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山东省济宁市附中集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
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这是一份山东省济宁市附中集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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2022-2023第一学期期中考试
初二数学试题
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
22
23
24
得分
选择题答题栏
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内 ）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互补
B. 三角形内角和等于180°
C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
3.下列图形中，最具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
4.下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
5.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5 B.，， C.5，12，13 D.2，5，6
6.如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A. 60° B.45° C. 30° D.90°
7.如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A. ∠A=∠DCE B.AB∥DE C. BC=DE D.AB=CD
第6题 第7题 第8题 第10题
8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，AB=8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大正方形的面积为（ ）
A.36 B.27 C. 18 D.9
9.如图所示，将正方形三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
10.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD=BD,AD、BE相交与点F，下列结论：①BF=AC；②S△ABF：S△AFC=BD:CD；③∠FAE=∠FCE;④∠DCF=45°.正确的有（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案写在题目中的横线上）
11.等腰三角形两边长分别为7cm，15cm，其周长为 cm.
12.如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，且AB=8，BC=6，
∠ABC=90°，则△BEC的周长是 .
13.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
则∠CDE的度数为 °.
14.如图，长方体的长，宽，高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的
最短路线长为d，则d2的值是 .
15.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则OF= .
第12题 第13题 第14题 第15题
三、解答题 (本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)
16.（5 分）如图，某地有两个城镇和两条相交叉的公路。(点M, N 表示城镇,AO,
BO 表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个城镇的距离相等，到两条
公路的距离也相等.请在∠AOB 内部用尺规作图作出仓库的位置.（不写作法，保留
作图痕迹）
17. (7 分）如图,点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC,CF 平分∠DCE.
求证：（1）△ACD≌△BEC；（2)CF⊥DE.
18.（5 分）在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3.
AD⊥CD，求这个四边形 ABCD 的面积,
19.（11 分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B.
C 在小正方形的项点上.
(1） 在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A’B'C’；
(2） 在直线1上找一点 P,使 PB+PC的长最短.这个最短长度的平方值是 .
(3) 以AC为边作与△ABC全等的三角形，可作出 个三角形与△ABC全等.
(4) 在直线1上是否存在点Q，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形，若存在，
直接写出△QBC的面积 .
20. （7 分）如图,树AB与树CD之间相距13m，已知大树AB的高为5m，CD高为8m.小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，若此时EA=ED,小华行走的速度为1m/s.
（1）求小华行走到点E的时间.
(2)连接AD,直接写出△ADE的形状 .
21.（9 分）如图 1，在四边形ABCD中，DC//AB，AD=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：AD=DC;
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C
作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.判断△DEF的形状并证明你的结论.
22.（11 分)【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC, AD⊥BC于D.
猜想∠B、∠C、∠EAD 的数量关系。
【问题探究】
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入∠B、∠C的
值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度
10
20
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a= ，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为 .
【变式应用】
(2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB 上”改为“点F是EA延长线上一点”,其余条件不变,当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为 °.
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x， ∠C=y，其余条件不变，从别作出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P= .
参考答案与解析
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内 ）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
【考点】轴对称图形．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【答案】C
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互补
B. 三角形内角和等于180°
C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【答案】D
【点评】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．
3.下列图形中，最具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【答案】A
【点评】此题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解决此题的关键．
4.下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，那么线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【答案】B
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
5.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5 B.，， C.5，12，13 D.2，5，6
【考点】勾股数．
【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【答案】C
【点评】此题考查了勾股数，勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
6.如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A. 60° B.45° C. 30° D.90°
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【答案】A
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
7.如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A. ∠A=∠DCE B.AB∥DE C. BC=DE D.AB=CD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠DCE，AC＝CE，∠ACB＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∠B＝∠EDC，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定AAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．BC＝DE，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定SAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
D．AB＝DC，AC＝CE，∠ACB＝∠E，不符合全等三角形的判定，不能推出△ABC≌△CDE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
第6题 第7题 第8题 第10题
8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，AB=8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大正方形的面积为（ ）
A.36 B.27 C. 18 D.9
【考点】勾股定理．
【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，根据勾股定理求出BC2，再利用勾股定理BD2+CD2＝BC2，由正方形的面积公式可得a+3a＝36，即可求解．
【解答】解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键．
9.如图所示，将正方形三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
【考点】进行简单的合情推理．
【答案】A
【分析】直接利用一片纸折叠即可得到结果．
【解答】解：首先找一个正方形纸片，按照题意，根据折叠顺序即可得到结论．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：属于实际操作问题，考查学生的动手能力，属于基础题型．
10.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD=BD,AD、BE相交与点F，下列结论：①BF=AC；②S△ABF：S△AFC=BD:CD；③∠FAE=∠FCE;④∠DCF=45°.正确的有（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证明△BDF≌△ADC（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AC，FD＝CD，故可判断①④正确，由三角形的面积公式可得出②正确，由等腰三角形的性质可判断③错误．则可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
∴∠DAC＝∠FBD，
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，故①正确，
∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，
故②正确；
∵EA≠EC，
∴FA≠FC，
∴∠FAE≠∠FCE，
故③错误，
∵△BDF≌△ADC，
∴FD＝CD，
∴∠DCF＝∠CFD＝45°，
∴故④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案写在题目中的横线上）
11.等腰三角形两边长分别为7cm，15cm，其周长为 cm.
