《三角形》单元综合练习—基础巩固训练 2022-2023学年七年级上册数学鲁教版(五四学制）

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第一章 三角形【基础巩固训练】题型发散1.选择题，把正确答案的代号填入题中括号内.(1)下列各条件中，不能作出惟一三角形的是(    )(A)已知两角和夹边(B)已知两边和夹角(C)已知两边和其中一边的对角  (D)已知三边(2)已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为(    )(A)1cm    (B)2cm    (C)3cm    (D)4cm(3)如果角形的一个内角等于其余两个内角的和，那么这个三角形是(A)锐角三角形    (B)直角三角形(C)钝角三角形    (D)锐角三角形或钝角三角形(4)已知线段AB，用规尺作AB的垂直平分线CD，垂足为E，在CD上取—点F，使EF=AB，连结AF，BF，那么∠AFB的度数是(    )(A)   (B)    (C)    (D)(5)在Rt△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，E为AB的中点，AC=3cm，AB=6cm，那么∠DCE的度数是(    )(A)    (B)    (C)   (D)2.填空题.(1)若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应的角平分线分别______________.(2)在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD=______________.(3)在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大，则这个三角形是__________角三角形.(4)在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果AB=10，BC=5，那么CE=___________，∠A=___________，∠B=_______，∠DCE______，DE=___________(5)在△ABC中，若∠A=，∠B<∠C，则三边的大小关系________解法发散1.如图5—61，已知在直角三角形ABC中，∠C=，AD=AC，BE=BC.求∠DCE的度数.(用四种解法) 2.如图5—62，已知D、E在BC上，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C.求证：AD=AE.(用两种方法证明) 3.如图5—63，已知AB=AC，DE=DF，求证：BE=CF.(用两种方法证明)变更命题发散1.在△ABC中，AB>AC，AM是BC边上的中线.求证：∠CAM>∠BAM.  2.如图5-64，已知AB>AC，延长BC到E，使CE=CA，延长CB到D，使BD=AB.求证：AD>AE.3.如图5-65，已知在△ABC中，AB>AC，且∠BAC>，AB、AC边上垂直平分线分别交BC边于D、E两点，求证：AD>AE.变换发散1.如图5—66，已知在△ABC中，∠1=∠2，AB+BP=AC.求证：∠B=2∠C.2.如图5-67，已知△ABC为正三角形，P是任意一点.求证：PA≤PB+PC.逆向发散1.如图5—68，已知AD∥EC，CE>CB.求证：∠B>∠A.2.如图5—69，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点.求证：∠ADB>∠ABD.构造发散  1.如图5—70，在△ABC中，AB=AC.E是AB上任意一点，延长AC到F，使BE=CF.连接EF交BC于M，求证：EM=FM.2.如图5—71，已知AE∥BC，AD、BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D.求证：AB=AE+BC.纵横发散1.如图5—72，△ABC为等边三角形，D、E分别是BC、AC上的一点，且BD=EC，AD和BE相交于F，BG⊥AD于G.求的值.2.已知斜边和一锐角，作直角三角形.已知：线段c及锐角α.求作Rt△ABC，使斜边等于c，其中—个锐角等于α.   综合发散1.如图5—73所示，△ABC中，AB=AC，EF∥BC，分别交AB、AC于E、F，分别以AE、AF为边在△ABC的外部作等边△AEG和△AFH，连结BH与CG交于O.求证： (1)BH=CG；(2)AO平分∠BAC.2.设AD是△ABC中∠A的平分线，过A引直线MN⊥AD，过B作BE⊥MN于E.求证：△EBC的周长大于△ABC的周长.
3.如图5—74，△ABC是等边三角形.∠ABE=∠BCF=∠CAD，求证：△DEF是等边三角形.4.AD是△ABC中BC边上的中线，F是DC上—点，DE=EC，AC=BC，求证：AD平分∠BAE.   5.在△ABC中，AD是∠A的平分线且AB=AC+CD.求证：∠C=2∠B   
参考答案【巩固基础知识】1.(1)(C)  (2)(C)  (3)(B)  (4)(C)  (5)(B)2.(1)相等.  (2)2a.  (3)钝.  (4)5，，，，2.5.  (5)b<a<c.解法发散1.解法1∵AD=AC，∴∠5=∠2+∠1.∴BE=BC，∴∠4=∠2+∠3.∴∠A=-(∠5+∠1+∠2)=-2(∠1+∠2)①同理∠B=-2(∠2+∠3).②①+②得：2(∠1+∠2+∠3)+2∠2=-(∠A+∠B)，即+2∠2=-(∠A+∠B)，故∠2=∠DCE=.解法2∵∠4=-∠B，∠5=-∠A，∴∠4+∠5=-.又∠2=-(∠4+∠5)，∴∠2=.解法3∵∠4=∠1+∠A，∠4=-∠1，∴∠1+∠A=-∠1.2∠1=-∠A即∠1=∠B.同理∠3=∠A.∠2=-(∠1+∠3)=.解法4  -2∠4-2∠5=∠A+∠B，-2(∠4+∠5)=，2(∠4+∠5)=，∠4+∠5=；∴∠2=.2.证法1在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AC=AB.在△ABD和△ACE中，∵∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACE.AD=AE.