贵州省黔南州长顺县2021-2022学年九年级（下）第二次月考数学试卷(解析版)

2021-2022学年贵州省黔南州长顺县九年级（下）第二次月考数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，点在线段上，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 据国家卫生健康委员会发布，截至年月日，个省区、市及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约剂次，将用科学记数法表示为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 某班组织了一次读书活动，统计了名同学在一周内的读书时间，他们一周内累计的读书时间如表所示，则这
   名同学一周内累计读书时间的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若分式运算结果为，则在“”中添加的运算符号为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，是正五边形的对角线，的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 北京冬奥会开幕式精彩绝伦，让世界感受到了来自中国的浪漫．如图，开幕式中的主火炬台是由运动员入场仪式“雪花引导牌”组成，它是(    )

A. 轴对称图形 B. 中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 都不是

9. 若标有，，的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只摘先摘，直到摘完，则最后一只摘到的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，于点，若，分别为，的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 计算： ______ ．
14. 在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球个，红球个，白球个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则为______．
15. 将直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，得到直线，则直线与轴的交点坐标是______．
16. 如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解一元一次不等式组，请结合题意填空，完成本题解答．
    步骤一：解不等式，得；
    步骤二：解不等式，得______；
    步骤三：把不等式，的解集在数轴上表示出来；
    步骤四：所以原不等式组的解集为______．
    求多项式与多项式的差．对于任意实数，比较这两个多项式的大小．
18. 本小题分
    安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
    
    宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
    该市约有万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
    小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为，比活动前增加了人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
19. 本小题分
    如图，已知直线与▱的对角线平行，延长，，，与分别交于点，，，．
    求证：；
    若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．

20. 本小题分
    图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，．
    求车位锁的底盒长．
    若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
    参考数据：，，
     
21. 本小题分
    甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套防护服，甲厂比乙厂少用天．
    甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
    已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是元和元，疫情期间，某医院急需套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过元，那么甲厂至少要加工多少天？
22. 本小题分
    如图，平行于轴的直尺部分与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，连接，点、对应直尺上的刻度分别为、，直尺的宽度，设直线的解析式为．
    请结合图象，直接写出：
    点的坐标是______；
    不等式的解集是______；
    求直线的解析式．

23. 本小题分
    如图，是的外接圆，是直径，是外一点且满足，连接．

求证：是的切线；

若，，，求直径的长；

如图，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明．

24. 本小题分
    如图，抛物线的图象与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为．
    Ⅰ求抛物线的解析式；
    Ⅱ点为线段上一点点不与点、重合，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点若点在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积；
    Ⅲ在Ⅱ的条件下，当矩形的周长最大时，连接，过抛物线上一点作轴的平行线，与直线交于点点在点的上方若，求点的坐标．

25. 本小题分
    爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”设，，．
    特例研究
    如图，当，时，______．
    归纳证明
    请你观察中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
    拓展证明
    如图，在平行四边形中，、分别是、的三等分点，且，，连接、、，且于，与交于点，，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：比小的数是应该是负数，且绝对值大于的数；
分析选项可得，只有符合．
故选：．
根据题意，结合有理数大小的比较法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
本题考查有理数的大小比较，是基础性的题目．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，即，
．
故选：．
先由，得，，得，再根据三角形内角和定理得，，即，从而求出．
此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出，再由得出，由三角形内角和定理求出．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为，
所以．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：共有名同学，
第名和第名同学的读书时间的平均数为中位数，
则中位数为：．
故选：．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将运算符号放入原式，计算即可得到结果．
【解答】
解：根据题意得：，不符合题意；
B.根据题意得：，不符合题意；
C.根据题意得：，，不符合题意；
D.根据题意得：；，符合题意；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：正五边形，
每个内角为，
，
，
，
故选：．
先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰，求出即可．
本题考查的正多边形外角和定理，以及等腰三角形的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：这个“雪花引导牌”既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由摘取的顺序有，，三种等可能的结果，
最后一只摘到的概率是，
故选：．
由摘取的顺序有，，三种等可能的结果，即可求解．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；找出所有的等可能性是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，分别为，的中点，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质求出，由锐角三角函数的定义求出，由三角形的中位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，作直径，连接，
由勾股定理得，，
在中，，
由圆周角定理得，，
，
故选：．
作直径，连接，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【解答】
解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
当时，若，则，故选项B错误；
当时，若，则，故选项A错误；
若，则，故选项C正确；
若，则，故选项D错误；
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简．
本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础．
 