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分为两种情况：①当等腰三角形的三边为7cm，7cm，15m；②当等腰三角形的三边为7cm，15cm，15cm，看看是否符合三角形的三边关系，若符合时，求出三角形的周长即可．
【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为7cm，7cm，15cm时，7+7＜15，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；
②当等腰三角形的三边为7cm，15cm，15cm时，此时符合三角形三边关系，三角形的周长为15+15+7＝37（cm），
故答案为：37．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
12.如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，且AB=8，BC=6，
∠ABC=90°，则△BEC的周长是 .
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】由勾股定理求出AC＝10，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC10，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝6+10＝16，
【点评】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
则∠CDE的度数为 °.
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝60°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝30°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝60°，
∴∠A＝∠CDA＝60°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED （180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
14.如图，长方体的长，宽，高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的
最短路线长为d，则d2的值是 .
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是8和6，
则所走的最短线段是62+82=10；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是11和3，
所以走的最短线段是；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和5，
所以走的最短线段是92+52=106；
三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程d＝10，
∴d2＝100，
故答案为：100．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
15. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则OF= .
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质．
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH＝EC＝2，∠AOB＝30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠BOE，
∴EF＝2EH＝4，∠FEO＝∠FOE，
∴OF＝EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题 (本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)
16.（5 分）如图，某地有两个城镇和两条相交叉的公路。(点M, N 表示城镇,AO,
BO 表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个城镇的距离相等，到两条
公路的距离也相等.请在∠AOB 内部用尺规作图作出仓库的位置.（不写作法，保留
作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线的交点即所求仓库的位置．
【解答】解：如图所示：点P，P′即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，用到的知识点为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
18. (7 分）如图,点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC,CF 平分∠DCE.
求证：（1）△ACD≌△BEC；（2)CF⊥DE.
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的性质．
【分析】（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中
AD=BC∠A=∠BAC=BE
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
18.（5 分）在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3.
AD⊥CD，求这个四边形 ABCD 的面积,
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理逆定理得出△BAC是直角三角形，结合四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC求出即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，CD＝4，AD＝3，
∴AC＝5，
∵AB＝12，BC＝13，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△BAC是直角三角形，
∴S△BAC AC×AB 12×5＝30，
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC＝30 3×4＝24．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出△BAC是直角三角形是解题关键．
19.（11 分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B.
C 在小正方形的项点上.
(3） 在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A’B'C’；
(4） 在直线1上找一点 P,使 PB+PC的长最短.这个最短长度的平方值是 .
(5) 以AC为边作与△ABC全等的三角形，可作出 个三角形与△ABC全等.
(6) 在直线1上是否存在点Q，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形，若存在，
直接写出△QBC的面积 .
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定；勾股定理．
【分析】根据对应点作出对应图形；将军饮马模型，作出对称点，并连接两边的点即可；根据全等三角形SSS完成本题即可；根据等腰三角形腰相等解决
【解答】解:( 1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)如图所示，PB+PC的最短长度的平方值：=2²+3²=13,
故答案为:13;
（3）3
（4）
如图所示，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形的点Q有2个，
2×2 ；
2×3 ；
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，勾股定理以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21. （7 分）如图,树AB与树CD之间相距13m，已知大树AB的高为5m，CD高为8m.小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，若此时EA=ED,小华行走的速度为1m/s.
