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北师大版数学九上 期末数学试卷(含答案)
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这是一份北师大版数学九上 期末数学试卷(含答案),共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
九年级(上)期末数学试卷(总分:120分 时间:90分钟)一、选择题(本题包括10小题,每小题3分,共30分。每小题只有1个选项符合题意)1.9的平方根是( )A.±3 B.3 C.﹣3 D.±2.如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是( )A. B. C. D.3.下列运算结果正确的是( )A.x6÷x2=x3 B.(﹣x)﹣1= C.(2x3)2=4x6 D.﹣2a2•a3=﹣2a64.如图,已知AB∥CD,BC平分∠ABE,∠C=34°,则∠BED的度数是( )A.17° B.34° C.56° D.68°5.在平面直角坐标系中,点(﹣7,﹣2m+1)在第三象限,则m的取值范围是( )A.m< B.m>﹣ C.m<﹣ D.m>6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )A.40° B.30° C.20° D.10°7.如图,是直线y=x﹣3的图象,点P(2,m)在该直线的上方,则m的取值范围是( )A.m>﹣3 B.m>﹣1 C.m>0 D.m<38.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD.若四边形BFDE是菱形,且OE=AE,则边BC的长为( )A.2 B.3 C. D.69.如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的长等于( )A. B. C.8 D.610.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=﹣1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )A.x<﹣4或x>2 B.﹣4≤x≤2 C.x≤﹣4或x≥2 D.﹣4<x<2二、填空题(本题包括7小题,每空3分,共21分)11.计算|﹣2|+2cos45°= .12.一元二次方程x2+9x=0的解是 .13.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则对角线AF= .14.比较大小:sin57° tan57°.15.如图,在河两岸分别有A、B两村,现测得三点A、B、D在一条直线上,A、C、E在一条直线上,若BC∥DE,DE=90米,BC=70米,BD=20米,那么A、B两村间的距离为 米.16.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(x>0常数k>0)的图象经过点A(1,2),B(m,n)(m>1),过点B作y轴的垂线,垂足为C,若△ABC面积为2,求点B的坐标 .17.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,M为AB边上任一点,射线ON⊥OM于点O,且与BC边交于点N,若AB=4,AD=6,则四边形OMBN面积的最大值为 .三、解答题(共9小题,满分69分)18.解方程: =+1. 19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上找一点D,使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹,不写作法) 20.已知,如图,在△ABC中,点D为线段BC上一点,BD=AC,过点D作DE∥AC且DE=BC,求证:∠E=∠CBA. 21.如图为一种平板电脑保护套的支架侧视图,AM固定于平板电脑背面,与可活动的MB、CB部分组成支架,为了观看舒适,可以调整倾斜角∠ANB的大小,但平板的下端点N只能在底座边CB上.不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度,绘制成图(见答题纸),其中AN表示平板电脑,M为AN上的定点,AN=CB=20 cm,AM=8 cm,MB=MN,根据以上数据,判断倾斜角∠ANB能小于30°吗?请说明理由. 22.为庆祝商都正式营业,商都推出了两种购物方案.方案一:非会员购物所有商品价格可获九五折优惠,方案二:如交纳300元会费成为该商都会员,则所有商品价格可获九折优惠.(1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式;(2)若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱? 23.小励同学有面额10元.20元.50元和100元的纸币各一张,分别装入大小外观完全样的四个红包中,每个红包里只装入一张纸币,若小励从中随机抽取两个红包.(1)请用树状图或者列表的方法,求小励取出纸币的总额为70元的概率;(2)求小励取出纸币的总额能购买一件价格为120元文具的概率. 24.如图,BC是圆O的弦,CF是圆O切线,切点为C,经过点B作MN⊥CF于E,且∠CBM=135°,过G的直线分别与圆O,MN交于A,D两点.(1)求证:MN是圆O的切线;(2)当∠D=30°,BD=时,求圆O的半径r. 25.已知二次函数y═ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(﹣5,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.(1)直接写出顶点D、点C的坐标(用含a的代数式表示);(2)若∠ADC=90°,试确定二次函数的表达式. 26.如图,三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么这个三角形可称为“等中三角形”,探索体验(1)如图①,点D是线段AB的中点,请画一个△ABC,使其为“等中三角形”.(2)如图②,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=,判断△ABC是否为“等中三角形”,并说明理由.拓展应用(3)如图③,正方形ABCD木板的边长AB=6,请探索在正方形木板上是否存在点P,使△ABP为面积最大的“等中三角形”?若存在,求出CP的长;若不存在,请说明理由.
