2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程

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2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•泰山区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a﹣3b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
2．（2021春•张店区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0
B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5
D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
3．（2021春•招远市期末）一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2021春•招远市期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣3a+3b的值等于（　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
5．（2021春•衢州期末）某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　）
A．20（1﹣x）2＝9.8 B．20（1+x）2＝9.8
C．20（1﹣2x）＝9.8 D．20（1+2x）＝9.8
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•衢州期末）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　 　．
7．（2021春•青秀区校级期末）随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速．完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的14.4万件．假定每月增长率相同，且设每月增长率为x．则可列方程为 　 　．
8．（2021春•夏津县期末）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则每个横彩条的宽度是 　 　cm．

9．（2021春•沙坪坝区校级期末）若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m•n的值为 　 　．
10．（2021春•临邑县期末）菱形ABCD的两条对角线长为方程y2﹣12y+32＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•渝中区校级期末）解一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
12．（2021春•广饶县期末）已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
13．（2021春•射阳县校级期末）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
14．（2021春•广饶县期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
15．（2021春•朝阳区校级期末）红旗村的李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值；
（3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由．


2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•泰山区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a﹣3b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝1，再整体代入计算可得．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021+3（a﹣b）
＝2021+3×1
＝2021+3
＝2024，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
2．（2021春•张店区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0
B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5
D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；符号意识．
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【解答】解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；
B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3．（2021春•招远市期末）一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】先化为一般形式，判断一元二次方程的根的情况，只要看方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：y2+2（y﹣1）＝3y，
y2+2y﹣2＝3y，
y2﹣y﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，总结一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
4．（2021春•招远市期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣3a+3b的值等于（　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝﹣1，再整体代入计算可得．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b+1＝0，
则a﹣b＝﹣1，
所以原式＝2021﹣3（a﹣b）
＝2021﹣3×（﹣1）
＝2021+3
＝2024，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
5．（2021春•衢州期末）某校为落实“光盘行动”，对每天的剩饭菜进行称重，第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，设每周剩余量的平均减少率为x，则可列方程（　　）
A．20（1﹣x）2＝9.8 B．20（1+x）2＝9.8
C．20（1﹣2x）＝9.8 D．20（1+2x）＝9.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据第一周的剩余量为20kg，第三周为9.8kg，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝9.8．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•衢州期末）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案是：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
7．（2021春•青秀区校级期末）随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速．完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的14.4万件．假定每月增长率相同，且设每月增长率为x．则可列方程为 　10（1+x）2＝14.4　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每月增长率为x，根据该快递公司六月份及八月份完成快递件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每月增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝14.4，
故答案为：10（1+x）2＝14.4．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021春•夏津县期末）如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则每个横彩条的宽度是 　2　cm．

【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合空白部分所占面积是图案面积的（1﹣），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将符合题意的值代入2x中可求出每个横彩条的宽度．
【解答】解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，
依题意得：（30﹣2×3x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），
整理得：（5﹣x）2＝16，
解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021春•沙坪坝区校级期末）若m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，则m•n的值为 　﹣1　．
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先移项，然后利用配方法将左边进行变形，再由非负数的性质求得m、n的值，代入求值即可．
【解答】解：m2+4n2＝4m﹣4n﹣5，
（m﹣2）2+（2n+1）2＝0，
则m﹣2＝0且2n+1＝0，
解得m＝2．n＝﹣，
所以mn＝2×（﹣）＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
10．（2021春•临邑县期末）菱形ABCD的两条对角线长为方程y2﹣12y+32＝0的两个根，则菱形ABCD的周长为 　8　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先利用因式分解法解方程y2﹣12y+32＝0得y1＝8，y2＝4，即菱形ABCD的对角线长为8和4，根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的边长，然后计算出菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵y2﹣12y+32＝0，
∴（y﹣8）（y﹣4）＝0，
∴y﹣8＝0或y﹣4＝0，
解得y1＝8，y2＝4，
即菱形ABCD的对角线长为8和4，
∴菱形的边长＝＝2，
∴菱形ABCD的周长为4×2＝8．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•渝中区校级期末）解一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（2）先两边开方得到2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），
即2（2y﹣5）＝3（3y﹣1）或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1），
解得y1＝﹣，y2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．
12．（2021春•广饶县期末）已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，求出即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，
解得：a＝2﹣，m＝1，
即m＝1，方程的另一个根为2﹣．
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝4，x1•x2＝1，
∴x12020x22021+x1＝（x1x2）2020x2+x1＝x2+x1＝4．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，反过来也成立．
13．（2021春•射阳县校级期末）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
【考点】根的判别式；一元二次方程的应用．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为（400﹣20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售价；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程没有实数根，即小红的说法正确．
【解答】解：（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为200﹣10×＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，才能使每天利润为640元．
（2）同意，理由如下：
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝800，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
∴小红的说法正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
14．（2021春•广饶县期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
15．（2021春•朝阳区校级期末）红旗村的李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值；
（3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由．

【考点】列代数式；根的判别式；一元二次方程的应用；解一元一次不等式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）由铁丝网的总长是70米，即可得出2x+y＝70，变形后即可得出y＝﹣2x+70，由0＜y≤35，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合（1）可确定x的值，再将其代入y＝﹣2x+70中可求出y值；
（3）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣175＜0，即可得出该方程没有实数根，进而可得出苗圃的面积不能达到700平方米．
【解答】解：（1）依题意得：2x+y＝70，
∴y＝﹣2x+70．
∵0＜y≤35，即，
解得：≤x＜35．
∴y＝﹣2x+70（≤x＜35）．
（2）依题意得：xy＝600，即x（﹣2x+70）＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15（不合题意，舍去），x2＝20，
∴y＝﹣2x+70＝﹣2×20+70＝30．
答：当苗圃的面积是600平方米时，x的值为20，y的值为30．
（3）不能，理由如下：
依题意得：xy＝700，即x（﹣2x+70）＝700，
整理得：x2﹣35x+350＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×350＝﹣175＜0，
∴该方程没有实数根，
∴苗圃的面积不能达到700平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、解一元一次不等式、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出y值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0，方程无实数根”．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
13．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
14．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）