（1）求小华行走到点E的时间.
(2)连接AD,直接写出△ADE的形状 .
【考点】勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定
【分析】结合勾股定理以及方程思想，去设置BE=x m，表达出三角形的三边长，放在勾股定理里面，即可解决本题
【解答】(1)设小华行走到点E的时间为xs,则BE=xm,CE=(13-x)m,
∵∠B=∠C=90°,
∴AE²=AB²+BE², DE²=CE²+CD².
∵AE=DE,
∴5²+x²=8²+(13-x)²
解得x=8.
即小华行走到点E的时间为8s.
(2) 等腰直角三角形.
【点评】本题主要考查了利用勾股定理进行解决问题，设未知数用方程来解。
21.（9 分）如图 1，在四边形ABCD中，DC//AB，AD=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：AD=DC;
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C
作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.判断△DEF的形状并证明你的结论.
【考点】等边三角形的判定；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB＝∠CBD进而得出AD＝DC，
（2）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，得出EF＝DF＝BF是解题关键．
22.（11 分)【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC, AD⊥BC于D.
猜想∠B、∠C、∠EAD 的数量关系。
【问题探究】
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入∠B、∠C的
值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度
10
20
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a= ，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为 .
【变式应用】
(2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB 上”改为“点F是EA延长线上一点”,其余条件不变,当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为 °.
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x， ∠C=y，其余条件不变，从别作出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P= .
【考点】三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线
【分析】求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAD﹣BAE即可得出答案，
【解答】
∠EAD=2∠C?∠B( 1 )
(2)如图,过点A作AG⊥BC于G,
∵FD⊥BC,AG ⊥BC,
∴FD∥AG,
∴∠EFD=∠EAG,
∠EAG=2∠C?∠B由(1)可知,
∠DFE=2∠C?∠B
【点评】本题主要是考查三角形的内角和的知识点，解题的关键在于各个角之间的转化，同时注意计算不能出错．
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2022-2023第一学期期中考试
初二数学试题
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
22
23
24
得分
选择题答题栏
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内 ）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互补
B. 三角形内角和等于180°
C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
3.下列图形中，最具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
4.下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
5.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5 B.，， C.5，12，13 D.2，5，6
6.如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A. 60° B.45° C. 30° D.90°
7.如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A. ∠A=∠DCE B.AB∥DE C. BC=DE D.AB=CD
第6题 第7题 第8题 第10题
8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，AB=8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大正方形的面积为（ ）
A.36 B.27 C. 18 D.9
9.如图所示，将正方形三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
10.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD=BD,AD、BE相交与点F，下列结论：①BF=AC；②S△ABF：S△AFC=BD:CD；③∠FAE=∠FCE;④∠DCF=45°.正确的有（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案写在题目中的横线上）
11.等腰三角形两边长分别为7cm，15cm，其周长为 cm.
12.如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，且AB=8，BC=6，
∠ABC=90°，则△BEC的周长是 .
13.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
则∠CDE的度数为 °.
14.如图，长方体的长，宽，高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的
最短路线长为d，则d2的值是 .
15.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则OF= .
第12题 第13题 第14题 第15题
三、解答题 (本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)
16.（5 分）如图，某地有两个城镇和两条相交叉的公路。(点M, N 表示城镇,AO,
BO 表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个城镇的距离相等，到两条
公路的距离也相等.请在∠AOB 内部用尺规作图作出仓库的位置.（不写作法，保留
作图痕迹）
17. (7 分）如图,点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC,CF 平分∠DCE.
求证：（1）△ACD≌△BEC；（2)CF⊥DE.
18.（5 分）在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3.
AD⊥CD，求这个四边形 ABCD 的面积,
19.（11 分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B.
C 在小正方形的项点上.
(1） 在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A’B'C’；
(2） 在直线1上找一点 P,使 PB+PC的长最短.这个最短长度的平方值是 .
(3) 以AC为边作与△ABC全等的三角形，可作出 个三角形与△ABC全等.
(4) 在直线1上是否存在点Q，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形，若存在，
直接写出△QBC的面积 .
20. （7 分）如图,树AB与树CD之间相距13m，已知大树AB的高为5m，CD高为8m.小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，若此时EA=ED,小华行走的速度为1m/s.
（1）求小华行走到点E的时间.
(2)连接AD,直接写出△ADE的形状 .