九年级(上)期末数学试卷参考答案一、选择题1.【考点】平方根.【分析】根据平方与开平方互为逆运算,可得一个正数的平方根.【解答】±,故选:A.2.【考点】简单组合体的三视图.【分析】从几何体上方观察,得到俯视图即可.【解答】如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是.故选D3.【考点】同底数幂的除法;幂的乘方与积的乘方;单项式乘单项式;负整数指数幂.【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可.【解答】A、x6÷x2=x4,错误;B、(﹣x)﹣1=﹣,错误;C、(2x3)2=4x6,正确;D、﹣2a2•a3=﹣2a5,错误;故选C4.【考点】平行线的性质.【分析】首先由AB∥CD,求得∠ABC的度数,又由BC平分∠ABE,求得∠CBE的度数,然后根据三角形外角的性质求得∠BED的度数.【解答】∵AB∥CD,∴∠ABC=∠C=34°.∵BC平分∠ABE,∴∠CBE=∠ABC=34°,∴∠BED=∠C+∠CBE=68°.故选D.5.【考点】点的坐标.【分析】点在第三象限的条件是:横坐标是负数,纵坐标是负数,可得﹣2m+1<0,求不等式的解即可.【解答】∵点在第三象限,∴点的横坐标是负数,纵坐标也是负数,即﹣2m+1<0,解得m>.故选D.6.【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;翻折变换(折叠问题).【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B,又折叠前后图形的形状和大小不变,∠CA'D=∠A=50°,易求∠B=90°﹣∠A=40°,从而求出∠A′DB的度数.【解答】∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,∴∠B=90°﹣50°=40°.∵将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠CA'D=∠A.∵∠CA'D是△A'BD的外角,∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°.故选:D.7.【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】把x=2代入直线的解析式求出y的值,再根据点P(2,m)在该直线的上方即可得出m的取值范围.【解答】当x=2时,y=2﹣3=﹣1,∵点P(2,m)在该直线的上方,∴m>﹣1.故选B.8.【考点】矩形的性质;菱形的性质.【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,解直角三角形BDC,即可求出BC的长.【解答】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∠ABC=90°,AB=CD,即EA⊥AB.∵四边形BFDE是菱形,∴BD⊥EF.∵OE=AE,∴点E在∠ABD的角平分线上,∴∠ABE=∠EBD.∵四边形BFDE是菱形,∴∠EBD=∠DBC,∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.∵AB的长为3,∴BC=3,故选B.9.【考点】圆周角定理;勾股定理.【分析】首先延长CA,交⊙A于点F,易得∠BAF=∠DAE,由圆心角与弦的关系,可得BF=DE,由圆周角定理可得:∠CBF=90°,然后由勾股定理求得弦BC的长.【解答】延长CA,交⊙A于点F.∵∠BAC+∠BAF=180°,∠BAC+∠EAD=180°,∴∠BAF=∠DAE,∴BF=DE=6.∵CF是直径,∴∠ABF=90°,CF=2×5=10,∴BC==8.故选C.10.【考点】二次函数与不等式(组).【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标,根据抛物线开口向下,根据图象求出使函数值y>0成立的x的取值范围即可.【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为x=﹣1,∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(﹣4,0),∵a<0,∴抛物线开口向下,则使函数值y>0成立的x的取值范围是﹣4<x<2.故选D.二、填空题11.【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值.【分析】直接利用绝对值的性质结合特殊角的三角函数值代入化简即可.【解答】原式=2﹣+2×=2﹣+=2.12.【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】因式分解法求解可得.