2022-2023学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    一元二次方程，配方后变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列一元二次方程中，无实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    方程的解是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.    如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.    若扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在中，，，点是边上一个动点，以点为圆心为半径作，直线与切于点，若点关于的对称点恰好落在边上，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.    方程的实数解是______ ．
10. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．
11. 关于的方程的两根为，，则的值为______．
12. 已知，，当 ______ 时，．
13. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______．
14. 如图，是的直径，点、在上，若，则 ______

15. 如图，四边形内接于，，，则______

16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作与轴相切，点是轴正半轴上一点，，则______．

17. 如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，若，，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

18. 如图，是的内接三角形，，，，垂足为，连接，则的最大值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程．
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有实数根．
    求的取值范围；
    若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
21. 本小题分
    如图，用长的铝合金条制成“日“字形窗框，请问宽和高各是多少时，窗户的透光面积为铝合金条的宽度不计？

22. 本小题分
    某服装店以每件元的价格购进一批恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往的销传经验，销售单价每提高元，月销售量就会减少件，若服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润元，且销售单价不超过元，求恤的销售单价应提高多少元？
23. 本小题分
    已知为的直径，，为上一点，连接，．
    Ⅰ如图，若为的中点，求的大小和的长；
    Ⅱ如图，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长．
     
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴、轴于点、，点、分别是射线、射线上的动点，且连接，以为直径作，设．
    若，则点的坐标是______；
    若点在线段上且的面积是，求的值；
    若直线与相切，求的值．
     
25. 本小题分
    【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，是线段上一点．对于平面内一点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，我们称点是点的“平移点”，点为点的“移对点”．
    【解答问题】在平面直角坐标系中，已知的半径为．
    若点，点是的中点，点，则点的“平移点”的坐标是______，点的“移对点”的坐标是______；
    如图，点，点是的中点，点在图中用直尺与圆规作出点的“移对点”点，并求点的坐标不写作法，保留作图痕迹；
    若点是上一点，是线段上一点，且，是外一点，点为点的“移对点”，连接当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得．
故选：．
根据关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程配方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，即该方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；
在中，，即该方程有两个不相等的实数根，故选项B不符合题意；
在中，，即该方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
在中，，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：．
计算出各个选项中的的值，然后根据有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根判断即可．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
或，
，，
故选：．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一个扇形的半径长为，且圆心角为，
此扇形的弧长为．
故选：．
根据弧长的公式列式计算即可．
本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、、，
与相切于点，
，
，
点与点关于对称，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接、、，由与相切于点，得，由点与点关于对称，得垂直平分，则，，所以，，即可证明，由，，得，，所以，由勾股定理得，则，而，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
解得：．
故答案为．
关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系可知：
故答案为：；
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

12.【答案】或 

【解析】解：由题意，得：；


解得：，；
即当或时，．
根据题意，列出方程，化为一般式后，用因式分解法求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
 

13.【答案】或 

【解析】解：，
或．
当长是的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
当长是的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是．
故答案为：或．
先解出方程的两个根为和，再分长是的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故答案为．
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
首先利用等腰三角形的性质和底角的度数求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求得答案即可．
本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点分别作轴于点、轴于点，

轴，轴，
四边形为矩形．
，．
与轴相切，
为的半径．
点坐标为，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
故答案为：．
过点分别作轴、轴，求出，，利用勾股定理求出的长度，进而可求得答案．
本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：
由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过作直径，连接，过作于点，连接，
此时即为的最大值，
则，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即的最大值是，
故答案为：．
过作直径，连接，过作于点，此时即为的最大值，由圆周角定理得，，再证，然后由垂径定理得，进而由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
，
；
，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可；
整理后，利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
 

20.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．
 

21.【答案】解：设宽为，则高为，由题意得：
，
解得：，
高是．
答：宽为，高为． 

【解析】首先设宽为，则高为，根据矩形的面积公式：长宽面积可得方程，再解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，设出宽，表示出高，然后根据面积是列方程求解．
 

22.【答案】解：设恤的销售单价为元，则每件的销售利润为元，一个月内能售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又销售单价不超过元，
符合题意．
元．
答：恤的销售单价应提高元． 

【解析】设恤的销售单价为元，则每件的销售利润为元，一个月内能售出件，利用服装店一个月销售该种恤获得的利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合“销售单价不超过元”即可得出恤的销售单价应定为元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：Ⅰ为的直径，
，
为的中点，
，
，
；
Ⅱ是的切线，
，
，，
四边形为矩形，
，
在中，，，，
则，
，
，
． 

【解析】Ⅰ根据圆周角定理得到，，进而求出，根据余弦的定义求出；
Ⅱ根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可．
本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：令，则，
，
令，则，
，
当时，，
，
，
，
设，
，
解得或，
点在射线上，
，
，
故答案为：；
设，
的面积是，
，
，
，
，
联立可得或；
过点作轴交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，，
，
，
，
直线与相切，
，
，
，
联立可得或．
求出，设，由题意可得，求出的值，再由的取值范围确定点坐标即可；
设，根据题意求出，则有，再由，得到，联立可得或；
过点作轴交于点，可得是等腰直角三角形，设，根据，得到，再由直线与相切，，可得，联立即可求或．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆与直线相切的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：由题意知，，
，
点为的中点，
，
，即点为的中点，
．
故答案为：；；
根据平移得出点，

作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，点即为所求．
如图，连接，并延长至，使，延长到，使，

由题意知，，，，
，
，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
长的最大值与最小值的差为．
根据“平移点”和“移对点”的定义，结合中点坐标公式可得出结论；
根据题意，作出图形即可；
连接，并延长至，使，延长到，使，由题意知，，，，利用三角形中位线定理得的长，从而求出的长，在中，，则的最小值为，的最大值为，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出的长是解题的关键．