21.（9 分）如图 1，在四边形ABCD中，DC//AB，AD=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：AD=DC;
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C
作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.判断△DEF的形状并证明你的结论.
22.（11 分)【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC, AD⊥BC于D.
猜想∠B、∠C、∠EAD 的数量关系。
【问题探究】
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入∠B、∠C的
值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度
10
20
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a= ，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为 .
【变式应用】
(2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB 上”改为“点F是EA延长线上一点”,其余条件不变,当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为 °.
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x， ∠C=y，其余条件不变，从别作出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P= .
参考答案与解析
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内 ）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
【考点】轴对称图形．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【答案】C
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互补
B. 三角形内角和等于180°
C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【答案】D
【点评】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．
3.下列图形中，最具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【答案】A
【点评】此题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解决此题的关键．
4.下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，那么线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【答案】B
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
5.下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5 B.，， C.5，12，13 D.2，5，6
【考点】勾股数．
【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【答案】C
【点评】此题考查了勾股数，勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
6.如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A. 60° B.45° C. 30° D.90°
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
【答案】A
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB．
7.如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（ ）
A. ∠A=∠DCE B.AB∥DE C. BC=DE D.AB=CD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠A＝∠DCE，AC＝CE，∠ACB＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∠B＝∠EDC，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定AAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．BC＝DE，∠ACB＝∠E，AC＝CE，符合全等三角形的判定SAS，能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
D．AB＝DC，AC＝CE，∠ACB＝∠E，不符合全等三角形的判定，不能推出△ABC≌△CDE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
第6题 第7题 第8题 第10题
8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，AB=8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大正方形的面积为（ ）
A.36 B.27 C. 18 D.9
【考点】勾股定理．
【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a，根据勾股定理求出BC2，再利用勾股定理BD2+CD2＝BC2，由正方形的面积公式可得a+3a＝36，即可求解．
【解答】解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键．
9.如图所示，将正方形三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
【考点】进行简单的合情推理．
【答案】A
【分析】直接利用一片纸折叠即可得到结果．
【解答】解：首先找一个正方形纸片，按照题意，根据折叠顺序即可得到结论．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：属于实际操作问题，考查学生的动手能力，属于基础题型．
10.如图，在△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD=BD,AD、BE相交与点F，下列结论：①BF=AC；②S△ABF：S△AFC=BD:CD；③∠FAE=∠FCE;④∠DCF=45°.正确的有（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证明△BDF≌△ADC（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AC，FD＝CD，故可判断①④正确，由三角形的面积公式可得出②正确，由等腰三角形的性质可判断③错误．则可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
∴∠DAC＝∠FBD，
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，故①正确，
∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，
故②正确；
∵EA≠EC，
∴FA≠FC，
∴∠FAE≠∠FCE，
故③错误，
∵△BDF≌△ADC，
∴FD＝CD，
∴∠DCF＝∠CFD＝45°，
∴故④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案写在题目中的横线上）
11.等腰三角形两边长分别为7cm，15cm，其周长为 cm.
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分为两种情况：①当等腰三角形的三边为7cm，7cm，15m；②当等腰三角形的三边为7cm，15cm，15cm，看看是否符合三角形的三边关系，若符合时，求出三角形的周长即可．
【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为7cm，7cm，15cm时，7+7＜15，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；
②当等腰三角形的三边为7cm，15cm，15cm时，此时符合三角形三边关系，三角形的周长为15+15+7＝37（cm），
故答案为：37．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
12.如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，且AB=8，BC=6，
∠ABC=90°，则△BEC的周长是 .
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】由勾股定理求出AC＝10，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AC10，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝6+10＝16，
【点评】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
则∠CDE的度数为 °.
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝60°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝30°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝60°，
∴∠A＝∠CDA＝60°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，
∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，
∴∠BDE＝∠BED （180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
14.如图，长方体的长，宽，高分别是6，3，5，现一只蚂蚁从A点爬行到B点，设爬行的
最短路线长为d，则d2的值是 .
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是8和6，
则所走的最短线段是62+82=10；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是11和3，
所以走的最短线段是；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和5，
所以走的最短线段是92+52=106；
三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程d＝10，
∴d2＝100，
故答案为：100．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
15. 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则OF= .
