2）先求函数的值域得到集，根据可转化为当时，恒成立，从而分类讨论即可．【详解】（1）当时，由对数函数的定义域可得，解得或，故.（2）由对勾函数的值域可得，又因为，所以，即当时，恒成立，①当时，恒成立，符合题意，②当时，即，因为，所以；综上所述，实数的取值范围为.18．(1)；(2) 【分析】（1）利用对数函数单调性，原不等式等价为，分类讨论求解或由绝对值几何意义求解均可；（2）不等式的解集为，则恒成立，求最小值即可.【详解】（1），则当时，关于的不等式，∴，解集为；（2）若该不等式的解集为，则恒成立，即，，则常数的取值范围为.19．(1)，(2)，元(3)50千米/时 【分析】（1）行车所用时间为，汽车每小时油耗升，然后求解行车总费用.（2）当时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）求出行车总费用，通过分段函数，求解函数的最小值即可.【详解】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，.（2）由（1）知，令，设，则因为，故，所以 所以当时，函数严格增，则当时，行车油费最低，最低为元.（3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用，当时，函数严格增，的最小值为，当时，函数严格增，，所以综上所述，最优车速为50千米/时.20．(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）先由是奇函数得到，从而由不恒为求得即可；（2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得在上单调递减，再通过讨论的范围即判断函数的单调性；（3）构造函数，将问题转化为，再结合（2）中结论判断得的单调性，从而得解.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，则，得，则，由于不恒为，故，即，当时，，不满足题意，舍去；当时，，由得或，所以的定义域关于原点对称，又有，故是奇函数，满足题意；综上：.（2）由（1）知，令，易知其在上单调递减，且，所以当时，在上单调递增，则在上单调递减；当时，在上单调递减，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.（3）对于任意的，总有成立，即恒成立，令，则，因为当时，由（2）知在区间上单调递增，又易知在上单调递增，所以在上单调递增，故，所以，即.21．(1)①是;②不是(2)不是,理由见解析(3)证明见解析 【分析】(1)利用作差法,结合函数的定义即可逐个判定;(2)不是定义域上的函数,由反函数的性质及函数的定义即可证明;(3)假设,则,利用函数的定义化简即可得证.【详解】（1）①当时,，所以①是定义域上的函数; ②当时,,所以②不是定义域上的函数.（2）不是定义域上的函数,理由如下:因为是定义域上的严格增函数,所以当时,,即,若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若,则,又因为是定义域上的函数,即当时,总有,所以,即当时,,综上所述,不是定义域上的函数.（3）证明:若对于任意的,和任意的,假设,则,因为函数为区间上的函数,所以,化简得,∵,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.