广东省佛山市南海区里水镇2022—2023学年九年级上学期第二次月考数学试题(解析版)

2022-2023学年第一学期九年级学科阶段巩固过关练习数学

一、选择题

1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（       ）

A． B． C． D．

2．如图，在菱形中，，则菱形的周长是（       ）

A． B． C． D．

3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A．对角线相等 B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角

4．如图，哪一个是太阳光下形成的影子？（       ）

A． B．

C． D．

5．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（     ）

A．0 B． C． D．

6．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（       ）

A． B．1 C．5 D．

7．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（       ）

A． B．或 C． D．或

8．如图所示的几何体，其左视图是（     ）

A． B． C． D．

9．在宽为30m，长为80m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成六块作试验田，要使试验田总面积为1998平方米，问道路应为多宽？若设道路宽为，则根据题意可列方程来求解（   ）

A． B．

C． D．

10．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（       ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）

A．5 B．8 C．10 D．12

二、填空题

11．若，则=____________．

12．如图，在中，点D、E分别在边、上，．已知，，则的长是______．

13．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，添加一个条件____________，使菱形是正方形．

14．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为 _____．

15．如图，在中，，，点P从点B开始沿边向点A以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点C以每秒的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过_____秒钟与相似？

三、解答题（一）

16．解方程：．

17．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．

18．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，则四边形的面积为______．

四、解答题（二）

19．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；

（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．

20．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？

（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．

21．某商店将进价为8元的商品按每件元售出，每天可售出件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元，其销售量就减少件，

(1)应将每件售价提高多少元时，才能使每天利润为元？

(2)店主想要获得每天元的利润，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？请用所学知识说明理由．

22．（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，判断线段与的数量关系并说明理由；

（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与又有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

23．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P．

(1)A点坐标为________，P点坐标为________；

(2)在线段上有一个动点M，过M点作直线轴，与直线相交于点N，若的面积为，求M点的坐标．

(3)若点C为线段上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．

1．C

【分析】

根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

2．D

【分析】

由菱形中，，，根据菱形的性质，可求得，，，然后由勾股定理求得的长，即可解答．

【详解】

解：∵菱形中，，，

∴，，，，

∴，

∴，

∴菱形的周长，

故选：D．

【点睛】

此题考查了菱形的性质以及勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分．

3．B

【分析】

根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形，从而可以得到它们都具有的性质，本题得以解决．

【详解】

解：∵矩形、菱形、正方形都是平行四边形，

∴它们都具有的性质是对角线互相平分，

故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．

4．B

【分析】

根据平行投影的定义作出判断即可．

【详解】

解：太阳光下形成的影子方向是相同的，故选项A，D，不符合题意，

观察下面图象可知，选项B是平行投影，选项C是中心投影，

故选：B．

【点睛】

本题考查平行投影的特点和规律，由平行光线形成的投影叫做平行投影．在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方向相同．

5．C

【分析】

画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：把开关，，分别记为A、、，

画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

能让两个小灯泡同时发光的概率为．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

6．B

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系得，，进一步求解即可．

【详解】

解∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，

∴根据根与系数的关系得，，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系公式是解题的关键．

7．D

【分析】

根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．

【详解】

解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，

∴点B的对应点的坐标为：或．

故选D．

【点睛】

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

8．B

【分析】

左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．

【详解】

解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线．

故选：B．

【点睛】

此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．

9．D

【分析】

将道路平移到到两边后，耕地为一个矩形，根据矩形的面积公式即可列出方程．

【详解】

解：设道路宽为，则耕地长为m，耕地宽为m，

根据题意可列方程：，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了用一元二次方程解决几何面积问题，熟练掌握矩形面积公式和平移的性质是解题的关键．

10．C

【分析】

设她应该穿的鞋子，那么她肚脐以下的高度为．根据她肚脐以上的高度与肚脐以下的高度之比等于黄金比，列出方程求解即可．

【详解】

解：设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．

解得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查黄金分割比的应用，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．

11．

【分析】

由，根据比例的性质，即可求得的值．

【详解】

解：∵

∴=．

故答案为：．

【点睛】

此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．

12．4

【分析】

利用相似三角形的判定与性质，得出，进而得到，即可求出的长．

【详解】

解：

，

，，

，

，

，，

，

，

故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形对应线段成比例是解题关键．

13．（答案不唯一）

【分析】

根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．

【详解】

解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．

如∠ABC=90°或AC=BD．

故答案为：AC=BD（答案不唯一）

【点睛】

本题考查特殊四边形的判定，关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．

14．

【分析】

根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到CF＝AF＝5，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵AF＝5，BF＝3，