【解答】∵x(x+9)=0,∴x=0或x+9=0,解得:x=0或x=﹣9, 13.【考点】正多边形和圆.【分析】作BG⊥AF,垂足为G.构造等腰三角形ABF,在直角三角形ABG中,求出AG的长,即可得出AF.【解答】作BG⊥AF,垂足为G.如图所示.∵AB=BF=2,∴AG=FG,∵∠ABF=120°,∴∠BAF=30°,∴AG=AB•cos30°=2×=,∴AC=2AG=2;故答案为2.14.【考点】锐角三角函数的增减性.【分析】根据正弦函数的增减性,正切函数的增减性,可得答案.【解答】∵sin57<sin90°=1,tan57°>tan45°=1,∴tan57°>sin57°,故答案为:<.15.【考点】相似三角形的应用.【分析】由BC∥DE,可得,△ABC∽△ADE,进而利用对应边成比例求解线段的长度.【解答】由题意可得,△ABC∽△ADE,∴,即,解得AB=70米.16.【考点】反比例函数综合题.【分析】由于函数y=(x>0常数k>0)的图象经过点A(1,2),把(1,2)代入解析式即可确定k=2,依题意BC=m,BC边上的高是2﹣n=2﹣,根据三角形的面积公式得到关于m的方程,解方程即可求出m,然后把m的值代入y=,即可求得B的纵坐标,最后就求出点B的坐标.【解答】∵函数y=(x>0常数k>0)的图象经过点A(1,2),∴把(1,2)代入解析式得2=,∴k=2.∵B(m,n)(m>1),∴BC=m,当x=m时,n=,∴BC边上的高是2﹣n=2﹣,而S△ABC=m(2﹣)=2,∴m=3,∴把m=3代入y=,∴n=,∴点B的坐标是(3,).故答案为:(3,).17.【考点】相似三角形的判定与性质;一次函数的性质;矩形的性质.【分析】(方法一)过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥BC于点F,易证得△FOM∽△EON,然后由相似三角形的对应边成比例结合分割图形求面积法即可得出S四边形OMBN=﹣x+6,根据一次函数的性质即可解决最值问题;(方法二)过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥BC于点F,当点M和点E重合、点N和点F重合时,四边形OMBN面积取最大值,根据矩形的面积即可得出结论.【解答】(方法一)过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥BC于点F,如图所示.∵四边形ABCD为矩形,AB=4,AD=6,∴OE=3,OF=2,OE⊥OF,∴∠EOM+∠FOM=90°,∵∠FON+∠FOM=90°,∴∠EOM=∠FON.∵∠OEM=∠OFN=90°,∴△FON∽△EOM,∴OM:ON=OE:OF=3:2,∴=.设ME=x(0≤x≤2),则FN=x,∴S四边形OMBN=S矩形EBFO﹣S△EOM+S△FON=2×3﹣×3x+×2×x=﹣x+6,∴当x=0时,S四边形OMBN取最大值,最大值为6.故答案为:6.(方法二)过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥BC于点F,当点M和点E重合、点N和点F重合时,四边形OMBN面积取最大值,如图所示.∵S矩形EBFO=2×3=6,∴四边形OMBN面积的最大值为6.故答案为:6三、解答题(共9小题,满分72分)18.【考点】解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】去分母得:﹣x+3=1+x﹣4,移项合并得:﹣2x=﹣6,解得:x=3,经检验x=3是分式方程的解.19.【考点】作图—基本作图;角平分线的性质.【分析】作∠BAC的平分线交BC边于点D,则点D即为所求.【解答】如图,点D即为所求.20.【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质.【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠EDB,再证明△EBD≌△BAC,根据全等三角形的性质可得∠E=∠CBA.【解答】∵DE∥AC,∴∠C=∠EDB,在△EBD和△BAC中,∴△EBD≌△BAC(SAS),∴∠E=∠CBA.21.【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.【分析】根据∠ANB=30°时,作ME⊥CB,垂足为E,根据锐角三角函数的定义求出EB及BN的长,进而可得出结论.【解答】当∠ANB=30°时,作ME⊥CB,垂足为E,∵MB=MN,∴∠B=∠ANB=30°.在Rt△BEM中,∵cosB=,∴EB=MB•cosB=(AN﹣AM)•cosB=6cm.∵MB=MN,ME⊥BC,∴BN=2BE=12cm.