2022-2023学年江苏省常州市八年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年江苏省常州市八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市八年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列图形，其中是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    下列条件中，不能判断为直角三角形的是(    )A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：   如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是(    )A.
B.
C.
D.    如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(    )A.
B.
C.
D.    如图是一个平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是(    )A.
B.
C.
D.    如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的中垂线上．若，则的度数为(    )
A.  B.  C.  D.    如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积为(    )A.
B.
C.
D.    如图，中，，，，、分别是线段和线段上的动点，且，是线段上一点，且，则的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）   在中，若，，，则______．在中，，，，是边的中点，则______．中，，且，则大小为______等腰三角形腰长为，周长为，则该等腰三角形的底边长为______．如图，点是内一点，，，垂足分别为、，若，且，则的度数为______．
 如图，是的高，，，，则大小为______
 如图，点是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为______．
 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上．若，则的大小为______
 如图，在中，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，当取最小值时，的值是______．
 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图所示：
作出与关于对称的图形；
若小正方形的边长为，则______．
本小题分
如图，，，求证：．
 本小题分
如图，，．
求证：；
连接，求证：．
本小题分
如图，，，，．
求的度数；
求证：是等边三角形．
本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求证：；
求四边形的面积．
本小题分
如图，中，，、是高，连接．
求证：；
若，求的度数．
本小题分
如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且．
求证：平分；
若，，求的长．
本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒．
求斜边上的高．
当点在上时，的长为______用含的代数式表示
若点在的角平分线上，则的值为______．
在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此题考查轴对称图形问题，掌握轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：．  2.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．
【解答】
解：、可利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，故此选项不合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出，为直角三角形，故此选项不合题意；
D、根据三角形内角和定理可以计算出，，，可判定不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．  3.【答案】 【解析】解：，
．
，，
，．
是等边三角形，
，
．
故选：．
由已知条件可知，结合可得的度数，从而得到的度数；根据等边三角形的性质，可以得到，结合即可解答此题．
本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，，，
则，
则正方形的面积，
故选：．
根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 5.【答案】 【解析】解：在和中，
，
≌，
，
即是的平分线，
故选：．
证明≌，得，即可得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
、分别在、的中垂线上，
，，
，，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：延长交于点，

平分，
，
，
，
，
≌，
，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积为，
的面积的面积的面积
的面积

，
故选：．
延长交于点，根据角平分线的定义可得，根据垂直定义可得，然后利用可证≌，从而可得，进而可得的面积的面积，的面积的面积，最后根据的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，于点，于点，

，，
三线合一，
同理，，
，
即，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
最小值为．
故选：．
根据题意，过点作于点，于点，于点，利用三线合一求出，，，得出四边形为矩形即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，解题关键是理解并灵活运用垂线段最短的定理．
 9.【答案】 【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
在中，利用勾股定理可求出的长度．
此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的形式是关键．
 10.【答案】 【解析】解：在中，，，，则．
所以是直角三角形，且是斜边．
因为是边的中点，
．
故答案为：．
利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
 11.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
．
故答案为：．
先根据等边对等角得出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于是解决问题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：等腰三角形的腰长为，周长为，
该等腰三角形的底边长为：，
故答案为：．
根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，，垂足分别为、，，
平分，，
，
．
故答案为．
利用角平分线的性质的逆定理得到平分，再利用互余关系计算出，然后计算即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
 14.【答案】 【解析】解：是的高，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设，，
由题意得：，，
，
，
，
的面积．
图中的面积为．
故答案为：．
设，，由题意得：，，再根据完全平方公式的变式，即可求出的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 16.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转到的位置，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：，，
是等边三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线，
、两点关于对称．
作于，交于，连接，此时，最小，
．
故答案为：．
首先证明是等边三角形，由是的平分线，得出是的垂直平分线，作于，交于，连接，此时最小，根据等腰三角形三线合一的性质得出．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，根据条件得出、两点关于对称，进而根据垂线段最短确定、两点的位置是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：如图：连接，，设与交于点，

由题意得：
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：如图，即为所求；

，
故答案为：．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用割补法求三角形的面积．
 20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】首先根据得出，结合已知条件利用判定和全等，从而得出答案．
本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；

≌，
，，
和都在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
即． 【解析】根据推出≌，再根据全等三角形的性质得出即可；
根据线段垂直平分线的性质得出和都在线段的垂直平分线上，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，两点确定一条直线等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 22.【答案】解：，，
，
故答案为：．
证明：，，．
，
，
是等边三角形． 【解析】因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为．
，，，三个角是的三角形是等边三角形．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是的三角形，是等边三角形．
 23.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角，
；
解：


． 【解析】连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 24.【答案】证明：，，
，
，
是直角三角形，
是的中点，
是中线，
；
，，
，
，
，
． 【解析】根据三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
根据等腰三角形的性质以及三角形三线合一定理即可求解．
本题考查了三角形三角形三线合一定理，以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形三线合一定理是解题的关键．
 25.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
平分；

解：≌，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 【解析】根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，再得出答案即可；
根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键．
 26.【答案】  【解析】解：在中，，，，
，
设边上的高为，则，
，
，
答：斜边上的高为；
当点在上时，点运动的长度为，
则；
 当点在的角平分线上时，过点作，如图：

平分，，，
，
由知，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
故答案为：；．
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段上，
当点在线段上时，若，

则点运动的长度为，
，
，
；
若，如图，过点作于点，则，

在中，，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
点运动的长度为：，
，
；
若，如图所示，过点作于点，

则，，
，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
点运动的长度为，
，
，
．
综上，的值为或或．
由勾股定理可求得的值，再设斜边上的高为，由面积法可求得答案；
分两种情况计算即可：当点在上时，当点在的角平分线上时；
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，当点在线段上时，分三种情况：；；，分别求得点运动的路程，再除以速度即可得出答案．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确进行分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．