∴，

∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．

∴CF＝AF＝5，

∴BC＝BF+CF＝8，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．

15．0.8或2

【分析】

设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果．

【详解】

解：设在开始运动后第秒，与相似，

由题意得：cm，cm，cm，

分两种情况考虑：

当，时，；

，

即，

解得：，

当秒时，与相似；

当，时，，

∴，即，

解得：，

当秒时，与相似，

综上，当秒或2秒时，与相似．

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．

16．，

【分析】

先对方程移项，再配方即可解方程．

【详解】

解：方程，

移项得：，

配方得：，

，

，

，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

17．8米

【分析】

由△BDE∽△ACE得到，代入数值计算即可．

【详解】

解：由题意，BD∥AC．

∴△BDE∽△ACE．

∴．

∴．

解得AC＝8．

答：井深AC的长为8米．

【点睛】

此题考查了相似三角形的实际应用，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．

18．(1)证明见解析

(2)24

【分析】

（1）由已知可得四边形为平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，证出，则可得出四边形是菱形；

（2）因为菱形的对角线互相平分，可得，根据勾股定理，求出，即可得出答案．

【详解】

（1）证明：∵是的角平分线，

∴，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴

∴，

∴四边形是菱形．

（2）连接，与交于点，

∵四边形是菱形，

∴、互相垂直平分，

∴，

根据勾股定理

,

∴,

∴四边形的面积=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．

19．（1）证明见解析；（2）k=3

【分析】

（1）根据根的判别式判断即可．

（2）由等腰三角形性质可判断出腰长为2和底为2两种情况，即可求得两个k，将k代入抛物线解析式求得x的解，再结合三角形三边关系判断即可．

【详解】

（1）∵中a=1，b=-k，c=k-1

∴

∵

∴

∴无论k取何值，该方程总有实数根

（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根

将x=2代入有

4-2k+k-1=0

解得k=3

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．

若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有

即

解得k=2

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，1，1，

1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．

综上所述k的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形性质以及三角形三边成立的关系，易错点为第二问未验证所算三边长是否能构成等腰三角形．

20．（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）

【分析】

（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；

（2）画树状图求解即可．

【详解】

（1）根据题意，得

＝0.3325

≈0.33，

设有x个红球，根据题意，得，

解得x≈2

经检验，符合题意．

故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．                    

（2）画树状图如下：

据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，

则P（恰好摸到1个白球，1个红球）．

所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．

【点睛】

本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画树状图是解题的关键．

21．(1)答：每件售价提高2元或6元时，才能使每天利润为元；

(2)同意小红同学的说法，理由见解析．

【分析】

（1）设将每件商品售价提高元，则每天可售出该商品件，根据每天的利润每件商品的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案；

（2）设将每件商品提价元，则每天可售出该商品件，根据题意列出关于 的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无解，即可判断小红同学的说法正确．

【详解】

（1）解：设将每件商品售价提高元，

则每天可售出该商品的数量为：件，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

答：每件售价提高2元或6元时，才能使每天利润为元；

（2）解：同意小红同学的说法，理由如下：

设将每件商品售价提高元，则每天可售出该商品件，

根据题意得：，

整理得：．

，

该方程无解，

小红同学的说法正确．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程跟的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．

22．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）

【分析】

（1）通过证明全等，得到；

（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；

（3）作于N，交的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．

【详解】

解：，理由如下：

∵正方形，

∴，

∵正方形，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

（2）解：．理由如下：

延长相交于点H．

∵矩形、矩形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴；

（3）解：作于N，交的延长线于M．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴点G在直线上运动，

作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，

由（2）知，，

∴，

∴，

∴的最小值就是的最小值．

∵，

∴的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．

23．(1)，；

(2)或；

(3)存在，D点坐标为或或或，理由见解析．

【分析】

（1）令，求解即得到直线与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得到其交点P的坐标；

（2）作，设M点的横坐标为，则，，得到，又，得到，求解即可得到M点的坐标；

（3）分情况讨论：①若为对角线，可知根据菱形的性质，得到，即可得到点D坐标；②若为边， 设点C的坐标为，设D点坐标为，当时，根据菱形的性质和勾股定理得到，求解得到C点坐标，进而得到中点G坐标为，再利用中点G坐标即可得到点D坐标；当时，得到，求解得到C点坐标或，而得到中点H坐标为或，再利用中点H坐标即可得到点D坐标．

【详解】

（1）解：直线与x轴交于点A，

令，则，

解得：，

点的坐标为，

直线与直线交于点P

令，

解得：，

，

点的坐标为，

故答案为：，；

（2）解：过P点作于点E，

设M点的横坐标为，

在线段上，

，

轴，

、两点横坐标相同，

在直线上，

，

，

，轴，，

，

，

，

整理得：，

解得：，，

点坐标为或；

（3）解：存在，

①若为对角线，则、互相垂直平分，

，，

的垂直平分线为直线，

为线段上一点，且C在直线上，

，

D点的坐标为；

②若为边， 设点C的坐标为，设D点坐标为，

当时，连接，对角线、交于点G，

四边形为菱形，

、互相垂直平分，

为、的中点，

，

，

，

解得：，（舍），

，

点G坐标为，即

中点坐标为，

，

，

D点的坐标为；

当时，连接对角线、交于点H，

四边形为菱形，

、互相垂直平分，

为、的中点，

，

，

，

解得：，，

或，

点H坐标为或，

中点坐标为，

或，

或，

点的坐标为或，

综上可知，D点坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了一次函数的图像和性质，菱形的性质，两点间的距离，坐标系中点坐标，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数性质和菱形的性质是解题关键．