湖北省黄冈市黄梅实验中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）(解析版)

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湖北省黄冈市黄梅实验中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）解析版
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
2．如图，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是（　　）

A．125° B．115° C．110° D．35°
3．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
4．如图，点F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（　　）

A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
7．若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（　　）
A．5 B．5或12 C．22或29 D．29
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限（∠1不等于60°），点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AB上的一点，且满足ED＝EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②③ C．①② D．①④
二.填空题（共10小题，每题3分）
11．如果某个多边形的内角和为1260°，那么它的边数是 　 　．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝　 　．

13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 　 　．

14．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为 　 　．

15．如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝　 　．

16．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝　 　°．

17．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠C＝45°，PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 　 　．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E、F是AD上的两点，AD＝12cm，BC＝10cm，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．

19．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DF∥AB交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝　 　．

20．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是 　 　°．

三.解答题（共8小题）
21．（6分）已知：如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：AC＝DF．

22．（6分）如图，在△ABE和△ACF中，AE⊥BE，AF⊥CF，AB＝AC，AE＝AF．求证：∠1＝∠2．

23．（8分）经过等腰三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形，请画出符合条件的图形，并标出图中三角形各角的度数．
24．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，连接DE交BC于点F，EF＝DF，求证：CE＝BD．

25．（8分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线与外角∠EAB的平分线交于点P，PM⊥AB于M，PN⊥AE于N．
（1）求证：BM＝CN；
（2）当AB＝9，AC＝5时，求BM和AM的长．

26．（8分）如图，A、D、B三点在同一直线上，△ADC、△BDO为等腰直角三角形，连接AO、BC．

（1）AO、BC的大小位置关系如何？说出你的看法，并证明你的结论．
（2）当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到如图②，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
27．（8分）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．求证：DE＝BD+CE．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中△ABC，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由．


28．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，P（4，4），
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA＝PB，
①求证：PA⊥PB：
②求OA+OB的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA＝PB，
③求OA﹣OB的值；
④点A的坐标为（10，0），求点B的坐标．


参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
2．如图，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是（　　）

A．125° B．115° C．110° D．35°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的度数，由角平分线的定义，可得出∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再在△PBC中，利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．
在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×110°＝125°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
3．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8，
则多边形的内角和是：（8﹣2）×180＝1080°．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
4．如图，点F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（　　）

A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
又AD＝CB，∠D＝∠B，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
故A不符合题意；
∵DE∥FB，
∴∠AED＝∠CFB，
又AD＝CB，∠D＝∠B，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
故B不符合题意；
∵DE＝BF，
又AD＝CB，∠D＝∠B，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
故C不符合题意；
∵AE＝CF，
又AD＝CB，∠D＝∠B，
不能判定△ADE≌△CBF，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
6．点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的特点是解题的关键．
7．若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是（　　）
A．5 B．5或12 C．22或29 D．29
【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当12为底时，其它两边都为5，12、5、5不能构成三角形，
当12为腰时，其它两边为12和5，因为12+5＞12，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是：12+12+5＝29．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限（∠1不等于60°），点P在x轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等腰三角形的性质分情况得出P点的数量即可．
【解答】解：若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则分以下几种情况：
①当OA＝OP时，
∵P点在x轴上，
∴此时存在两个符合条件的P点；
②当OA＝AP时，
∵P点在x轴上，
∴此时存在一个符合条件的P点；
③当OP＝AP时，
∵P点在x轴上，
∴此时存在一个符合条件的P点；
综上，符合条件的P点共有4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AB上的一点，且满足ED＝EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，ED＝EA，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ADE＝36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝36°＝∠A，
∴∠CDB＝72°，DB＝DA，即△ABD是等腰三角形，
∴∠C＝∠CDB，
∴BC＝BD，即△BCD是等腰三角形，
∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠ADF＝∠C＝72°，∠BDF＝∠DBC＝∠DBF＝36°，
∴AF＝AD，即△ADF是等腰三角形，
BF＝DF，即△BDF是等腰三角形，
∵∠FED＝∠A+∠ADE＝72°＝∠BDE，
∴BE＝BD，即△BDE是等腰三角形
∵∠FED＝∠EFD＝72°，
∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形，
故图中等腰三角形有8个，
故选：C．