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质．
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH＝EC＝2，∠AOB＝30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠BOE，
∴EF＝2EH＝4，∠FEO＝∠FOE，
∴OF＝EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题 (本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤)
16.（5 分）如图，某地有两个城镇和两条相交叉的公路。(点M, N 表示城镇,AO,
BO 表示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个城镇的距离相等，到两条
公路的距离也相等.请在∠AOB 内部用尺规作图作出仓库的位置.（不写作法，保留
作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线的交点即所求仓库的位置．
【解答】解：如图所示：点P，P′即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，用到的知识点为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
18. (7 分）如图,点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC,CF 平分∠DCE.
求证：（1）△ACD≌△BEC；（2)CF⊥DE.
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的性质．
【分析】（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中
AD=BC∠A=∠BAC=BE
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
18.（5 分）在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3.
AD⊥CD，求这个四边形 ABCD 的面积,
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理逆定理得出△BAC是直角三角形，结合四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC求出即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，CD＝4，AD＝3，
∴AC＝5，
∵AB＝12，BC＝13，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△BAC是直角三角形，
∴S△BAC AC×AB 12×5＝30，
∴四边形ABCD的面积为：S△ABC﹣S△DAC＝30 3×4＝24．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出△BAC是直角三角形是解题关键．
19.（11 分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B.
C 在小正方形的项点上.
(3） 在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A’B'C’；
(4） 在直线1上找一点 P,使 PB+PC的长最短.这个最短长度的平方值是 .
(5) 以AC为边作与△ABC全等的三角形，可作出 个三角形与△ABC全等.
(6) 在直线1上是否存在点Q，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形，若存在，
直接写出△QBC的面积 .
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定；勾股定理．
【分析】根据对应点作出对应图形；将军饮马模型，作出对称点，并连接两边的点即可；根据全等三角形SSS完成本题即可；根据等腰三角形腰相等解决
【解答】解:( 1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)如图所示，PB+PC的最短长度的平方值：=2²+3²=13,
故答案为:13;
（3）3
（4）
如图所示，使△QBC是以QB为底边的等腰三角形的点Q有2个，
2×2 ；
2×3 ；
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，勾股定理以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21. （7 分）如图,树AB与树CD之间相距13m，已知大树AB的高为5m，CD高为8m.小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，若此时EA=ED,小华行走的速度为1m/s.
（1）求小华行走到点E的时间.
(2)连接AD,直接写出△ADE的形状 .
【考点】勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定
【分析】结合勾股定理以及方程思想，去设置BE=x m，表达出三角形的三边长，放在勾股定理里面，即可解决本题
【解答】(1)设小华行走到点E的时间为xs,则BE=xm,CE=(13-x)m,
∵∠B=∠C=90°,
∴AE²=AB²+BE², DE²=CE²+CD².
∵AE=DE,
∴5²+x²=8²+(13-x)²
解得x=8.
即小华行走到点E的时间为8s.
(2) 等腰直角三角形.
【点评】本题主要考查了利用勾股定理进行解决问题，设未知数用方程来解。
21.（9 分）如图 1，在四边形ABCD中，DC//AB，AD=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：AD=DC;
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C
作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.判断△DEF的形状并证明你的结论.
【考点】等边三角形的判定；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB＝∠CBD进而得出AD＝DC，
（2）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，得出EF＝DF＝BF是解题关键．
22.（11 分)【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1，在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC, AD⊥BC于D.
猜想∠B、∠C、∠EAD 的数量关系。
【问题探究】
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入∠B、∠C的
值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度
10
20
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
上表中a= ，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为 .
【变式应用】
(2）小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 AB 上”改为“点F是EA延长线上一点”,其余条件不变,当∠ABC=88°，∠C=24°时，∠F度数为 °.
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在AE 的延长线上，FD⊥BC于D，∠B=x， ∠C=y，其余条件不变，从别作出∠CAE 和∠EDF的角平分线，交于点P，试用 x、y表示∠P= .
【考点】三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线
【分析】求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAD﹣BAE即可得出答案，
【解答】
∠EAD=2∠C?∠B( 1 )
(2)如图,过点A作AG⊥BC于G,
∵FD⊥BC,AG ⊥BC,
∴FD∥AG,
∴∠EFD=∠EAG,
∠EAG=2∠C?∠B由(1)可知,
∠DFE=2∠C?∠B
【点评】本题主要是考查三角形的内角和的知识点，解题的关键在于各个角之间的转化，同时注意计算不能出错．
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