2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程

这是一份2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程，共15页。试卷主要包含了2＝q的形式，则q＝　 　等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•昆明期末）已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．（2021春•济宁期末）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（　　）
A．2021 B．2019 C．2017 D．2015
3．（2020秋•铁西区期末）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
4．（2021春•衢州期末）某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　）
A．20（1﹣x）2＝9.8 B．20（1+x）2＝9.8
C．20（1﹣2x）＝9.8 D．20（1+2x）＝9.8
5．（2021春•招远市期末）一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•宜宾期末）若将x2+6x＝﹣1改写成（x+p）2＝q的形式，则q＝　 　．
7．（2021春•衢州期末）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　 　．
8．（2021春•昆明期末）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，则2x22﹣4x2+x1x2的值为 　 　．
9．（2021春•宁乡市期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
10．（2021春•青秀区校级期末）随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速．完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的14.4万件．假定每月增长率相同，且设每月增长率为x．则可列方程为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•济宁期末）解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0；
（2）x2+7x＝24+2x．
12．（2021春•青秀区校级期末）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
13．（2021春•招远市期末）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300元，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
14．（2021春•射阳县校级期末）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
15．（2021春•广饶县期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？

2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•昆明期末）已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2021春•济宁期末）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（　　）
A．2021 B．2019 C．2017 D．2015
【考点】根与系数的关系．
【专题】整体思想；一元二次方程及应用；数据分析观念．
【分析】利用根与系数的关系，得到m+n和mn的值，直接代入计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，
∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积是解决本题的关键．
3．（2020秋•铁西区期末）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2021春•衢州期末）某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　）
A．20（1﹣x）2＝9.8 B．20（1+x）2＝9.8
C．20（1﹣2x）＝9.8 D．20（1+2x）＝9.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝9.8．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021春•招远市期末）一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】先化为一般形式，判断一元二次方程的根的情况，只要看方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
y2+2y﹣2＝3y，
y2﹣y﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，总结一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•宜宾期末）若将x2+6x＝﹣1改写成（x+p）2＝q的形式，则q＝　8　．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】方程两边加上9变形后，确定出所求即可．
【解答】解：方程x2+6x＝﹣1，
配方得：x2+6x+9＝8，即（x+3）2＝8，
则q＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2021春•衢州期末）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案是：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
8．（2021春•昆明期末）一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，则2x22﹣4x2+x1x2的值为 　﹣　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x22﹣4x2＝﹣1，再利用根与系数的关系得到x1x2＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2为方程2x2﹣4x+1＝0的根，
∴2x22﹣4x2+1＝0，
∴2x22﹣4x2＝﹣1，
∵一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1x2＝，
∴原式＝﹣1+＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
9．（2021春•宁乡市期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤4且k≠2　．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．
10．（2021春•青秀区校级期末）随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速．完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的14.4万件．假定每月增长率相同，且设每月增长率为x．则可列方程为 　10（1+x）2＝14.4　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每月增长率为x，根据该快递公司六月份及八月份完成快递件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每月增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝14.4，
故答案为：10（1+x）2＝14.4．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•济宁期末）解方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0；
（2）x2+7x＝24+2x．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣3＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝6+12＝18，
∴x＝，
＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）x2+7x＝24+2x，
x2+5x﹣24＝0，
（x﹣3）（x+8）＝0，
（x﹣3）＝0或（x+8）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，解决本题的关键是掌握公式法，因式分解法解一元二次方程．
12．（2021春•青秀区校级期末）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染．
（1）每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据“如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每轮感染中平均一个人感染的人数；
（2）利用经过三轮感染后被感染的人数＝经过两轮感染后被感染的人数×（1+每轮感染中平均一个人感染的人数），即可求出经过三轮感染后被感染的人数，再将其与1300比较后可得出：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121，
整理得：（x+1）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染10个人．
（2）121×（1+10）＝1331（人），
∵1331＞1300，
∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过1300人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021春•招远市期末）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300元，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
【考点】列代数式；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）利用每天的销售量＝100+降低的价格÷0.1×20，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售“官地洼”甜瓜的利润＝每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出280斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数．
【解答】解：（1）100+×20＝100+200x（斤）．
答：每天的销售量是（100+200x）斤．
（2）依题意得：（5﹣3﹣x）（100+200x）＝300，
整理得：2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
当x＝时，100+200x＝100+200×＝200＜280，不合题意，舍去；
当x＝1时，100+200x＝100+200×1＝300＞280，符合题意．
∴x＝1．
答：水果店需将每斤的售价降低1元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
14．（2021春•射阳县校级期末）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
【考点】根的判别式；一元二次方程的应用．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为（400﹣20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售价；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程没有实数根，即小红的说法正确．
【解答】解：（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为200﹣10×＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，才能使每天利润为640元．
（2）同意，理由如下：
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝800，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
∴小红的说法正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
15．（2021春•广饶县期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案