∵CB=AN=20cm,且12>20,∴此时N不在CB边上,与题目条件不符,随着∠ANB度数的减小,BN的长度增加,∴倾斜角不可以小于30°.22.【考点】一次函数的应用.【分析】(1)根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可;(2)分别把x=5880,代入(1)中的函数求得数值,比较得出答案即可.【解答】(1)方案一:y=0.95x;方案二:y=0.9x+300;(2)当x=5880时,方案一:y=0.95x=5586(元),方案二:y=0.9x+300=5592(元),5586<5592所以选择方案一更省钱.23.【考点】列表法与树状图法.【分析】(1)先利用树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出取出纸币的总额为70元的结果数,然后根据概率公式计算;(2)根据(1)中树状图找到取出纸币的总额大于或等于120元的结果数,根据概率公式计算可得.【解答】(1)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中取出纸币的总额为70元的结果数为2,所以取出纸币的总额为70元的概率==;(2)小励取出纸币的总额能购买一件价格为120元文具的概率为=.24.【考点】切线的判定与性质.【分析】(1)连接OB、OC,证明OC⊥CE即可.因为MN是⊙O的切线,所以OB⊥MN.因∠CBN=45°可得∠OBC=∠OCB=∠BCE=45°,所以∠OCE=90°,得证;(2)可证四边形BOCE为正方形,所以半径等于CE,可设半径为r,在△BCE中表示BE;在△CDE中表示DE,根据BD的长得方程求解.【解答】(1)证明:连接OB、OC.∵MN是⊙O的切线,∴OB⊥MN,∵∠CBM=135°,∴∠CBN=45°,∴∠OBC=45°,∠BCE=45°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.∴∠OCE=90°,∴CE是⊙O的切线;(2)解:∵OB⊥BE,CE⊥BE,OC⊥CE,∴四边形BOCE是矩形,又OB=OC,∴四边形BOCE是正方形,∴BE=CE=OB=OC=r.在Rt△CDE中,∵∠D=30°,CE=r,∴DE=r.∵BD=2,∴r+r=2,∴r=﹣,即⊙O的半径为﹣.25.【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.【分析】(1)根据抛物线y═ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点可得解析式为y=a(x+5)(x﹣1)=ax2+4ax﹣5a=a(x+2)2﹣9a,从而得出答案;(2)由A、D、C的坐标得出AD2、CD2、AC2,根据∠ADC=90°知AD2+CD2=AC2,据此列出关于a的方程,解之可得a的值,从而得出答案.【解答】(1)∵二次函数y═ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(﹣5,0)、B(1,0)两点,∴抛物线的解析式为y=a(x+5)(x﹣1)=ax2+4ax﹣5a=a(x+2)2﹣9a,则点D的坐标为(﹣2,﹣9a),点C的坐标为(0,﹣5a);(2)∵A(﹣5,0)、D(﹣2,﹣9a)、C(0,﹣5a),∴AD2=(﹣2+5)2+(﹣9a﹣0)2=81a2+9,CD2=(﹣2﹣0)2+(﹣9a+5a)2=16a2+4,AC2=(0+5)2+(﹣5a﹣0)2=25a2+25,∵∠ADC=90°,∴AD2+CD2=AC2,即81a2+9+16a2+4=25a2+25,解得:a=±,∵a>0,∴a=﹣,则该二次函数的解析式为y=﹣(x+2)2﹣.26.【考点】四边形综合题.【分析】(1)通过同圆的半径相等,取DC=AB,则△ABC就是所求作的等中三角形;(2)作中线BD,根据勾股定理求中线BD=AC,则△ABC是“等中三角形”;(3)分别以△ABP三边画等中三角形,对比后得图5中的等中三角形的面积最大,求出此时的CP的长即可.【解答】解:(1)如图1,作法:①以D为圆心,以AB为半径画圆,在圆上任意取一点C,②连接AC、BC,则△ABC就是所求作的“等中三角形”;(2)△ABC是“等中三角形”,理由是:如图2,取AC的中点D,连接BD,∵AC=2,∴CD=AC=1,∵∠ACB=90°,由勾股定理得:BD==2,∴BD=AC,∴△ABC是“等中三角形”,(3)分三种情况:①当中线长BE=AP时,如图3,②当中线长AE=PB时,如图4,③当中线长PE=AB时,如图5,由三个图形可得:图5中的等中三角形的面积最大,此时,P是DC的中点,∴PC=CD==3.
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