山西省临汾市襄汾县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份山西省临汾市襄汾县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省临汾市襄汾县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 下列计算正确的是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质化简和立方根的定义即可得到答案．【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；B、，计算错误，不符合题意；C、，计算错误，不符合题意；D、，计算错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和立方根，熟知二次根式的性质和立方根的定义是解题的关键．2. 如图，在中，分别为线段的中点，设的面积为的面积为，则＝（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据分别为线段的中点，得到是的中位线，证得，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵分别为线段的中点，∴是的中位线，∴，，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证得是的中位线是解题的关键．3. 如图，是的高，若，，则边的长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故选D．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．5. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：∵它是一个轴对称图形，∴m，，即，房顶A离地面的高度为，故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．6. 若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9【答案】C【解析】【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x2+6x+c＝0，移项得： 配方得： 而（x+3）2＝2c， 解得： 故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．7. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，将EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（　　　）A. （-2，1） B. （-8，4） C. （-8，4）或（8，-4） D. （-2，1）或（2，-1）【答案】C【解析】【分析】若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是或,从而可得答案．【详解】解：∵点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，位似比为1：2将扩大，∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）． 故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是或．8. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据矩形性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．9. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，∴解得：故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为10 cm，那么的长度为（    ）A. cm B. cm C. cm D. cm．【答案】A【解析】【分析】根据黄金分割的定义知道，设米，则米 ，代入计算得到两个值，根据题意，由此判断得到正确答案．详解】解：设米，则米∵点P为线段AB黄金分割点∴即：化简得：解得：∵PB＜AB∴即的长度为米故选：A【点睛】本题考查黄金分割的定义，根据定义列出关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算的结果等于___________．【答案】18【解析】【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．12. 已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比 _____．【答案】##【解析】【分析】根据位似图形的性质可得，然后再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：与是位似图形，位似比是，，且相似比为，与的面积比为：；故答案为：．【点睛】此题考查位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质与相似三角形的性质是解答此题的关键．13. 已知，则的值为 _____．【答案】##【解析】【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．【详解】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．14. 已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+3＝0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2＝4，则k的值为_____．【答案】7【解析】【分析】根据两根关系列出等式，再代入第二个代数式计算即可．【详解】∵x1、x2是方程x2﹣kx+3＝0的两个根，∴x1+x2＝k，x1x2＝3．∵x1+x2﹣x1x2＝k﹣3＝4，∴k＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程的两根关系，关键在于熟练掌握基础知识代入计算．15. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值．【详解】解：由已知可得，大正方形的面积为，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则，解得或（不合题意，舍去），
∴，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算：（1）（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂性质，算术平方根性质，正切函数，绝对值性质计算即可；（2）利用完全平方公式，平方差公式以及绝对值性质计算即可．【小问1详解】【小问2详解】【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数运算的性质和二次根式运算的法则是解题的关键．17. 用适当的方法解一元二次方程．（1）；（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法解方程即可；（2）方程化为一元二次方程的一般形式，利用求根公式即可求解．【小问1详解】解：方程整理为：，因式分解，得，∴或，解得【小问2详解】解：原方程化为一般式为，这里，，∴，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据所给方程的特点选择适当的解法是解题的关键．18. 如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，（1）画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；（2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；（3）直接写出的面积，及，的坐标．【答案】（1）画图见解析    （2）画图见解析    （3）9，【解析】【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出的坐标，然后描点即可；（2）延长BA到使，延长BC到使，从而得到；（3）利用三角形面积公式的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出 的坐标．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；【小问3详解】解：由题意得：，【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．19. 用一条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．（1）若矩形的面积为平方厘米，求x的值；（2）矩形的面积是否可以为平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．【答案】（1）厘米或    厘米    （2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，利用矩形的面积等于长乘以宽列出方程即可求解；（2）矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，利用矩形的面积等于长乘以宽列出方程，利用判别式即可求解；【小问1详解】解：矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，依题意得，，解得，∴的值为厘米或厘米；【小问2详解】解：矩形的面积不能为103平方厘米．理由为：矩形的一边长为x厘米，则相邻的另一边长为厘米，依题意得，，整理得，∵，∴原方程无解，解得，∴的值为厘米或厘米；∴矩形的面积不能为103平方厘米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．20. 如图，中，，交于F．（1）求与周长之比；（2）如果的面积为25，求四边形的面积．【答案】（1）；    （2）．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，先证明，再利用相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出答案；（2）先根据三角形相似求出，然后利用“同高的两个三角形面积之比等于底边长之比”求出的面积，后求出的面积，进而求出四边形的面积．小问1详解】解：在中，，，与周长之比等于相似比，，，，与周长之比等于；【小问2详解】解：，，的面积为25，；，．故四边形的面积为．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．21. 周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：）【答案】这栋楼的高度为：米【解析】【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根据正切的概念分别求出BE、EC，计算即可．【详解】解：过A作于E，∴ 由依题意得：，和中，∵，∴，∴∴这栋楼的高度为：米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．22. 定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．（1）【概念感知】的“友好”方程是____________；
 （2）【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
 （3）【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．【答案】（1）
    （2）是，证明见解析    （3）
 【解析】【分析】（1）根据“友好”方程的定义求解即可；（2）将代入得，将代入中，判断的值是否为0，若是，则是的一个解，否则就不是；（3）由题意知， 既是的解，又是的解，有，，可得，进行求解即可．【小问1详解】解：由题意知的“友好”方程为故答案为：．【小问2详解】解：是．证明：由题意知“友好”方程为∵是的一个解∴将代入得∵∴∴是的一个解．【小问3详解】解：由题意知， 既是的解，又是的解∴，即解得∴a，c之向的数量关系为．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．23. （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．【答案】（1）证明见详解    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．【小问2详解】解：由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【小问3详解】解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．