【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．
10．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②③ C．①② D．①④
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∵BD与CE无法判定相等，
∴DF与EF无法判定相等，
故②错误；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
二.填空题（共10小题，每题3分）
11．如果某个多边形的内角和为1260°，那么它的边数是 　7　．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，根据题意列方程，解之即可．
【解答】解：根据题意列方程，得
（n﹣2）•180°＝1260°，
解之，得n＝9．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝　40°　．

【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+15°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 　2　．

【分析】证明△ADE≌△CFE（AAS），得出AD＝CF＝3，即可得出答案．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为 　4　．

【分析】根据根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BD是边AC上的高，
∴BD⊥AC，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，ED⊥AC，
∴EF＝ED＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝　9　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BF＝AF，AM＝CM，进一步即可求出BC的长．
【解答】解：∵DF，EM分别垂直平分边AB，AC，
∴BF＝AF，AM＝CM，
∵△AFM的周长为9，
∴AF+FM+AM＝9，
∴BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝　100　°．

【分析】延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故答案为：100．

【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠C＝45°，PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 　40°　．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AP＝BP，AQ＝CQ，根据等边对等角可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后根据∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ计算即可得解．
【解答】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
＝110°﹣70°，
＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E、F是AD上的两点，AD＝12cm，BC＝10cm，则图中阴影部分的面积之和为 　30　cm2．

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，进一步即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴S△BFE＝S△CFE，
∵AD＝12cm，BC＝10cm，
∴阴影部分的面积＝S△ABC＝××12×10＝30（cm2）．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DF∥AB交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝　96°　．

【分析】由平行线夹角平分线可得△BDF是等腰三角形，即BF＝BD，由平行线的性质可得∠DFC＝∠ABC；根据SAS可得出△BEF≌△FCD，由此可得∠E＝∠C＝23°，由平行线的性质可得∠EFD＝23°，再由三角形的外角性质可得出结论、
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝∠FBD＝25°，
∵AB∥DF，
∴∠DFC＝∠ABC＝50°，∠BDF＝∠ABD＝25°，
∴∠BDF＝∠FBD，
∴BF＝FD，
∵BE＝FC，
∴△BEF≌△FCD（SAS），
∴∠E＝∠C＝23°，
∵AB∥DF，
∴∠EFD＝∠E＝23°，
∴∠OFC＝∠EFD+∠DFC＝73°，
∴∠EOC＝∠OFC+∠C＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，外角的性质等相关知识，根据条件得出三角形全等是解题关键．
20．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是 　50　°．

【分析】由DE∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠ABC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2×50°＝100°．
在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
三.解答题（共8小题）
21．（6分）已知：如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，求证：AC＝DF．

【分析】由BF＝CE可求得BC＝EF，利用AAS可求证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是求得BC＝EF．
22．（6分）如图，在△ABE和△ACF中，AE⊥BE，AF⊥CF，AB＝AC，AE＝AF．求证：∠1＝∠2．

【分析】利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后证明即可．
【解答】证明：∵AE⊥BE，AF⊥CF，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠1＝∠BAE﹣∠3，∠2＝∠CAF﹣∠3，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图确定出全等的三角形是解题的关键．
23．（8分）经过等腰三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形，请画出符合条件的图形，并标出图中三角形各角的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质画图即可．
【解答】解：如图所示，即为所求．


【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
24．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，连接DE交BC于点F，EF＝DF，求证：CE＝BD．