14.【答案】 

【解析】解：袋子中装有黄球个，红球个，白球个，
袋子中共有个球，
从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，
，
，
经检验是原方程的解，
该盒子中装有黄球的个数是个．
故答案为：．
根据概率公式用白球的个数除以总的球数个数，即可得出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：将直线向左平移个单位，得到直线，即，
再向下平移个单位，所得的解析式为，即，
令，则，
直线与轴的交点坐标是．
故答案为．
直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律求得平移后的解析式，即可求得直线与轴的交点坐标．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，在上取一点，使得，连接，．

，，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为．
如图，在上取一点，使得，连接，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】   

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组的解集为．
故答案为：，．
解：依题意得：
，
，
对于任意实数，，
多项式大于．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
把两式相减判断出差的符号即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多，占抽取人数的．
估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为：万人．
小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：．
人，
故活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：．
．
因此交警部门开展的宣传活动有效果． 

【解析】宣传活动前，属于类别的人数最多，用类别的人数的人数除以总人数即可求解；
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数在抽取的市民中“都不戴”的人数占抽取人数的百分比万；
先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
本题考查了用样本估计总体，是一道有关用样本估计总体、条形统计图的题目．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
同理可证：，
；
解：，理由如下：
，
，
在和中，，
≌，
，
在▱中，，
，
在▱中，，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，得出：，即，再由，证得四边形是平行四边形，得出：，同理：，即可得出结论；
由，得出：，由证得≌，得出，在▱中，，证得，由▱中，，即可得出结果．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，应熟练掌握
 

20.【答案】解：过点作于点，
，
，
在中，，，
，
．
在中，
，
，
当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 

【解析】过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：设乙工厂每天加工套防护服，则甲工厂每天加工套防护服，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工厂每天加工套防护服，乙工厂每天加工套防护服．
设甲工厂加工天，则乙工厂加工天，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
的最小值为．
答：甲厂至少要加工天． 

【解析】设乙工厂每天加工套防护服，则甲工厂每天加工套防护服，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲厂比乙厂少用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设甲工厂加工天，则乙工厂加工天，利用总加工费用甲厂每天的价格费用甲厂加工的时间乙厂每天的价格费用乙厂加工的时间，结合总加工费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】   

【解析】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为、，且，
直尺的宽度，．
的横坐标为，
不等式的解集是，
故答案为；   ；
在反比例函数图象上，
，
反比例解析式为，
点在反比例函数图象上，
，
，
将、代入有解得，
直线解析式：．
根据点、对应直尺上的刻度分别为、，即可求得的坐标；根据题意的横坐标为，根据图象即可求得不等式的解集；
根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式．
本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，连接．

，
，
，
，
是直径，
，
，即，
是的切线．

，，．
，
由可知，，
∽，
，即，
，

，
如图，连接，在上截取，连接．

是直径，，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】连接，由知，结合得，再由是直径知，据此可得，从而得证；
先利用勾股定理求得，再证∽得，据此求解可得；
连接，在上截取，连接由是直径、知，据此得是等腰直角三角形，，再证≌得，据此可知是等腰直角三角形，从而得出，从而得证．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理、切线的判定、相似三角形和全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：Ⅰ依题意
解得
抛物线的解析式；
Ⅱ，
抛物线的对称轴是直线，
设，，其中，
、关于直线对称，
设的横坐标为，
则，
，
，
，，
周长，
当时，取最大值，
此时，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
设直线的解析式为，
将代入，得，
，
，
；
Ⅲ由Ⅱ知，当矩形的周长最大时，，
此时点 ，与点重合，
，
，
，
如图，过作轴于，

则，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得，，
当时，，
当时，，
点或． 

【解析】Ⅰ将点，点坐标代入解析式可求解；
Ⅱ设，，利用对称性可求点，可求，，则可用表示矩形的周长，由二次函数的性质可求当矩形的周长最大时，点的坐标，即可求点，点的坐标，由三角形面积公式可求解；
Ⅲ先求出点坐标，即可求，可得，设 ，则 ，由两点距离公式可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，两点距离公式，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图中，，，
，，
，
，
，，
．
，．
故答案为：；

结论．
证明：如图中，连接．
、是中线，
，，
∽，
，
设，，则，，
，
，
，
．

解：如图中，在和中，
，
≌，
，
取中点，连接并且延长交的延长线于点，
同理可证≌，
，，
即，，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
是中垂三角形，
由可知，
，，
，
．
首先证明，都是等腰直角三角形，求出、、、，再利用勾股定理即可解决问题．
结论设，，则，，利用勾股定理分别求出、、即可解决问题．
取中点，连接并且延长交的延长线于点，首先证明是中垂三角形，利用中结论列出方程即可解决问题．
本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．