证法2  在△ABD和△ACE中，∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAE，∴∠ADB=∠AEC，∴∠ADE=∠AED.AD=AE.3.证法1如图，过E、F分别作BC的垂线，交BC和BC的延长线于M、N.∵∠EMD=∠FND=，∠1=∠2，DE=DF，∴△MDE≌△NDF，EM=FN.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠NCF.又∠EMB=∠ENC=，∴Rt△EMB≌Rt△FNC.BE=CF.证法2如图，在BC上取点G，使DG=DC，连结EG，则△EDG≌△FDC.∴EG=CF，∠DEG=∠DFC.∴EG∥AF，∠3=∠4.又AB=AC，∴∠B=∠4.∴∠B=∠3.∴BE=EG.BE=CF.变更命题发散1.分析：如图，延长AM至D，使AM=MD，通过证明△CMD≌△AMB，将∠BAM=∠CDM和∠CAM集中到同一个三角形ACD中，进行证明.证明：延长AM到D，使MD=AM，连结CD，则△AMB≌△DMC.∴∠1=∠D，AB=DC，∵AB>AC，∴CD>AC.∠DAC>∠D.故∠CAM>∠BAM.2.∵AB>AC，∴∠ACB>∠ABC.∴∠ABD>∠ACE.又∵AB=BD.∴∠D=∠DAB=(-∠ABD)，同理得：∠E=(-∠ACE)，∴∠E>∠D.在△ADE中，∵∠E>∠D，∴AD>AE.3.在△ABC中，∵AB>AC，∴∠C>∠B，∴DF垂直平分AB，∴AD=BD.∴∠B=∠1.同理∠C=∠2.∵∠ADE=∠B+∠1=2∠B，∠AED=∠C+∠2=2∠C，∴∠AED>∠ADE.AD>AE.变换发散1.分析：用对称法.本题利用角平分线是角的对称轴，在AC上截取，得到，从而构造与△ABP两个轴对称图形.证明：在AC上截取连结.∵AB=，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△(SAS).∴∠B=∠3，BP=.AB+BP=AC，，∴AB+BP=.又∵∴∠4=∠C.∠B=∠3=2∠C.2.分析：考虑本题是等边三角形，如图，以B为旋转中心，将△PBC旋转，则BC和BA重合，△BPC落到的位置，连.∵，∴为等边三角形.∴，而与AP构成一个三角形，∴AP<，即AP<BP+PC.若∠BCP=∠BAP，则P为△ABC的外接圆上的一点，落在AP上.∴BP+PC=AP.证明：以B为顶点、BA为边作，以A为顶点、AB为边作=∠PCB，与交于，则.∴，.∵∠ABC=，=∠PBC，∴.∴为等边三角形.∴.若∠BAP≠∠BCP，则不落在AP上，则在中，，∴BP+PC>PA.若，则落在AP上，这时，∴PA≤BP+PC.逆向发散1.∵AD∥EC，∴∠A=∠CEB.在△CEB中，∵CE>CB，∴∠B>∠CEB.∴∠B>∠A.2.在△CBD中，∠ADB>∠C.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∴∠ADB>∠BAC，又∵∠ABC>∠ABD，∴∠ADB>∠ABD.构造发散1.分析：本题通过作辅助线来构造全等三角形，过E作ED∥AC，那么∠1=∠2=∠B，BE=ED=CF，不难证得△EDM≌△FCM，于是EM=FM.证明：过E作ED∥AC交BC于D.∵ED∥AC(作法)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，∠EDM=∠FCM(两直线平行，内错角相等).∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠2(等边对等角).∴∠B=∠1(等量代换)，EB=ED(等角对等边).又∵EB=CF(已知).∴ED=CF.在△EDM与△FCM中，∵ED=CF，∠EDM=∠FCM，∠EMD=∠EMC(对顶角相等)，∴△EDM≌△FCM(AAS).∴EM=FM.2.分析：本题在BA上截取BF=BC，构造新△AFD，通过证明△ADF≌△ADE达到将线段AE的位置转移到AF，使得AB=AF+FB转化为AB=AE+BC.证明在BA上截取BF=BC，连结DF.在△BCD和△BFD中，∵BD=BD，∠CBD=∠FBD，CB=FB，∴△BCD≌△BFD.∴∠BCD=∠BFD.∵BC∥AE，∠C+∠E=.又∠BFD+∠AFD=，∴∠AFD=∠E.在△AFD和△AED中，∵∠AFD=∠E，∠FAD=∠EAD，AD=AD，∴△AFD≌△AED.∴AF=AE.∵AB=AF+FB.AB=AE+BC.纵横发散1.解△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=.又BD=CE.∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，从而∠BFG=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=，∠FBG=.∴BF=2FG，即的值为2.2.作法图，(1)作∠DBE=α.(2)在BD上截取BA=c.(3)过A作AC上BE交BE于C.则△ABC为所求作的三角形.证明:由作法得，∠DBE=α，BA=c，AC⊥BE，∠ACB=Rt∠.∴△ABC即为所作的三角形.综合发散1.(1)证△AGC≌△AHB；(2)证△AOB≌△AOC.2.延长BE到,使=BE，连结.3.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ABC=∠ACB=①又∵∠ABE=∠BCF=∠CAD，②①-②得：∠BAE=∠CBF=∠ACD.∵∠EDF=∠CAD+∠DCA，∠DEF=∠ABE+∠BAE，∠DFE=∠FBC+∠BCF.∴∠EDF=∠DEF=∠DFE.∴△DEF是等边三角形.4.如图，延长AE到F，使EF=AE，连接DF，则△DEF≌△CEA(SAS).∴DF=AC，∠1=∠C，∵BD=DC，AC=BC，∴AC=CD=BD.∴∠CAD=∠2，DF=BD=AC.∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠ADB=∠1+∠2.∴△ADB≌△ADF(SAS).∴∠BAD=∠FAD，即AD平分∠BAE.5.如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD平分∠A，∴△ACD≌△AED.∴CD=DE，∠ACD=∠AED.∵AB=AC+CD，∴DE=BE，∠EDB=∠EBD.∴∠AED=2∠B，即∠ACB=2∠B.