【分析】过点D作DH∥AC，DH交BC于H，由平行线的性质得∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，由等腰三角形的性质得∠B＝∠ACB，则∠B＝∠DHB，证△DHF≌△ECF（AAS），即可解决问题．
【解答】证明：如图，过点D作DH∥AC，交BC于H，

∴∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DHB，
∴BD＝HD，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴HD＝CE，
∵BD＝HD，
∴CE＝BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（8分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线与外角∠EAB的平分线交于点P，PM⊥AB于M，PN⊥AE于N．
（1）求证：BM＝CN；
（2）当AB＝9，AC＝5时，求BM和AM的长．

【分析】（1）根据角平分线性质及线段垂直平分线性质得出PM＝PN，PB＝PC，利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）利用HL证明Rt△APM≌Rt△APN，结合（1）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，

∵AP平分∠EAB，PM⊥AB于M，PN⊥AE于N，
∴PM＝PN，
∵PD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
在Rt△BPM和Rt△CPN中，
，
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），
∴BM＝CN；
（2）解：在Rt△APM和Rt△APN中，
，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴AM＝AN，
∵AB＝BM+AM＝AN+AM＝AC+2AM，AB＝9，AC＝5
∴AM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝7．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
26．（8分）如图，A、D、B三点在同一直线上，△ADC、△BDO为等腰直角三角形，连接AO、BC．

（1）AO、BC的大小位置关系如何？说出你的看法，并证明你的结论．
（2）当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到如图②，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠ADO＝∠CDB＝90°，AD＝DC，DO＝BD，根据SAS推出△ADO≌△CDB即可；
（2）根据等腰直角三角形性质得出∠ADC＝∠BDO＝90°，AD＝DC，DO＝BD，求出∠ADO＝∠CDB根据SAS推出△ADO≌△CDB，即可推出答案；
【解答】（1）AO＝BC，AO⊥BC，
证明：∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴∠ADO＝∠CDB＝90°，AD＝DC，DO＝BD，
∵在△ADO和△CDB中，
，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO＝BC，∠OAD＝∠DCB，
∵∠COE＝∠AOD，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠DCB+∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°，
∴AO⊥BC；


（2）解：AO＝BC，AO⊥BC仍成立，
理由是：∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴AD＝DC，DO＝BD，∠ADC＝∠BDO＝90°，
∴∠ADC+∠CDO＝∠BDO+∠CDO，
∴∠ADO＝∠CDB，
∵在△ADO和△CDB中，
，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO＝BC，∠AOD＝∠CBD，
∴∠AOB+∠CBO＝∠CBD+∠CBO+∠DOB＝∠DOB+∠DBO＝45°+45°＝90°，
∴∠OMB＝180°﹣90°＝90°，
∴AO⊥BC．

【点评】本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，解此题的关键是根据SAS得到△ADO≌△CDB．
27．（8分）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．求证：DE＝BD+CE．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中△ABC，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
【解答】（1）证明：如图①，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：DE＝BD+CE，理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，P（4，4），
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA＝PB，
①求证：PA⊥PB：
②求OA+OB的值；
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA＝PB，
③求OA﹣OB的值；
④点A的坐标为（10，0），求点B的坐标．

【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝4，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；
②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；
（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；
④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．
【解答】（1）①证明：如图，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

∴PE⊥PF，
∵P（4，4），
∴PE＝PF＝4，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，
∴PA⊥PB；
②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴BF＝AE，
∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，
∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝4+4＝8；
（2）解：③如图，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，

同理得Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴AE＝BF，
∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣4，BF＝OB+OF＝OB+4，
∴OA﹣4＝OB+4，
∴OA﹣OB＝8；
④∵PE＝PF＝4，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE＝OF＝4，
∵A（10，0），
∴OA＝10，
∴AE＝OA﹣OE＝10﹣4＝6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF＝6，
∴OB＝BF﹣OF＝6﹣4＝2，
∴点B的坐标为（0，﹣2）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．